Корреляционное отношение - раздел Философия, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Если Связь Между Изучаемыми Явлениями Существенно Отклоняется От Линейной, Чт...
Если связь между изучаемыми явлениями существенно отклоняется от линейной, что легко установить по графику, то коэффициент корреляции непригоден в качестве меры связи. Он может указать на отсутствие сопряженности там, где налицо сильная криволинейная зависимость. Поэтому необходим новый показатель, который правильно измерял бы степень криволинейной зависимости. Таким показателем является корреляционное отношение, обозначаемое греческой буквой η (эта). Оно измеряет степень корреляции при любой ее форме.
Корреляционное отношение при малом числе наблюдений вычисляют по формуле:
(13.1)
где:
– сумма квадратов отклонений индивидуальных значений Y от общей средней арифметической μY;
– сумма квадратов отклонений вариант от групповых средних 
, соответствующих определенным, фиксированным значениям независимой переменной X.
Для вычисления корреляционного отношения значения независимого признака X располагают по ранжиру в возрастающем порядке и разбивают весь ряд наблюдений на 4–7 групп с таким расчетом, чтобы в каждой группе по ряду X было не менее двух наблюдений. Затем определяют общую среднюю μY, групповые средние 
, соответствующие каждой фиксированной группе X, и суммы квадратов отклонений для общего 
и группового варьирования признака Y.
При большом объеме наблюдений (n > 30) определяется сумма квадратов отклонений группового варьирования 
, сумма квадратов отклонений общего варьирования 
и вычисляется корреляционное отношение по формуле:
(13.2)
Сумма квадратов отклонений групповых средних от общей средней μY (групповое варьирование) характеризует ту часть варьирования признака Y, которая связана с изменчивостью признака X. Сумма квадратов разностей между каждой величиной и общей средней μY, т. е. 
, характеризует общее варьирование признака Y.
При функциональной зависимости Y от X корреляционное отношение равно единице; если оно равно нулю, то показывает некоррелированность Y от X; при промежуточном характере корреляционной зависимости корреляционное отношение заключено в пределах: 0 < ηyx < 1.
Чем ближе к единице, тем сильнее функциональная зависимость Y от X, и, наоборот, чем ближе ηyx к нулю, тем слабее выражена эта зависимость.
Отношение сумм квадратов группового варьирования к общему,
т.е. 
, имеет самостоятельное значение. Оно показывает ту долю варьирования признака Y, которая обусловлена степенью вариаций признака X. Эта величина, называемая коэффициентом детерминации, определяет долю вариации Y под влиянием X.
Корреляционное отношение измеряет степень криволинейных и прямолинейных связей.
Криволинейная связь между признаками – это такая связь, при которой равномерным изменениям первого признака соответствуют неравномерные изменения второго, причем эта неравномерность имеет определенный закономерный характер.
При графическом изображении криволинейных связей, когда по оси абсцисс откладывают значения первого признака, а по оси ординат – значения второго признака и полученные точки соединяют, получают изогнутые линии. Характер изогнутости зависит от природы коррелируемых признаков.
По виду линии на графике можно определить характер связи (прямолинейная или криволинейная).
Степень статистической зависимости одного признака от другого можно определить, сопоставляя разнообразие этих признаков.
В тех случаях, когда первый признак принимает разные значения, а второй признак остается неизменным, можно заключить, что разнообразие второго признака не зависит от разнообразия первого и связь между ними равна нулю.
Если при значительном разнообразии первого признака второй имеет незначительное разнообразие, можно заключить, что статистическая связь между разнообразием обоих признаков имеется, но она небольшая.
В тех случаях, когда при изменениях первого признака второй признак изменяется часто и значительно, можно сделать вывод о большой связи изменений обоих признаков.
Поэтому для получения показателя криволинейной связи можно определить численно степень разнообразия второго признака при определенном разнообразии первого. Делается это при помощи ряда частных средних, рассчитанных для второго признака при разных значениях первого. Обозначаются частные средние второго признака по первому символом μ2-1. Получение таких средних можно показать на следующем простом примере.
Имеется группа из 6 особей, у каждой особи измерено два признака (первый и второй). В результате получены следующие два ряда значений:
X1 4 4 6 6 8 8
X2 8 4 14 18 4 12.
Как видно, особи по первому признаку могут быть разбиты на группы с одинаковым значением этого первого признака (4, 6 и 8). В каждой такой группе будет по 2 особи.
У первых двух особей первый признак имеет одинаковое значение, второй признак у них неодинаков: у одной особи он равен 8, у другой: 4.
Если взять среднюю из этих значений, то это и будет частная средняя второго признака при определенном значении первого:
Вторые две особи с одинаковым значением первого признака (6) имеют неодинаковый второй признак (14 и 18). В этом случае частная средняя:
И, наконец, две особи третьей группы имеют одинаковое значение первого признака – 8, второй признак у одной особи равен 4, а у другой: 12. В данном случае частная средняя второго признака по первому:
Теперь к имеющимся двумя рядам можно приписать третий
ряд – ряд частных средних второго признака по первому:
X1 4 4 6 6 8 8
X2 8 4 14 18 4 12
μ2-1 6 6 16 16 8 8.
Простое сопоставление полученного ряда частных средних второго признака с рядом первого признака показывает, что второй признак не остается неизмененным при изменениях первого.
При изменении первого признака на одну и ту же величину (2) второй признак сначала резко увеличивается с 6 до 16, а потом столь же резко уменьшается с 16 до 8. При не очень большом разнообразии первого признака (от 4 до 8) разнообразие второго, судя по разнообразию частных средних, получилось довольно значительным: от 6 до 16, что, конечно, указывает на большую связь второго признака с первым, или на большую зависимость второго признака от первого.
Степень разнообразия частных средних можно выразить не только лимитами, но и более точным показателем – суммой квадратов центральных отклонений, или дисперсией. Для получения дисперсии надо рассчитать общую среднюю для всех частных средних второго признака μ2, затем для каждой из них определить центральное отклонение D2-1 = μ2-1 – μ2, полученные величины возвести в квадрат и результат сложить:
(13.3)
В разбираемом примере этот расчет показан в последних нескольких строках таблицы 13.1.
Сумма центральных отклонений для ряда частных средних второго признака по первому 
= 112. Это – величина именованная и поэтому имеет значение только для небольшой группы, которая доступна изучению.
Таблица 13.1 – Расчет дисперсий
| X1
|
|
|
|
|
|
| 
|
| X2
|
|
|
|
|
|
| μ2 = 60/6 = 10
|
| μ2-1
|
|
|
|
|
|
|
|
| D2-1=(μ2-1 – μ2)
| –4
| –4
| +6
| +6
| –2
| –2
|
|
 =(μ2-1 – μ2)2
|
|
|
|
|
|
|  =112
|
| D2=(X2 – μ 2)
| –2
| –6
| +4
| +8
| –6
| +2
|
|
 =(X2 – μ2)2
|
|
|
|
|
|
|  =160
|
Чтобы выяснить, насколько велика эта величина, необходимо отнести ее к сумме центральных отклонений по всему второму признаку 
, которая рассчитывается обычным путем по разностям между каждым значением признака и общей средней изучаемого признака 
=160.
Это значит, что степень разнообразия второго признака, связанная с изменчивостью всех факторов, влияющих на его развитие, выражается для разбираемого примера числом 160.
Разнообразие этого же признака, происшедшее в связи с тем, что первый признак принимал различные, постепенно увеличивающиеся значения, выражается меньшим числом 
=112. Отношение этих двух показателей – частного и общего разнообразия – есть квадрат корреляционного отношения второго признака по первому:
. (13.4)
Корреляционное отношение второго признака по первому для рассматриваемого примера
(13.5)
Величина корреляционного отношения не может быть больше единицы и меньше нуля: этот показатель не может быть отрицательным.
Значение 
свидетельствует о сильной корреляционной связи второго признака с первым.
Может возникнуть вопрос – зачем понадобился новый показатель; нельзя ли в этом случае измерить степень связи при помощи основного показателя – коэффициента корреляции?
Для решения этого вопроса достаточно рассчитать коэффициент корреляции для случая явно криволинейной связи, например, для только что изученной группы из 6 особей (таблица 13.2).
Получился очень малый коэффициент корреляции (r = +0,16), что находится в явном противоречии и с видом корреляционных рядов и с величиной корреляционного отношения. Объясняется это тем, что коэффициент корреляции не может характеризовать степень криволинейной связи.
Таблица 13.2 – Малый коэффициент корреляции при большой криволинейной связи
| X1
|
|
|
|
|
|
| SX1=36  =232–362/6=16
|
| X2
|
|
|
|
|
|
| SX2=60 =760–602/6=160
|
|
|
|
|
|
|
| S=232
| 
|
|
|
|
|
|
|
| S=760
|
| X1×X2
|
|
|
|
|
|
| SX1×X2=368
|
Все темы данного раздела:
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
для студентов вузов, обучающихся по специальности 1-31 01 01 «Биология»
Гомель 2010
Предмет и метод математической статистики
Предмет математической статистики – изучение свойств массовых явлений в биологии, экономике, технике и других областях. Эти явления обычно представляются сложными, вследствие разнообразия (варьиров
Понятие случайного события
Статистическая индукция или статистические заключения, как главная составная часть метода исследования массовых явлений, имеют свои отличительные черты. Статистические заключения делают с численно
Вероятность случайного события
Числовая характеристика случайного события, обладающая тем свойством, что для любой достаточно большой серии испытаний частота события лишь незначительно отличается от этой характеристики, называет
Вычисление вероятностей
Часто возникает необходимость одновременно складывать и умножать вероятности. Например, требуется определить вероятность выпадения 5 очков при одновременном бросании 2 кубиков. Искомая сумма вероят
Понятие случайной переменной
Определив понятие вероятности и выяснив ее главные свойства, перейдем к рассмотрению одного из важнейших понятий теории вероятностей – понятия случайной переменной.
Допустим, что в результ
Дискретные случайные переменные
Случайная переменная дискретна, если совокупность возможных ее значений конечна, или, по крайней мере, поддается счислению. Предположим, что случайная переменная X может принимать значения x1
Непрерывные случайные переменные
В противоположность дискретным случайным переменным, рассмотренным в предыдущем подразделе, совокупность возможных значений непрерывной случайной переменной не только не конечна, но и не поддается
Математическое ожидание и дисперсия
Часто возникает необходимость охарактеризовать распределение случайной переменной с помощью одного–двух числовых показателей, выражающих наиболее существенные свойства этого распределения. К таким
Моменты
Большое значение в математической статистике имеют так называемые моменты распределения случайной переменной. В математическом ожидании большие значения случайной величины учитываются недостаточно.
Биномиальное распределение и измерение вероятностей
В этой теме рассмотрим основные типы распределения дискретных случайных переменных. Предположим, что вероятность наступления некоторого случайного события А при единичном испытании равно
Прямоугольное (равномерное) распределение
Прямоугольное (равномерное) распределение — простейший тип непрерывных распределений. Если случайная переменная X может принимать любое действительное значение в интервале (а, b), где а и b – дейст
Нормальное распределение
Нормальное распределение играет основную роль в математической статистике. Это ни в малейшей степени не является случайным: в объективной действительности весьма часто встречаются различные признак
Логарифмически нормальное распределение
Случайная переменная Y имеет логарифмически нормальное распределение с параметрами μ и σ, если случайная переменная X = lnY имеет нормальное распределение с теми же параметрами μ и &
Средние величины
Из всех групповых свойств наибольшее теоретическое и практическое значение имеет средний уровень, измеряемый средней величиной признака.
Средняя величина признака – понятие очень глубокое,
Общие свойства средних величин
Для правильного использования средних величин необходимо знать свойства этих показателей: срединное расположение, абстрактность и единство суммарного действия.
По своему численному значени
Средняя арифметическая
Средняя арифметическая, обладая общими свойствами средних величин, имеет свои особенности, которые можно выразить следующими формулами:
Средний ранг (непараметрическая средняя)
Средний ранг определяется для таких признаков, для которых еще не найдены способы количественного измерения. По степени проявления таких признаков объекты могут быть ранжированы, т. е. расположены
Взвешенная средняя арифметическая
Обычно, чтобы рассчитать среднюю арифметическую, складывают все значения признака и полученную сумму делят на число вариантов. В этом случае каждое значение, входя в сумму, увеличивает ее на полную
Средняя квадратическая
Средняя квадратическая вычисляется по формуле:
, (6.5)
Она равна корню квадратному из суммы
Медиана
Медианой называют такое значение признака, которое разделяет всю группу на две равные части: одна часть имеет значения признака меньшее, чем медиана, а другая – большее.
Например, если име
Средняя геометрическая
Чтобы получить среднюю геометрическую для группы с n данными, нужно все варианты перемножить и из полученного произведения извлечь корень n-й степени:
Средняя гармоническая
Средняя гармоническая рассчитывается по формуле
. (6.14)
Для пяти вариантов: 1, 4, 5, 5 сре
Число степеней свободы
Число степеней свободы равно числу элементов свободного разнообразия в группе. Оно равно числу всех имеющихся элементов изучения без числа ограничений разнообразия.
Например, для исследова
Коэффициент вариации
Стандартное отклонение – величина именованная, выраженная в тех же единицах измерения, как и средняя арифметическая.
Поэтому для сравнения разных признаков, выраженных в разных единицах из
Лимиты и размах
Для быстрой и примерной оценки степени разнообразия часто применяются простейшие показатели:
lim = {min ¸ max} – лимиты, т. е. наименьшее и наибольшее значения признака,
p =
Нормированное отклонение
Обычно степень развития признака определяется путем его измерения и выражается определенным именованным числом: 3 кг веса, 15 см длины, 20 зацепок на крыле у пчел, 4% жира в молоке, 15 кг настрига
Средняя и сигма суммарной группы
Иногда бывает необходимо определить среднюю и сигму для суммарного распределения, составленного из нескольких распределений. При этом известны не сами распределения, а только их средние и сигмы.
Скошенность (асимметрия) и крутизна (эксцесс) кривой распределения
Для больших выборок (n > 100) вычисляют еще два статистических показателя.
Скошенность кривой называется асимметрией:
Вариационный ряд
По мере увеличения численности изучаемых групп все более и более проявляется та закономерность в разнообразии, которая в малочисленных группах была скрыта случайной формой своего проявления.
Гистограмма и вариационная кривая
Гистограмма – это вариационный ряд, представленный в виде диаграммы, в которой различная величина частот изображается различной высотой столбиков. Гистограмма распределения данных представлена на р
Достоверность различия распределений
Статистическая гипотеза – это определённое предположение о распределении вероятностей, лежащем в основе наблюдаемой выборки данных.
Проверка статистической гипотезы – это процесс принятия
Критерий по асимметрии и эксцессу
Некоторые признаки растений, животных и микроорганизмов при объединении объектов в группы дают распределения, значительно отличающиеся от нормального.
В тех случаях, когда какие-нибудь при
Генеральная совокупность и выборка
Весь массив особей определенной категории называется генеральной совокупностью. Объем генеральной совокупности определяется задачами исследования.
Если изучается какой-нибудь вид диких жив
Репрезентативность
Непосредственное изучение группы отобранных объектов дает, прежде всего, первичный материал и характеристику самой выборки.
Все выборочные данные и сводные показатели имеют значение в каче
Ошибки репрезентативности и другие ошибки исследований
Оценка генеральных параметров по выборочным показателям имеет свои особенности.
Часть никогда не может полностью охарактеризовать все целое, поэтому характеристика генеральной совокупности
Доверительные границы
Определять величину ошибок репрезентативности необходимо для того, чтобы выборочные показатели использовать еще и для нахождения возможных значений генеральных параметров. Этот процесс называется о
Общий порядок оценки
Три величины, необходимые для оценки генерального параметра, – выборочный показатель (), критерий надежности
Оценка средней арифметической
Оценка средней величины имеет целью установить величину генеральной средней для изученной категории объектов. Требуемая для этой цели ошибка репрезентативности определяется по формуле:
Оценка средней разности
В некоторых исследованиях в качестве первичных данных берется разность двух измерений. Это может быть в случае, когда каждая особь выборки изучается в двух состояниях – или в разном возрасте, или п
Недостоверная и достоверная оценка средней разности
Такие результаты выборочных исследований, по которым нельзя получить никакой определенной оценки генерального параметра (или он больше нуля, или меньше, или равен нулю), называются недостоверными.
Оценка разности генеральных средних
В биологических исследованиях особое значение имеет разность двух величин. По разности ведется сравнение разных популяций, рас, пород, сортов, линий, семейств, опытных и контрольных групп (метод гр
Критерий достоверности разности
При том большом значении, которое имеет для исследователей получение достоверных разностей, появляется необходимость овладеть методами, позволяющими определить – достоверна ли полученная, реально с
Репрезентативность при изучении качественных признаков
Качественные признаки обычно не могут иметь градаций проявления: они или имеются, или не имеются у каждой из особей, например пол, комолость, наличие или отсутствие каких-нибудь особенностей, уродс
Достоверность разности долей
Достоверность разности выборочных долей определяется так же, как и для разности средних:
(10.34)
Коэффициент корреляции
Во многих исследованиях требуется изучить несколько признаков в их взаимной связи. Если вести такое исследование по отношению к двум признакам, то можно заметить, что изменчивость одного признака н
Ошибка коэффициента корреляции
Как и всякая выборочная величина, коэффициент корреляции имеет свою ошибку репрезентативности, вычисляемую для больших выборок по формуле:
Достоверность выборочного коэффициента корреляции
Критерий выборочного коэффициента корреляции определяется по формуле:
(11.9)
где:
Доверительные границы коэффициента корреляции
Доверительные границы генерального значения коэффициента корреляции находятся общим способом по формуле:
Достоверность разности двух коэффициентов корреляции
Достоверность разности коэффициентов корреляции определяется так же, как и достоверность разности средних, по обычной формуле
Уравнение прямолинейной регрессии
Прямолинейная корреляция отличается тем, что при этой форме связи каждому из одинаковых изменений первого признака соответствует вполне определенное и тоже одинаковое в среднем изменение другого пр
Ошибки элементов уравнения прямолинейной регрессии
В уравнении простой прямолинейной регрессии:
у = а + bх
возникают три ошибки репрезентативности.
1 Ошибка коэффициента регрессии:
Частный коэффициент корреляции
Частный коэффициент корреляции – это показатель, измеряющий степень сопряженности двух признаков при постоянном значении третьего.
Математическая статистика позволяет установить корреляцию
Множественный коэффициент корреляции
Множественный коэффициент корреляции трех переменных – это показатель тесноты линейной связи между одним из признаков (буква индекса перед тире) и совокупностью двух других признаков (буквы индекса
Линейное уравнение множественной регрессии
Математическое уравнение для прямолинейной зависимости между тремя переменными называется множественным линейным уравнением плоскости регрессии. Оно имеет следующий общий вид:
Свойства корреляционного отношения
Корреляционное отношение измеряет степень корреляции при любой ее форме.
Кроме того, корреляционное отношение обладает рядом других свойств, представляющих большой интерес в статистическом
Ошибка репрезентативности корреляционного отношения
Еще не разработано точной формулы ошибки репрезентативности корреляционного отношения. Обычно приводимая в учебниках формула имеет недостатки, которыми не всегда можно пренебречь. Эта формула не уч
Критерий линейности корреляции
Для определения степени приближения криволинейной зависимости к прямолинейной используется критерий F, вычисляемый по формуле:
Дисперсионный комплекс
Дисперсионный комплекс – это совокупность градаций с привлеченными для исследования данными и средними из данных по каждой градации (частные средние) и по всему комплексу (общая средняя).
Статистические влияния
Статистическое влияние – это отражение в разнообразии результативного признака того разнообразия фактора (его градаций), которое организовано в исследовании.
Для оценки влияния фактора нео
Факториальное влияние
Факториальное влияние – это простое или комбинированное статистическое влияние изучаемых факторов.
В однофакторных комплексах изучается простое влияние одного фактора при определенных орга
Однофакторный дисперсионный комплекс
Дисперсионный анализ разработан и введен в практику сельскохозяйственных и биологических исследований английским ученым Р. А. Фишером, который открыл закон распределения отношения средних квадратов
Многофакторный дисперсионный комплекс
Ясное представление о математической модели дисперсионного анализа облегчает понимание необходимых вычислительных операций, особенно при обработке данных многофакторных опытов, в которых больше ист
Преобразования
Правильное использование дисперсионного анализа для обработки экспериментального материала предполагает однородность дисперсий по вариантам (выборкам), нормальное или близкое к нему распределение в
Показатели силы влияний
Определение силы влияний по их результатам требуется в биологии, сельском хозяйстве, медицине для выбора наиболее эффективных средств воздействия, для дозировки физических и химических агентов – ст
Ошибка репрезентативности основного показателя силы влияния
Точная формула ошибки основного показателя силы влияния еще не найдена.
В однофакторных комплексах, когда ошибка репрезентативности определяется только для одного показателя факториального
Предельные значения показателей силы влияния
Основной показатель силы влияния равен доле одного слагаемого от всей суммы слагаемых. Кроме того, этот показатель равен квадрату корреляционного отношения. По этим двум причинам показатель силы вл
Достоверность влияний
Основной показатель силы влияния, полученный в выборочном исследовании, характеризует, прежде всего, ту степень влияния, которая реально, в действительности, проявилась в группе исследованных объек
Дискриминантный анализ
Дискриминантный анализ является одним из методов многомерного статистического анализа. Цель дискриминантного анализа состоит в том, чтобы на основе измерения различных характеристик (признаков, пар
Постановка задачи, методы решения, ограничения
Предположим, имеется n объектов с m характеристиками. В результате измерений каждый объект характеризуется вектором x1 ... xm, m >1. Задача состоит в том, что
Предположения и ограничения
Дискриминантный анализ «работает» при выполнении ряда предположений.
Предположение о том, что наблюдаемые величины – измеряемые характеристики объекта – имеют нормальное распределение. Это
Алгоритм дискриминантного анализа
Решение задач дискриминации (дискриминантный анализ) состоит в разбиении всего выборочного пространства (множества реализации всех рассматриваемых многомерных случайных величин) на некоторое число
Кластерный анализ
Кластерный анализ объединяет различные процедуры, используемые для проведения классификации. В результате применения этих процедур исходная совокупность объектов разделяется на кластеры или группы
Методы кластерного анализа
В практике обычно реализуются агломеративные методы кластеризации.
Обычно перед началом классификации данные стандартизуются (вычитается среднее и производится деление на корень квадратный
Алгоритм кластерного анализа
Кластерный анализ – это совокупность методов классификации многомерных наблюдений или объектов, основанных на определении понятия расстояния между объектами с последующим выделением из них групп, &
Новости и инфо для студентов