Предмет и метод математической статистики - раздел Философия, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Предмет Математической Статистики – Изучение Свойств Массовых Явлений В Биоло...
Предмет математической статистики – изучение свойств массовых явлений в биологии, экономике, технике и других областях. Эти явления обычно представляются сложными, вследствие разнообразия (варьирования) отдельных индивидуумов или единиц. Чтобы получить правильное представление об изучаемых свойствах массовых явлений и дать им определенные количественные оценки, их подвергают совместному рассмотрению и анализу. Отдельные единицы или индивидуумы, обладающие некоторым общим свойством, объединяют в совокупности. Наблюдаемые единицы называют вариантами (данными, датами), а образуемую совокупность единиц – статистической совокупностью.
Статистическая совокупность может быть образована по одному или по нескольким признакам. Она может состоять из одной или нескольких однородных в отношении изучаемого свойства групп. Однако часто бывает целесообразно подразделить отдельные наблюдаемые единицы на группы для достижения большей однородности их внутри этих групп.
Теорию и методы изучения свойств массовых явлений, вычисления и анализа их количественных характеристик излагает наука, носящая название – математическая статистика.
Раньше других начали изучать массовые явления в биологии, главным образом размерные характеристики человека. В 80-е годы XIX в. науку, излагающую методы изучения массовых явлений в биологии, английский ученый Ф. Гальтон назвал биометрией (от лат. bios – жизнь, metron – мера).
Термин «вариационная статистика» был введен позднее. Он шире и точнее отражает сущность данной науки и означает, что вариационная статистика измеряет все массовые явления. Однако и этот термин не единственный. Теория и методы наблюдений и интерпретации массовых явлений излагаются в последнее время под различными названиями, среди которых наиболее общим является термин «статистические методы» или «математическая статистика».
Метод изучения массовых явлений, применяемый статистикой, основан на теории вероятностей. Теория вероятностей устанавливает закономерности событий, наступающих случайно и называемых случайными. Статистика предполагает анализ массовых явлений, имеющих также случайный характер в распределении значений отдельных единиц, составляющих явление.
Вместе с тем, метод статистики принципиально иной. Теория вероятностей имеет дело с исходными явлениями, структура которых известна, например, содержание шаров в урне (сколько белых и сколько черных). В самом общем смысле задача теории вероятностей состоит в том, чтобы математически – дедуктивным путем (идя от общего к частному) вывести теоремы о наступлении того или иного события в серии испытаний.
Дедуктивные выводы имеют такую общую форму:
Большая посылка: все зерна в ящике белые.
Малая посылка: эти зерна (определенная пригоршня) из данного ящика.
Заключение: эти зерна (пригоршня) белые.
Дедуктивное заключение не может быть ошибочным, если посылки правильны. Здесь налицо вся информация, содержащаяся в посылках. Заключение является только выражением подразумеваемой в посылках закономерности.
Статистика имеет дело с открытыми системами, не охваченными сплошным изучением. Центральной задачей математической статистики как метода исследования являются заключения, выходящие за рамки изученного материала, т. е. заключения о свойствах статистических совокупностей, принимая во внимание и неизученную их часть.
Всю статистическую совокупность, в отношении которой делают статистические обобщения и заключения, называют общей, или генеральной совокупностью, а часть ее, охваченную непосредственным наблюдением, называют выборочной совокупностью.
Вариационная статистика применяет метод оценки общей совокупности на основе изученных отдельных единиц или на основе выборочных совокупностей.
Метод изучения явлений, при котором приходят к обобщениям, изучив отдельные случаи этого явления, называется методом индукции (от частного - к общему).
Следовательно, вариационная статистика использует метод индуктивных заключений.
Индуктивное заключение, как общий логический процесс, идущий от большой и малой посылки, имеет такую форму:
Большая посылка: эти зерна (определенная пригоршня) из данного ящика.
Малая посылка: эти зерна белые.
Заключение: все зерна в ящике белые.
Очевидно, что заключение с индуктивной аргументацией шире, чем посылки. В заключение добавляется нечто новое, расширяющее знания об изучаемом явлении. Это потенциальное расширение знаний требует осторожности. Оно может быть плодотворно, но существует некоторая опасность получить необоснованные и ложные выводы.
Логическим основанием индуктивного заключения является предположение о единообразии в системе фактов, относящихся к посылкам и заключению. Это предположение, называемое единообразием в природе, статистической устойчивостью опыта, ограничением независимой вариации в природе, всегда представляет как бы невысказанную посылку индукции.
Если бы единообразие в естественных процессах не проявлялось, природе был бы свойствен полный хаос. При этом никакое нагромождение фактов не могло бы оправдать индукцию. Нельзя было бы ничего сказать об условиях за пределами опыта. Но природе свойственно определенное единообразие в поведении отдельных единиц, составляющих то или иное массовое явление. Однако это единообразие в природе не столь строго, чтобы можно было сделать точную оценку массового (общего) явления наблюдаемых единиц. Поэтому статистические заключения о свойствах генеральных совокупностей по выборочным всегда имеют вероятностный характер, т. е. делаются с определенной степенью безошибочности и никогда не делаются с полной достоверностью.
Следует отметить, что конструкция выборочных оценок оказывается более предпочтительной даже в тех случаях, когда все единицы, составляющие то или иное явление, могут быть измерены,
т. е. относятся к ограниченным генеральным совокупностям. Это положение, затронувшее различные виды генеральных совокупностей, нуждается в более широком пояснении. На практике встречаются обследуемые генеральные совокупности конечные и бесконечные. Примером первой может служить выборочное обследование, допустим, бюджетов семей в определенном городе.
С бесконечными совокупностями имеют дело при различных экспериментальных исследованиях, когда вопрос заключается не в том, чтобы получить точный результат в данном эксперименте, но главным образом в оценке того, каковы будут результаты массового применения данного процесса – биологического, технологического или экономического. Предположим, производится оценка степени всхожести семян на нескольких десятках делянок (в % от обследованных единиц). В данном случае генеральная совокупность бесконечна, ибо для оценки не столь уж важно, сколько взошло семян на данных делянках, как то, каковы будут всходы в производстве. Здесь научный эксперимент становится как бы «механизмом» получения случайной выборки.
Возможны обстоятельства, когда полезно прибегнуть к особой логической конструкции – гипотетической генеральной сверхсовокупности. Иногда мы можем располагать данными даже сплошного обследования реально существующей совокупности, и все же бывает полезно рассматривать эти данные как выборку из некоторой сверхсовокупности. Так поступают, когда не только нужны полученные факты, но и необходимо выявить общую закономерность, по отношению к которой статистический материал представляется лишь частным случаем.
Предположим, что из статистических обследований рождаемости в стране за ряд лет установлено, что 52% из числа родившихся составили мальчики. Эти данные получены путем сплошного обследования и характеризуют явление однозначно. Однако, если нас интересует результат и за пределами обследованных лет или проверяется заключение о том, что мальчиков рождается больше, тогда полученные данные следует рассматривать как выборку из некоторой бесконечной сверхсовокупности различных возможных пропорций рождений по полу. На основе таких данных, пользуясь методами статистики, представляется возможным исследовать, приемлемо ли предположение о более частой рождаемости мальчиков. Заметим, что определяемая таким образом сверхсовокупность не ограничена ни численностью, ни территорией, в которой произведен эксперимент.
Все темы данного раздела:
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
для студентов вузов, обучающихся по специальности 1-31 01 01 «Биология»
Гомель 2010
Понятие случайного события
Статистическая индукция или статистические заключения, как главная составная часть метода исследования массовых явлений, имеют свои отличительные черты. Статистические заключения делают с численно
Вероятность случайного события
Числовая характеристика случайного события, обладающая тем свойством, что для любой достаточно большой серии испытаний частота события лишь незначительно отличается от этой характеристики, называет
Вычисление вероятностей
Часто возникает необходимость одновременно складывать и умножать вероятности. Например, требуется определить вероятность выпадения 5 очков при одновременном бросании 2 кубиков. Искомая сумма вероят
Понятие случайной переменной
Определив понятие вероятности и выяснив ее главные свойства, перейдем к рассмотрению одного из важнейших понятий теории вероятностей – понятия случайной переменной.
Допустим, что в результ
Дискретные случайные переменные
Случайная переменная дискретна, если совокупность возможных ее значений конечна, или, по крайней мере, поддается счислению. Предположим, что случайная переменная X может принимать значения x1
Непрерывные случайные переменные
В противоположность дискретным случайным переменным, рассмотренным в предыдущем подразделе, совокупность возможных значений непрерывной случайной переменной не только не конечна, но и не поддается
Математическое ожидание и дисперсия
Часто возникает необходимость охарактеризовать распределение случайной переменной с помощью одного–двух числовых показателей, выражающих наиболее существенные свойства этого распределения. К таким
Моменты
Большое значение в математической статистике имеют так называемые моменты распределения случайной переменной. В математическом ожидании большие значения случайной величины учитываются недостаточно.
Биномиальное распределение и измерение вероятностей
В этой теме рассмотрим основные типы распределения дискретных случайных переменных. Предположим, что вероятность наступления некоторого случайного события А при единичном испытании равно
Прямоугольное (равномерное) распределение
Прямоугольное (равномерное) распределение — простейший тип непрерывных распределений. Если случайная переменная X может принимать любое действительное значение в интервале (а, b), где а и b – дейст
Нормальное распределение
Нормальное распределение играет основную роль в математической статистике. Это ни в малейшей степени не является случайным: в объективной действительности весьма часто встречаются различные признак
Логарифмически нормальное распределение
Случайная переменная Y имеет логарифмически нормальное распределение с параметрами μ и σ, если случайная переменная X = lnY имеет нормальное распределение с теми же параметрами μ и &
Средние величины
Из всех групповых свойств наибольшее теоретическое и практическое значение имеет средний уровень, измеряемый средней величиной признака.
Средняя величина признака – понятие очень глубокое,
Общие свойства средних величин
Для правильного использования средних величин необходимо знать свойства этих показателей: срединное расположение, абстрактность и единство суммарного действия.
По своему численному значени
Средняя арифметическая
Средняя арифметическая, обладая общими свойствами средних величин, имеет свои особенности, которые можно выразить следующими формулами:
Средний ранг (непараметрическая средняя)
Средний ранг определяется для таких признаков, для которых еще не найдены способы количественного измерения. По степени проявления таких признаков объекты могут быть ранжированы, т. е. расположены
Взвешенная средняя арифметическая
Обычно, чтобы рассчитать среднюю арифметическую, складывают все значения признака и полученную сумму делят на число вариантов. В этом случае каждое значение, входя в сумму, увеличивает ее на полную
Средняя квадратическая
Средняя квадратическая вычисляется по формуле:
, (6.5)
Она равна корню квадратному из суммы
Медиана
Медианой называют такое значение признака, которое разделяет всю группу на две равные части: одна часть имеет значения признака меньшее, чем медиана, а другая – большее.
Например, если име
Средняя геометрическая
Чтобы получить среднюю геометрическую для группы с n данными, нужно все варианты перемножить и из полученного произведения извлечь корень n-й степени:
Средняя гармоническая
Средняя гармоническая рассчитывается по формуле
. (6.14)
Для пяти вариантов: 1, 4, 5, 5 сре
Число степеней свободы
Число степеней свободы равно числу элементов свободного разнообразия в группе. Оно равно числу всех имеющихся элементов изучения без числа ограничений разнообразия.
Например, для исследова
Коэффициент вариации
Стандартное отклонение – величина именованная, выраженная в тех же единицах измерения, как и средняя арифметическая.
Поэтому для сравнения разных признаков, выраженных в разных единицах из
Лимиты и размах
Для быстрой и примерной оценки степени разнообразия часто применяются простейшие показатели:
lim = {min ¸ max} – лимиты, т. е. наименьшее и наибольшее значения признака,
p =
Нормированное отклонение
Обычно степень развития признака определяется путем его измерения и выражается определенным именованным числом: 3 кг веса, 15 см длины, 20 зацепок на крыле у пчел, 4% жира в молоке, 15 кг настрига
Средняя и сигма суммарной группы
Иногда бывает необходимо определить среднюю и сигму для суммарного распределения, составленного из нескольких распределений. При этом известны не сами распределения, а только их средние и сигмы.
Скошенность (асимметрия) и крутизна (эксцесс) кривой распределения
Для больших выборок (n > 100) вычисляют еще два статистических показателя.
Скошенность кривой называется асимметрией:
Вариационный ряд
По мере увеличения численности изучаемых групп все более и более проявляется та закономерность в разнообразии, которая в малочисленных группах была скрыта случайной формой своего проявления.
Гистограмма и вариационная кривая
Гистограмма – это вариационный ряд, представленный в виде диаграммы, в которой различная величина частот изображается различной высотой столбиков. Гистограмма распределения данных представлена на р
Достоверность различия распределений
Статистическая гипотеза – это определённое предположение о распределении вероятностей, лежащем в основе наблюдаемой выборки данных.
Проверка статистической гипотезы – это процесс принятия
Критерий по асимметрии и эксцессу
Некоторые признаки растений, животных и микроорганизмов при объединении объектов в группы дают распределения, значительно отличающиеся от нормального.
В тех случаях, когда какие-нибудь при
Генеральная совокупность и выборка
Весь массив особей определенной категории называется генеральной совокупностью. Объем генеральной совокупности определяется задачами исследования.
Если изучается какой-нибудь вид диких жив
Репрезентативность
Непосредственное изучение группы отобранных объектов дает, прежде всего, первичный материал и характеристику самой выборки.
Все выборочные данные и сводные показатели имеют значение в каче
Ошибки репрезентативности и другие ошибки исследований
Оценка генеральных параметров по выборочным показателям имеет свои особенности.
Часть никогда не может полностью охарактеризовать все целое, поэтому характеристика генеральной совокупности
Доверительные границы
Определять величину ошибок репрезентативности необходимо для того, чтобы выборочные показатели использовать еще и для нахождения возможных значений генеральных параметров. Этот процесс называется о
Общий порядок оценки
Три величины, необходимые для оценки генерального параметра, – выборочный показатель (), критерий надежности
Оценка средней арифметической
Оценка средней величины имеет целью установить величину генеральной средней для изученной категории объектов. Требуемая для этой цели ошибка репрезентативности определяется по формуле:
Оценка средней разности
В некоторых исследованиях в качестве первичных данных берется разность двух измерений. Это может быть в случае, когда каждая особь выборки изучается в двух состояниях – или в разном возрасте, или п
Недостоверная и достоверная оценка средней разности
Такие результаты выборочных исследований, по которым нельзя получить никакой определенной оценки генерального параметра (или он больше нуля, или меньше, или равен нулю), называются недостоверными.
Оценка разности генеральных средних
В биологических исследованиях особое значение имеет разность двух величин. По разности ведется сравнение разных популяций, рас, пород, сортов, линий, семейств, опытных и контрольных групп (метод гр
Критерий достоверности разности
При том большом значении, которое имеет для исследователей получение достоверных разностей, появляется необходимость овладеть методами, позволяющими определить – достоверна ли полученная, реально с
Репрезентативность при изучении качественных признаков
Качественные признаки обычно не могут иметь градаций проявления: они или имеются, или не имеются у каждой из особей, например пол, комолость, наличие или отсутствие каких-нибудь особенностей, уродс
Достоверность разности долей
Достоверность разности выборочных долей определяется так же, как и для разности средних:
(10.34)
Коэффициент корреляции
Во многих исследованиях требуется изучить несколько признаков в их взаимной связи. Если вести такое исследование по отношению к двум признакам, то можно заметить, что изменчивость одного признака н
Ошибка коэффициента корреляции
Как и всякая выборочная величина, коэффициент корреляции имеет свою ошибку репрезентативности, вычисляемую для больших выборок по формуле:
Достоверность выборочного коэффициента корреляции
Критерий выборочного коэффициента корреляции определяется по формуле:
(11.9)
где:
Доверительные границы коэффициента корреляции
Доверительные границы генерального значения коэффициента корреляции находятся общим способом по формуле:
Достоверность разности двух коэффициентов корреляции
Достоверность разности коэффициентов корреляции определяется так же, как и достоверность разности средних, по обычной формуле
Уравнение прямолинейной регрессии
Прямолинейная корреляция отличается тем, что при этой форме связи каждому из одинаковых изменений первого признака соответствует вполне определенное и тоже одинаковое в среднем изменение другого пр
Ошибки элементов уравнения прямолинейной регрессии
В уравнении простой прямолинейной регрессии:
у = а + bх
возникают три ошибки репрезентативности.
1 Ошибка коэффициента регрессии:
Частный коэффициент корреляции
Частный коэффициент корреляции – это показатель, измеряющий степень сопряженности двух признаков при постоянном значении третьего.
Математическая статистика позволяет установить корреляцию
Множественный коэффициент корреляции
Множественный коэффициент корреляции трех переменных – это показатель тесноты линейной связи между одним из признаков (буква индекса перед тире) и совокупностью двух других признаков (буквы индекса
Линейное уравнение множественной регрессии
Математическое уравнение для прямолинейной зависимости между тремя переменными называется множественным линейным уравнением плоскости регрессии. Оно имеет следующий общий вид:
Корреляционное отношение
Если связь между изучаемыми явлениями существенно отклоняется от линейной, что легко установить по графику, то коэффициент корреляции непригоден в качестве меры связи. Он может указать на отсутстви
Свойства корреляционного отношения
Корреляционное отношение измеряет степень корреляции при любой ее форме.
Кроме того, корреляционное отношение обладает рядом других свойств, представляющих большой интерес в статистическом
Ошибка репрезентативности корреляционного отношения
Еще не разработано точной формулы ошибки репрезентативности корреляционного отношения. Обычно приводимая в учебниках формула имеет недостатки, которыми не всегда можно пренебречь. Эта формула не уч
Критерий линейности корреляции
Для определения степени приближения криволинейной зависимости к прямолинейной используется критерий F, вычисляемый по формуле:
Дисперсионный комплекс
Дисперсионный комплекс – это совокупность градаций с привлеченными для исследования данными и средними из данных по каждой градации (частные средние) и по всему комплексу (общая средняя).
Статистические влияния
Статистическое влияние – это отражение в разнообразии результативного признака того разнообразия фактора (его градаций), которое организовано в исследовании.
Для оценки влияния фактора нео
Факториальное влияние
Факториальное влияние – это простое или комбинированное статистическое влияние изучаемых факторов.
В однофакторных комплексах изучается простое влияние одного фактора при определенных орга
Однофакторный дисперсионный комплекс
Дисперсионный анализ разработан и введен в практику сельскохозяйственных и биологических исследований английским ученым Р. А. Фишером, который открыл закон распределения отношения средних квадратов
Многофакторный дисперсионный комплекс
Ясное представление о математической модели дисперсионного анализа облегчает понимание необходимых вычислительных операций, особенно при обработке данных многофакторных опытов, в которых больше ист
Преобразования
Правильное использование дисперсионного анализа для обработки экспериментального материала предполагает однородность дисперсий по вариантам (выборкам), нормальное или близкое к нему распределение в
Показатели силы влияний
Определение силы влияний по их результатам требуется в биологии, сельском хозяйстве, медицине для выбора наиболее эффективных средств воздействия, для дозировки физических и химических агентов – ст
Ошибка репрезентативности основного показателя силы влияния
Точная формула ошибки основного показателя силы влияния еще не найдена.
В однофакторных комплексах, когда ошибка репрезентативности определяется только для одного показателя факториального
Предельные значения показателей силы влияния
Основной показатель силы влияния равен доле одного слагаемого от всей суммы слагаемых. Кроме того, этот показатель равен квадрату корреляционного отношения. По этим двум причинам показатель силы вл
Достоверность влияний
Основной показатель силы влияния, полученный в выборочном исследовании, характеризует, прежде всего, ту степень влияния, которая реально, в действительности, проявилась в группе исследованных объек
Дискриминантный анализ
Дискриминантный анализ является одним из методов многомерного статистического анализа. Цель дискриминантного анализа состоит в том, чтобы на основе измерения различных характеристик (признаков, пар
Постановка задачи, методы решения, ограничения
Предположим, имеется n объектов с m характеристиками. В результате измерений каждый объект характеризуется вектором x1 ... xm, m >1. Задача состоит в том, что
Предположения и ограничения
Дискриминантный анализ «работает» при выполнении ряда предположений.
Предположение о том, что наблюдаемые величины – измеряемые характеристики объекта – имеют нормальное распределение. Это
Алгоритм дискриминантного анализа
Решение задач дискриминации (дискриминантный анализ) состоит в разбиении всего выборочного пространства (множества реализации всех рассматриваемых многомерных случайных величин) на некоторое число
Кластерный анализ
Кластерный анализ объединяет различные процедуры, используемые для проведения классификации. В результате применения этих процедур исходная совокупность объектов разделяется на кластеры или группы
Методы кластерного анализа
В практике обычно реализуются агломеративные методы кластеризации.
Обычно перед началом классификации данные стандартизуются (вычитается среднее и производится деление на корень квадратный
Алгоритм кластерного анализа
Кластерный анализ – это совокупность методов классификации многомерных наблюдений или объектов, основанных на определении понятия расстояния между объектами с последующим выделением из них групп, &
Новости и инфо для студентов