Логарифмически нормальное распределение - раздел Философия, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Случайная Переменная Y Имеет Логарифмически Нормальное Распределение С Параме...
Случайная переменная Y имеет логарифмически нормальное распределение с параметрами μ и σ, если случайная переменная X = lnY имеет нормальное распределение с теми же параметрами μ и σ. Зная характер связи между переменными X и Y, можем легко построить график плотности вероятности случайной переменной с логарифмически нормальным распределением (Рисунок 4.2).
Рисунок 4.2 – Кривые плотности логарифмически нормального распределения при различных значениях параметров μ и σ
Если случайная переменная X имеет функцию плотности вероятности, определяемую формулой (4.6), и если X = lnY, то:
, откуда имеем для у > 0:
(4.14)
Из определения следует, что случайная переменная, подчиняющаяся логарифмически нормальному распределению, может принимать только положительные значения. Как показано на рисунке 4.2, кривые функции f(y) имеют левостороннюю асимметрию, которая тем сильнее, чем больше значения параметров μ и σ. Каждая кривая имеет один максимум и является определенной для всех положительных значений у.
Вычисление математического ожидания и дисперсии случайной переменной с логарифмически нормальным распределением не составляет особых трудностей:
(4.15)
(4.16)
(4.17)
Путем подстановок и ввода новых переменных в интегралах 4.15 и 4.16 получим:
(4.18)
(4.19)
Вообще, для исчисления вероятности того, что случайная переменная Y с логарифмически нормальным распределением и плотностью f(y, μ, σ), примет значение в интервале (а, b), следует взять интеграл:
(4.20)
Однако на практике удобнее воспользоваться тем, что логарифм случайной переменной Y имеет нормальное распределение. Вероятность того, что а ≤ Y ≤ b равнозначна вероятности того, что lnа ≤ lnY ≤ lnb.
Пример
Вычислим вероятность того, что случайная переменная с логарифмически распределением μ = 1, σ = 0,5, примет значение в интервале (2, 5). Имеем:
Из таблиц логарифмов находим ln2 = 0,6932 и ln5 = 1,6094.
Обозначив lnY = X, можем написать:
Причем случайная переменная X подчинена нормальному распределению со средним значением μ = 1 и стандартным отклонением σ = 0,5. Теперь искомую вероятность нетрудно вычислить по таблицам интегральной функции нормального распределения:
Вопросы для самоконтроля
1 Определение прямоугольного распределения.
2 График плотности вероятности случайной переменной с прямоугольным распределением
3 Основополагающее значение прямоугольного распределения.
4 Математическое ожидание и дисперсия случайной переменной в прямоугольном распределении.
5 Роль нормального распределения в математической статистике.
6 Что такое нормальное распределение и как оно связано с биномиальным?
7 График плотности вероятности случайной переменной с нормальным распределением.
8 Какими статистическими параметрами может быть задано нормальное распределение?
9 Почему нормальное распределение является непрерывным?
10 Уравнение нормальной кривой.
11 Что такое нормированное отклонение?
12 Уравнение кривой нормального распределения в нормированной форме.
13 Какими значениями μ и σ характеризуется нормальная совокупность в нормированной форме?
14 Какая доля данных выборки укладывается в пределах ±1σ, ±2σ, ±3σ?
15 Что показывает таблица нормального интеграла вероятностей?
16 Уравнение логарифмически нормальной кривой.
17 График плотности вероятности случайной переменной с логарифмически нормальным распределением.
18 Какие необходимо выполнить преобразования, чтобы из логарифмически нормального распределения получить нормальное распределение?
Закон нормального распределения проявляется при числе признаков n > 20–30. Однако экспериментатор часто проводит ограниченное число измерений, основывает свои выводы на малых выборках. При небольшом числе наблюдений результаты обычно близки и редко появляются большие отклонения. Это легко объяснить законом нормального распределения, согласно которому вероятность появления малых отклонений больше, чем отклонений значительных. Так, вероятность отклонений, превышающих по абсолютной величине ±2σ, равна 0,05, или один случай на 20 измерений, а отклонений ± 3σ – 0,01, или один случай на 100.
Если же полевой опыт проводят, например, в 4 – 6 повторностях, то естественно ожидать, что среди показаний урожаев на параллельных делянках очень больших отклонений не будет. Поэтому стандартное отклонение s, подсчитанное по малой выборке, в большинстве случаев будет меньше, чем по всей генеральной совокупности . Следовательно, в этих случаях полагаться на критерии нормального распределения в своих выводах нельзя.
С начала XX века в математической статистике стало разрабатываться новое направление, которое можно назвать статистикой малых выборок. Наибольшее практическое значение для экспериментальной работы имело открытое в 1908 г. английским статистиком и химиком В. Госсетом t–распределение, получившее название распределения Стьюдента (англ. стьюдент – студент, псевдоним В. Госсета).
Распределение t Стьюдента для выборочных средних определяется равенством:
(5.1)
Числитель формулы означает отклонение выборочной средней от средней всей совокупности , а знаменатель:
– является показателем, оценивающим величину стандартной ошибки средней выборочной совокупности.
Таким образом, величина t измеряется отклонением выборочной средней от средней совокупности , выраженным в долях ошибки выборки , принятой за единицу.
Максимумы частоты нормального и t-распределения совпадают, но форма кривой t-распределения всецело зависит от числа степеней свободы. При очень малых значениях степеней свободы она принимает вид плосковершинной кривой, причем площадь, отграниченная кривой, больше, чем при нормальном распределении, а при увеличении числа наблюдений (n > 30) распределение t приближается к нормальному и переходит в него при n = ∞.
На рисунке 1.1 представлено дифференциальное и интегральное распределение t-Стьюдента при 10 степенях свободы.
Рисунок 5.1 – Дифференциальное (слева) и интегральное (справа) распределение t–Стьюдента
Распределение t–Стьюдента имеет важное значение при работе с малыми выборками: позволяет определить доверительный интервал, накрывающий среднюю совокупности , и проверить ту или иную гипотезу относительно генеральной совокупности. При этом нет необходимости знать параметры совокупности и , достаточно иметь их оценки μ и σ для определенного объема выборки n.
5.1.1 Проблема Беренса–Фишера
Проверка гипотезы о генеральных средних двух групп с нормальным распределением и неравными дисперсиями в математической статистике называется проблемой Беренса–Фишера и имеет в настоящее время только приближенные решения. Почему так важно требование равенства дисперсий в сравниваемых группах? Не вдаваясь в детали этой проблемы, отметим, что чем больше различаются между собой дисперсии и объемы выборок, тем сильнее отличается распределение "вычисляемого t-критерия" от распределения "t-критерия Стьюдента". При этом различную величину имеет как сам t-критерий, так и такой параметр этих распределений, как число степеней свободы. В свою очередь число степеней свободы сказывается на величине достигнутого (критического) уровня значимости (р < ...) определяемого для вычисленного значения t-критерия.
Пренебрежение исследователями, приведенными выше условиями допустимости использования t-критерия Стьюдента, приводит к существенному искажению результатов проверки гипотез о равенстве средних. Поэтому в работах, где проверка гипотез о равенстве двух средних производилась с помощью t-критерия Стьюдента, и нет упоминания критериев проверки нормальности распределения и равенства дисперсий, имеются основания предполагать некорректное использование авторами данного критерия, а стало быть, и сомнительность декларируемых ими выводов.
Другая частая ошибка – применение t–критерия Стьюдента для проверки гипотез о равенстве трех и более групповых средних. В этом случае необходимо применять так называемую общую линейную модель, реализованную в процедуре однофакторного дисперсионного анализа с фиксированными эффектами.
Рассмотрим подробнее особенности использования t–критерия Стьюдента. Наиболее часто t–критерий используется в двух случаях. В первом случае его применяют для проверки гипотезы о равенстве генеральных средних двух независимых, несвязанных выборок (так называемый двухвыборочный t–критерий). В этом случае есть контрольная группа и опытная группа, состоящая из разных объектов, количество которых в группах может быть различно. Во втором же случае используется так называемый парный t–критерий, когда одна и та же группа объектов порождает числовой материал для проверки гипотез о средних. Поэтому эти выборки называют зависимыми, связанными. Например, измеряется содержание лейкоцитов у здоровых животных, а затем у тех же самых животных после облучения определенной дозой излучения. В обоих случаях должно выполняться требование нормальности распределения исследуемого признака в каждой из сравниваемых групп. Доминирование t–критерия Стьюдента в подавляющем большинстве работ отражает два важных аспекта.
Во-первых, это свидетельство того, что авторы, использующие данный критерий, не имеют необходимых знаний относительно ограничений присущих данному критерию.
Во-вторых, это говорит также и о том, что этим авторам неизвестны какие-либо альтернативы данному критерию, либо они не в состоянии ими самостоятельно воспользоваться. Можно без преувеличения сказать, что в настоящее время бездумное применение t–критерия Стьюдента в большинстве биологических работ приносит больше вреда, нежели пользы.
5.2 F-распределение Фишера–Снедекора
Если из нормально распределенной совокупности взять две независимые выборки объемом n1 и n2 и подсчитать дисперсии и со степенями свободы ν1 = n –1 и ν2 = n2–1, то можно определить отношение дисперсий:
(5.2)
Отношение дисперсий берут таким, чтобы в числителе была большая дисперсия, и поэтому F ≥ 1.
Распределение F зависит только от числа степеней свободы ν1 и ν2 (закон F-распределения открыл Р.А. Фишер). Когда две сравниваемые выборки являются случайными независимыми из общей совокупности с генеральной средней , то фактическое значение F не выйдет за определенные пределы и не превысит критическое для данных ν1 и ν2 теоретическое значение критерия F (Fфакт < Fтеор). Если генеральные параметры сравниваемых групп различны, то Fфакт > Fтеор. Теоретические значения F для 5%-ного и 1%-ного уровня значимости даны в таблице, где табулированы только правые критические точки для F ≥ 1, так как всегда принято находить отношение большей дисперсии к меньшей.
Кривые, полученные из функции распределения для всех возможных значений F, особенно при небольшом числе наблюдений, имеют асимметричную форму – длинный «хвост» больших значений и большую концентрацию малых величин F (рисунок 5.2).
Рисунок 5.2 – Дифференциальное (слева) и интегральное (справа) F-распределение Фишера–Снедекора
Отметим, что t–распределение Стьюдента является частным случаем F–распределения при числе степеней свободы ν1 = 1 и ν2 = ν, т. е. равно числу степеней свободы для распределения t. В этом случае наблюдается следующее соотношение между F и t:
(5.3)
5.3 χ2–распределение
Многие фактические распределения соответствуют моделям теоретических распределений (нормальное, биномиальное, Пуассона) Однако, на практике существуют распределения, сильно отличающиеся от нормального. Для оценки степени расхождения или степени согласия между численностями фактического и теоретического распределений вводятся статистические критерии согласия, например критерий χ2 . Этот критерий применяется для решения задач статистического анализа, например для проверки гипотез: о независимости двух принципов, положенных в основу группировки результатов наблюдений из одной совокупности; об однородности групп в отношении некоторых определяемых характеристик; о согласии теоретической и экспериментальной кривых численностей. Критерий χ2 может называться как критерием согласия, так и критерием независимости, критерием однородности. Закон распределения χ2 (хи–квадрат) открыл К. Пирсон. Кривая распределения, полученная из функции хи–квадрат:
(5.4)
где f – фактические и F – теоретические частоты численности объектов выборки. Ее вид в сильной степени зависит от числа степеней свободы. Для малого числа степеней свободы ν кривая асимметрична (рисунок 5.3), но с увеличением ν асимметрия уменьшается и при ν = ∞ кривая становится нормальной гауссовой.
Распределение χ2, так же как и t–распределение, частный случай F – распределения при ν1 = ν и ν2 = ∞.
Рисунок 5.3 – Дифференциальное (слева) и интегральное (справа) χ2–распределение
Вопросы для самоконтроля
1 В каких случаях предпочтительнее использовать t-распределение Стьюдента, а не нормальное распределение?
2 Какие величины необходимо оценивать для использования t-распределения Стьюдента?
3 В чем суть проблемы Беренса–Фишера?
4 Чем численно выражается F-распределение для двух независимых выборок из общей совокупности переменных?
5 От каких характерных величин случайных переменных зависит F-распределение?
6 На какие вопросы может ответить значение критерия χ2 при статистической обработке экспериментальных данных?
Учреждение образования... Гомельский государственный университет... имени Франциска Скорины Ю М ЖУЧЕНКО...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Логарифмически нормальное распределение
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
для студентов вузов, обучающихся по специальности 1-31 01 01 «Биология»
Гомель 2010
Предмет и метод математической статистики
Предмет математической статистики – изучение свойств массовых явлений в биологии, экономике, технике и других областях. Эти явления обычно представляются сложными, вследствие разнообразия (варьиров
Понятие случайного события
Статистическая индукция или статистические заключения, как главная составная часть метода исследования массовых явлений, имеют свои отличительные черты. Статистические заключения делают с численно
Вероятность случайного события
Числовая характеристика случайного события, обладающая тем свойством, что для любой достаточно большой серии испытаний частота события лишь незначительно отличается от этой характеристики, называет
Вычисление вероятностей
Часто возникает необходимость одновременно складывать и умножать вероятности. Например, требуется определить вероятность выпадения 5 очков при одновременном бросании 2 кубиков. Искомая сумма вероят
Понятие случайной переменной
Определив понятие вероятности и выяснив ее главные свойства, перейдем к рассмотрению одного из важнейших понятий теории вероятностей – понятия случайной переменной.
Допустим, что в результ
Дискретные случайные переменные
Случайная переменная дискретна, если совокупность возможных ее значений конечна, или, по крайней мере, поддается счислению. Предположим, что случайная переменная X может принимать значения x1
Непрерывные случайные переменные
В противоположность дискретным случайным переменным, рассмотренным в предыдущем подразделе, совокупность возможных значений непрерывной случайной переменной не только не конечна, но и не поддается
Математическое ожидание и дисперсия
Часто возникает необходимость охарактеризовать распределение случайной переменной с помощью одного–двух числовых показателей, выражающих наиболее существенные свойства этого распределения. К таким
Моменты
Большое значение в математической статистике имеют так называемые моменты распределения случайной переменной. В математическом ожидании большие значения случайной величины учитываются недостаточно.
Биномиальное распределение и измерение вероятностей
В этой теме рассмотрим основные типы распределения дискретных случайных переменных. Предположим, что вероятность наступления некоторого случайного события А при единичном испытании равно
Прямоугольное (равномерное) распределение
Прямоугольное (равномерное) распределение — простейший тип непрерывных распределений. Если случайная переменная X может принимать любое действительное значение в интервале (а, b), где а и b – дейст
Нормальное распределение
Нормальное распределение играет основную роль в математической статистике. Это ни в малейшей степени не является случайным: в объективной действительности весьма часто встречаются различные признак
Средние величины
Из всех групповых свойств наибольшее теоретическое и практическое значение имеет средний уровень, измеряемый средней величиной признака.
Средняя величина признака – понятие очень глубокое,
Общие свойства средних величин
Для правильного использования средних величин необходимо знать свойства этих показателей: срединное расположение, абстрактность и единство суммарного действия.
По своему численному значени
Средняя арифметическая
Средняя арифметическая, обладая общими свойствами средних величин, имеет свои особенности, которые можно выразить следующими формулами:
Средний ранг (непараметрическая средняя)
Средний ранг определяется для таких признаков, для которых еще не найдены способы количественного измерения. По степени проявления таких признаков объекты могут быть ранжированы, т. е. расположены
Взвешенная средняя арифметическая
Обычно, чтобы рассчитать среднюю арифметическую, складывают все значения признака и полученную сумму делят на число вариантов. В этом случае каждое значение, входя в сумму, увеличивает ее на полную
Средняя квадратическая
Средняя квадратическая вычисляется по формуле:
, (6.5)
Она равна корню квадратному из суммы
Медиана
Медианой называют такое значение признака, которое разделяет всю группу на две равные части: одна часть имеет значения признака меньшее, чем медиана, а другая – большее.
Например, если име
Средняя геометрическая
Чтобы получить среднюю геометрическую для группы с n данными, нужно все варианты перемножить и из полученного произведения извлечь корень n-й степени:
Средняя гармоническая
Средняя гармоническая рассчитывается по формуле
. (6.14)
Для пяти вариантов: 1, 4, 5, 5 сре
Число степеней свободы
Число степеней свободы равно числу элементов свободного разнообразия в группе. Оно равно числу всех имеющихся элементов изучения без числа ограничений разнообразия.
Например, для исследова
Коэффициент вариации
Стандартное отклонение – величина именованная, выраженная в тех же единицах измерения, как и средняя арифметическая.
Поэтому для сравнения разных признаков, выраженных в разных единицах из
Лимиты и размах
Для быстрой и примерной оценки степени разнообразия часто применяются простейшие показатели:
lim = {min ¸ max} – лимиты, т. е. наименьшее и наибольшее значения признака,
p =
Нормированное отклонение
Обычно степень развития признака определяется путем его измерения и выражается определенным именованным числом: 3 кг веса, 15 см длины, 20 зацепок на крыле у пчел, 4% жира в молоке, 15 кг настрига
Средняя и сигма суммарной группы
Иногда бывает необходимо определить среднюю и сигму для суммарного распределения, составленного из нескольких распределений. При этом известны не сами распределения, а только их средние и сигмы.
Вариационный ряд
По мере увеличения численности изучаемых групп все более и более проявляется та закономерность в разнообразии, которая в малочисленных группах была скрыта случайной формой своего проявления.
Гистограмма и вариационная кривая
Гистограмма – это вариационный ряд, представленный в виде диаграммы, в которой различная величина частот изображается различной высотой столбиков. Гистограмма распределения данных представлена на р
Достоверность различия распределений
Статистическая гипотеза – это определённое предположение о распределении вероятностей, лежащем в основе наблюдаемой выборки данных.
Проверка статистической гипотезы – это процесс принятия
Критерий по асимметрии и эксцессу
Некоторые признаки растений, животных и микроорганизмов при объединении объектов в группы дают распределения, значительно отличающиеся от нормального.
В тех случаях, когда какие-нибудь при
Генеральная совокупность и выборка
Весь массив особей определенной категории называется генеральной совокупностью. Объем генеральной совокупности определяется задачами исследования.
Если изучается какой-нибудь вид диких жив
Репрезентативность
Непосредственное изучение группы отобранных объектов дает, прежде всего, первичный материал и характеристику самой выборки.
Все выборочные данные и сводные показатели имеют значение в каче
Ошибки репрезентативности и другие ошибки исследований
Оценка генеральных параметров по выборочным показателям имеет свои особенности.
Часть никогда не может полностью охарактеризовать все целое, поэтому характеристика генеральной совокупности
Доверительные границы
Определять величину ошибок репрезентативности необходимо для того, чтобы выборочные показатели использовать еще и для нахождения возможных значений генеральных параметров. Этот процесс называется о
Общий порядок оценки
Три величины, необходимые для оценки генерального параметра, – выборочный показатель (), критерий надежности
Оценка средней арифметической
Оценка средней величины имеет целью установить величину генеральной средней для изученной категории объектов. Требуемая для этой цели ошибка репрезентативности определяется по формуле:
Оценка средней разности
В некоторых исследованиях в качестве первичных данных берется разность двух измерений. Это может быть в случае, когда каждая особь выборки изучается в двух состояниях – или в разном возрасте, или п
Недостоверная и достоверная оценка средней разности
Такие результаты выборочных исследований, по которым нельзя получить никакой определенной оценки генерального параметра (или он больше нуля, или меньше, или равен нулю), называются недостоверными.
Оценка разности генеральных средних
В биологических исследованиях особое значение имеет разность двух величин. По разности ведется сравнение разных популяций, рас, пород, сортов, линий, семейств, опытных и контрольных групп (метод гр
Критерий достоверности разности
При том большом значении, которое имеет для исследователей получение достоверных разностей, появляется необходимость овладеть методами, позволяющими определить – достоверна ли полученная, реально с
Репрезентативность при изучении качественных признаков
Качественные признаки обычно не могут иметь градаций проявления: они или имеются, или не имеются у каждой из особей, например пол, комолость, наличие или отсутствие каких-нибудь особенностей, уродс
Достоверность разности долей
Достоверность разности выборочных долей определяется так же, как и для разности средних:
(10.34)
Коэффициент корреляции
Во многих исследованиях требуется изучить несколько признаков в их взаимной связи. Если вести такое исследование по отношению к двум признакам, то можно заметить, что изменчивость одного признака н
Ошибка коэффициента корреляции
Как и всякая выборочная величина, коэффициент корреляции имеет свою ошибку репрезентативности, вычисляемую для больших выборок по формуле:
Уравнение прямолинейной регрессии
Прямолинейная корреляция отличается тем, что при этой форме связи каждому из одинаковых изменений первого признака соответствует вполне определенное и тоже одинаковое в среднем изменение другого пр
Частный коэффициент корреляции
Частный коэффициент корреляции – это показатель, измеряющий степень сопряженности двух признаков при постоянном значении третьего.
Математическая статистика позволяет установить корреляцию
Множественный коэффициент корреляции
Множественный коэффициент корреляции трех переменных – это показатель тесноты линейной связи между одним из признаков (буква индекса перед тире) и совокупностью двух других признаков (буквы индекса
Линейное уравнение множественной регрессии
Математическое уравнение для прямолинейной зависимости между тремя переменными называется множественным линейным уравнением плоскости регрессии. Оно имеет следующий общий вид:
Корреляционное отношение
Если связь между изучаемыми явлениями существенно отклоняется от линейной, что легко установить по графику, то коэффициент корреляции непригоден в качестве меры связи. Он может указать на отсутстви
Свойства корреляционного отношения
Корреляционное отношение измеряет степень корреляции при любой ее форме.
Кроме того, корреляционное отношение обладает рядом других свойств, представляющих большой интерес в статистическом
Ошибка репрезентативности корреляционного отношения
Еще не разработано точной формулы ошибки репрезентативности корреляционного отношения. Обычно приводимая в учебниках формула имеет недостатки, которыми не всегда можно пренебречь. Эта формула не уч
Критерий линейности корреляции
Для определения степени приближения криволинейной зависимости к прямолинейной используется критерий F, вычисляемый по формуле:
Дисперсионный комплекс
Дисперсионный комплекс – это совокупность градаций с привлеченными для исследования данными и средними из данных по каждой градации (частные средние) и по всему комплексу (общая средняя).
Статистические влияния
Статистическое влияние – это отражение в разнообразии результативного признака того разнообразия фактора (его градаций), которое организовано в исследовании.
Для оценки влияния фактора нео
Факториальное влияние
Факториальное влияние – это простое или комбинированное статистическое влияние изучаемых факторов.
В однофакторных комплексах изучается простое влияние одного фактора при определенных орга
Однофакторный дисперсионный комплекс
Дисперсионный анализ разработан и введен в практику сельскохозяйственных и биологических исследований английским ученым Р. А. Фишером, который открыл закон распределения отношения средних квадратов
Многофакторный дисперсионный комплекс
Ясное представление о математической модели дисперсионного анализа облегчает понимание необходимых вычислительных операций, особенно при обработке данных многофакторных опытов, в которых больше ист
Преобразования
Правильное использование дисперсионного анализа для обработки экспериментального материала предполагает однородность дисперсий по вариантам (выборкам), нормальное или близкое к нему распределение в
Показатели силы влияний
Определение силы влияний по их результатам требуется в биологии, сельском хозяйстве, медицине для выбора наиболее эффективных средств воздействия, для дозировки физических и химических агентов – ст
Ошибка репрезентативности основного показателя силы влияния
Точная формула ошибки основного показателя силы влияния еще не найдена.
В однофакторных комплексах, когда ошибка репрезентативности определяется только для одного показателя факториального
Предельные значения показателей силы влияния
Основной показатель силы влияния равен доле одного слагаемого от всей суммы слагаемых. Кроме того, этот показатель равен квадрату корреляционного отношения. По этим двум причинам показатель силы вл
Достоверность влияний
Основной показатель силы влияния, полученный в выборочном исследовании, характеризует, прежде всего, ту степень влияния, которая реально, в действительности, проявилась в группе исследованных объек
Дискриминантный анализ
Дискриминантный анализ является одним из методов многомерного статистического анализа. Цель дискриминантного анализа состоит в том, чтобы на основе измерения различных характеристик (признаков, пар
Постановка задачи, методы решения, ограничения
Предположим, имеется n объектов с m характеристиками. В результате измерений каждый объект характеризуется вектором x1 ... xm, m >1. Задача состоит в том, что
Предположения и ограничения
Дискриминантный анализ «работает» при выполнении ряда предположений.
Предположение о том, что наблюдаемые величины – измеряемые характеристики объекта – имеют нормальное распределение. Это
Алгоритм дискриминантного анализа
Решение задач дискриминации (дискриминантный анализ) состоит в разбиении всего выборочного пространства (множества реализации всех рассматриваемых многомерных случайных величин) на некоторое число
Кластерный анализ
Кластерный анализ объединяет различные процедуры, используемые для проведения классификации. В результате применения этих процедур исходная совокупность объектов разделяется на кластеры или группы
Методы кластерного анализа
В практике обычно реализуются агломеративные методы кластеризации.
Обычно перед началом классификации данные стандартизуются (вычитается среднее и производится деление на корень квадратный
Алгоритм кластерного анализа
Кластерный анализ – это совокупность методов классификации многомерных наблюдений или объектов, основанных на определении понятия расстояния между объектами с последующим выделением из них групп, &
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
, откуда имеем для у > 0:
(4.14)
(4.15)
(4.16)
(4.17)
(4.18)
(4.19)
(4.20)
. Следовательно, в этих случаях полагаться на критерии нормального распределения в своих выводах нельзя.
(5.1)
, а знаменатель:
– является показателем, оценивающим величину стандартной ошибки средней выборочной совокупности.
от средней совокупности 
, принятой за единицу.
и 
со степенями свободы ν1 = n –1 и ν2 = n2–1, то можно определить отношение дисперсий:
(5.2)
шер). Когда две сравниваемые выборки являются случайными независимыми из общей совокупности с генеральной средней 
(5.3)
(5.4)
Новости и инфо для студентов