Завдання для самостійної роботи

1. Перетворити ациклічну мережу (рис. 11) до слоїстої. Розв’язати задачу, застосувавши алгоритм зворотної прогонки.

 

 

Рис. 11

 

Відповідь:найкоротший шлях 1-4-7-8, довжина 5

2. Застосувавши алгоритм зворотньої прогонки, знайти найкоротший шлях між вершинами 1 і 10 наступної мережі (рис. 12).

 

Рис. 12

 

Відповідь: найкоротші шляхи 1–2–3–6–8–9–10; 1–2–6–8–9–10, їх довжина дорівнює 10.

3. Застосувавши алгоритм зворотньої прогонки, знайти найкоротший шлях між однією з вершин першого слою (вершинами A, B або C) і вершиною K мережі, представленої на рис. 13.

Рис. 13

Відповідь: найкоротший шлях C–E–F–K; довжина шляху 4.

У розглянутих алгоритмах обчислення починалися з кінця мережі і рухалися в напрямку її початку, тобто в напрямку, зворотньому напрямку дуг. Звідси й термін “зворотня прогонка” у назві алгоритму.

Задача може бути розв’язана і в іншому напрямку, тобто при русі від початку мережі до її кінця. У цьому випадку говорять про “пряму прогонку”.

У випадку прямої прогонки під величиною розуміємо мінімальну довжину шляху на кроках включно за умови, що наприкінці кроку прийшли у вершину . Нехай до стану ми прийшли по дузі (). У цьому випадку мінімальна довжина шляху становить величину . Знайшовши мінімум по всім вхідним у вершину дугам, отримаємо:

(2)

Співвідношення (2) справедливо і для , якщо прийняти, що . З урахуванням позначень наша мета – знайти .

Співвідношення (1) і (2) називаються (основними) рекурентними співвідношеннями.