Оскільки і задані ( = 0 ), вибір напрямку прогонки в цьому випадку довільний. Застосуємо алгоритм прямої прогонки.
Нехай – мінімальні витрати протягом перших періодів (з першого по k-й включно), за умови, що запас на кінець -ого періоду (на початок (+1)-ого) дорівнює . І нехай в -ому періоді здійснюється поставка в розмірі . (Ми вже з'ясували, що () може приймати значення рівні попиту за ціле число періодів). Це означає, що на кінець (-1)-ого періоду був запас . Тоді вартість поточного кроку складає , а величина
(20)
являє собою мінімальні витрати за періоди від 1-го до включно, за умови, що на кінець -ого періоду є одиниць продукції, а в -ому періоді здійснюється поставка в об'ємі . Вираз (20) – умовно мінімальні витрати для стану при поставці в -ому періоді. Мінімізуємо (20) по всіх можливих значеннях , одержимо рекурентне співвідношення:
(21)
причому ==+-, .
Мета задачі – знайти .
Може здатися, що (як і раніше) на цьому можна зупинитися. Це не так. Розглянемо, як при виборі допустимих значень змінних враховується співвідношення (19). Оскільки =0, то мінімум (21) у силу опуклості вверх j досягається в одній із крайніх точок
= s +(max) або =0 (min)
(= 0) (min) (> 0) (max).
Тому
; (22)
Розглянемо тепер величину – мінімальні витрати протягом перших () періодів, за умови, що запас на кінець ()-го періоду дорівнює . Для періоду () виконується рівність =0, при цьому об'єм поставки може приймати або мінімально можливе значення (=0) або максимально можливе (= ++). При цьому ==+–.
. (23)
Підставивши вираз (23) в (22), одержимо:
.
Аналогічно визначається співвідношення для :
.
Позначимо через мінімальні витрати за перші k періодів за умови, що остання поставка була виконана на початку періоду j і на кінець k-го періоду запас дорівнює :
. (24)
Записавши вирази, аналогічні (22), для , одержимо
(25)
Особлива структура (у розрахунках використовуються тільки величиниз нульовими аргументами) і той факт, що і , дозволяють зробити висновок, що на кожному кроці досить визначати тільки . Значить ОРС (25) набуває такого вигляду:
Розглянемо окремий випадок вигляду функції виробничих витрат . Нехай
Тоді витрати за перші k періодів за умови, що остання поставка була виконана на початку періоду j і на кінець k-го періоду запас дорівнює , визначаються співвідношенням:
Подальше спрощення в обчислювальній схемі може бути отримано, якщо врахувати наступну обставину. Якщо при обчисленні виявилося, що поставка, за допомогою якої задовольнявся попит (k-1)-ого періоду, надходить у періоді , то й поставка, що задовольняє попит k-го періоду, повинна надійти не раніше періоду . Отже, при обчисленні досить розглядати
,
де має обговорений раніше зміст.