Кинетическая энергия точки, системы и твердого тела. Работа силы и мощность.
Вопросы лекции:
1. Кинетическая энергия точки, системы и твёрдого тела и её вычисление.
2. Работа силы и мощность.
Тарг, 2009, с. 208 – 214; 301 – 314.
1. Кинетическая энергия точки, системы и твёрдого тела и её вычисление
Пусть материальная точка массы m движется относительно какой-либо системы отсчёта и имеет в данный момент скорость .
Кинетической энергией точки называется скалярная величина, равная половине произведения массы точки на квадрат её скорости:
Скорость точки вычисляется в зависимости от того, каким способом задано движение. Поэтому
Ø при векторном способе
Ø при координатном способе (в декартовой системе)
Ø при естественном способе
Из формулы (1) видно, что
и равна нулю только, если (масса точки всегда не равна нулю).
Переходим к механической системе.
Для каждой точки системы считаем кинетическую энергию
и складываем полученные числа:
это и будет кинетической энергией механической системы. По этой же формуле (2) можно считать кинетическую энергию твёрдого тела, но следует учитывать, что скорости точек тела не могут быть независимы друг от друга и должны вычисляться согласно формулам кинематики (скорость полюса + скорость при вращении вокруг полюса). Поэтому равенство (2) следует упростить. Но в случае простейших движений тела оно позволяет найти выражения для кинетической энергии.
Поступательное движение тела:
При поступательном движении скорости всех точек одинаковы в каждый момент времени:
Поэтому из (2) сразу следует
т.е. при поступательном движении кинетическая энергия вычисляется как для материальной точки.
Вращательное движение тела: пусть тело вращается вокруг неподвижной оси с угловой скоростью .
Модуль скорости k-той точки тела, как известно, равен
Тогда из (2) получим
но
это момент инерции тела относительно оси вращения.
Следовательно, при вращательном движении
Однако, уже при плоскопараллельном движении приходится использовать формулу
( вектор, определяющий положение k-той точки тела относительно полюса А), и равенство (2) приводит к сложным выражениям. Поэтому нужно получить формулу, по которой можно более простым способом вычислить кинетическую энергию тела.
Сформулируем и докажем теорему Кёнига:
кинетическая энергия механической системы равна кинетической энергии центра масс в предположении, что в нём сосредоточена масса всей системы, сложенной с кинетической энергией системы в её движении относительно системы координат, движущейся с центром масс поступательно.