Закон всесвітнього тяжіння. Вільне падіння тіл

У результаті узагальнення численних спостережень, експерименталь-них і теоретичних досліджень (як своїх власних, так й інших дослідників) І.Ньютон в 1687 р. сформулював закон всесвітнього тяжіння: „Кожні дві матеріальні частинки притягують одна іншу із силою , прямо пропор-ційною добутку їх мас , і і обернено пропорційною квадрату відс-тані між ними:

(8.1)

Сила спрямована уздовж прямої, що з'єднує центри цих частинок. Згідно з цим законом усі матеріальні тіла притягають одне одного, причому вели-чина сили притягання не залежить від фізичних і хімічних властивостей тіл, від стану їхнього руху, від властивостей середовища, де перебувають тіла. На Землі тяжіння проявляється, насамперед, в існуванні сили ваги, що є результатом притягання будь-якого матеріального тіла Землею. Із цим пов'язаний термін „гравітація”, еквівалентний терміну „тяжіння” (від ла-тинського gravitas - вага).

У векторній формі закон всесвітнього тяжіння записується в такий спосіб:

(8.2)

Тут – сила, що діє на першу частинку з боку другої; – одиничний вектор, спрямований вздовж радіуса – вектора , тобто від першої частки до другої (рис.8.1) – його часто позначають символом ;

– стала тяжіння або гравітаційна стала, .

Очевидно, що сила , з якою перша частинка діє на другу, буде спрямо-вана протилежно до радіуса-вектора

(8.3)

Закон всесвітнього тяжіння сформульований Ньютоном, строго кажу-чи, для точкових мас. Та виявилося, що сила взаємодії між двома частин-ками не залежить від наявності третьої частинки. Це означає, що якщо взає-модіють між собою N частинок, то сила , з якою діють на одну із части-нок з масою всі інші частинки з масами т_к , дорівнює векторній сумі сил, з якими всі N – 1 частинок діють на одну із N:

(8.4)

Тут – радіуси-вектори, що з'єднують частинку з масою m_i з усіма іншими частинками.

Рис.8.1Рис.8.2

 

Отриманий результат називають законом адитивності. Він дає змогу засто-сувати закон всесвітнього тяжіння для знаходження сили взаємодії між двома тілами довільних розмірів і форми.

Для цього необхідно умовно розбити ці тіла на велику кількість і настільки малих частинок з масами й (рис. 8.2), щоб кожну з них можна було вважати матеріальною точкою. Тоді частинка при-тягується частинкою Δm_k із силою: .

Сила з якою все друге тіло діє на одну частинку Δm_i першого тіла, відповідно до закону адитивності, буде дорівнювати:

а сила , з якою перше тіло діє на друге дорівнює:

(8.5)

Вивчення руху тіл відносно поверхні Землі показує, що сила тяжіння викликає два види руху: по-перше, тіло, позбавлене опори, падає на Землю; по-друге, воно бере участь у добовому обертанні Землі, внаслідок чого на нього діє відцентрова сила , оскільки система відліку, пов'язана із Землею, для такого тіла є неінерці-

Рис.8.3 альною.

Отже, на таке тіло діє сумарна сила , що складається із сили тяжін-ня і відцентрової сили (рис.8.3):

(8.6)

де – відстань від центра Землі до тіла. Силу називають силою ваги, а прискорення тіла під дією цієї сили – прискоренням вільного падіння. Від-повідно до другого закону Ньютона прискорення вільного падіння дорів-нює:

. (8.7)

Оскільки відцентрова сила залежить від географічної широти місця розта-шування тіла відносно Землі, то очевидно, що й прискорення вільного па-діння залежить від географічної широти. Розглянемо цю залежність для двох випадків: падіння тіла на полюс і на екватор Землі.

Величина відцентрової сили дорівнює:

.

Якщо тіло падає на полюс Землі, то для нього = 0 і сила ваги дорів-нює силі тяжіння , а прискорення :

. (8.8)

Тут – відстань від центра Землі до тіла.

Якщо тіло падає на екватор, то сила ваги , що діє на це тіло, дорів-нює:

. (8.9)

 

Тут – відстань від центра Землі до тіла; – маса Землі; – відстань від центра Землі до полюса; – відстань від центра до точок на екваторі.

Якщо тіло перебуває на невеликій висоті від поверхні Землі (тобто ) то величина приблизно дорівнює 0,00345, тобто, від-центрова сила становить 0,345% від сили тяжіння. Тому в першому наближенні приймають, що сила ваги дорівнює силі тяжіння й спря-мована до центра Землі, а прискорення вільного падіння дорівнює:

, (8.10)

де – радіус-вектор, що визначає положення падаючого тіла відносно центра Землі.

Із цього рівняння (а також з досвіду) випливає, що прискорення віль-ного падіння не залежить від маси, розмірів й інших властивостей тіла, а залежить від відстані між цим тілом і поверхнею Землі. Розглянемо цю залежність. Позначимо – прискорення тіла біля самої поверхні Землі, а – прискорення тіла, що перебуває на висоті від поверхні Землі. Відношення цих прискорень буде:

(8.11)

За малих висот , тобто при , величина дуже мала і її можна не враховувати. Тоді . (8.12)

На підставі рівняння (8.12) знаходимо, що у разі підняття тіла на висо-ту =1км прискорення вільного падіння тіла зменшується на 0,03%, тобто зменшення мало відчутне. Тому з деяким наближенням у разі розташування тіл на невеликих висотах приймають, що прискорення вільного падіння тіла можна виразити через радіус Землі:

(8.13)

Некулястість форми Землі () і вплив добового обертання (виникнення відцентрової сили) призводить до того, що прискорення сили ваги залежить від географічної широти місця й змінюється від 9,83 м/с² на полюсах до 9,78 м/с² на екваторі. На широті 45° воно дорівнює 9,80665м/с². У приблизних розрахунках приймають =9,8 м/с².

При відносно точних розрахунках ураховується положення тіла відносно центра Землі.