Постановка задачі

Розглянемо задачу зі скінченною кількістю періодів, нестаціонарним детермінованим попитом, миттєвою поставкою і миттєвим споживанням.

Змістовна постановка задачі

Нехай маємо систему постачання підприємства, що планує поставки продукції протягом періодів. Об'єм споживання (сумарний попит підприємства на продукцію) у кожному періоді відомий. Для кожного періоду відомі також витрати на поставку (виготовлення) і витрати на зберігання продукції. Необхідно визначити об'єми поставок продукції в кожному з періодів, щоб

1) повністю задовольнити попит кожного періоду;

2) мінімізувати витрати на поставку і зберігання продукції.

Математична постановка задачі

Введемо позначення:

- сумарний попит в k-му періоді;

- об'єм поставки в -му періоді (або запас, що створюється в k-ому періоді).

- залишок запасу, що залишився з ()-го періоду (залишок продукції на початок періоду );

- витрати на виконання поставки величиною .

Припускаємо, що поставка і споживання продукції здійснюються миттєво на початку періоду, але поставка трохи раніше(рис. 23).

 

Рис. 23.

Виходячи з визначення величин , і випливає справедливість такого співвідношення:

+–=,

де - надлишковий запас, що зберігається в -ому періоді.

Позначимо:

(+-)=() – витрати на зберігання надлишкового запасу в -му періоді;

(, ) - загальні витрати в -му періоді.

Сумарні витрати на постачання за періодів

(11)

Припустимо, що величини й задані. Тоді задача формулюється таким чином: відшукати послідовності {} і {}, що мінімізують функцію сумарних витрат (11) за умови задоволення попиту на продукцію у всіх періодах

(12)

 

і виконання умов (що поєднують змінні сусідніх періодів):

. (13)

Відзначимо, що якщо відомі величини {}, то за ними можна визначити величини {} і навпаки.

Розглянемо окремий випадок ЗУЗ, що значно спрощує схему обчислення:

1. Покладаємо, що всі функції опуклі вверх по .

2. Будемо вважати функції () лінійними. Тоді

(+–)=()=,

де – додатня константа.

3. Із пп. 1 і 2 випливає, що функції () також є опуклими вверх по .

4. Вважаємо, що величина запасів на початок першого періоду =0 і запас на кінець останнього періоду =0.

З урахуванням прийнятих спрощень задача (11)-(13) може бути переписана в наступному вигляді:

(14)

при обмеженнях

. (15)

. (16)

Перейдемо до розв’язання задачі. Для цього визначимо елементи динамічної моделі.