История возникновения теории нечетких множеств

Теория нечетких множеств (fuzzy sets theory) ведет свое начало с 1965г., когда профессор Лотфи Заде (Lotfi Zadeh) из университета Беркли опубликовал основополагающую работу “Fuzzy Sets” в журнале “Information and Control”. Концепция нечеткого множества зародилась у Заде “как неудовлетворенность математическими методами классической теории систем, которая вынуждала добиваться искусственной точности, неуместной во многих системах реального мира, особенно в так называемых гуманистических системах, включающих людей”.

Началом практического применения теории нечетких множеств можно считать 1975г., когда Мамдани и Ассилиан построили первый нечеткий контролер для управления простым паровым двигателем. В 1982 Холмблад и Остергад разработали первый промышленный нечеткий контроллер, который был внедрен в управление процессом обжига цемента на заводе в Дании. Успех первого промышленного контролера, основанного на нечетких лингвистических правилах “Если - то” привел к всплеску интереса к теории нечетких множеств среди математиков и инженеров. Несколько позже Бартоломеем Коско была доказана теорема о нечеткой аппроксимации, согласно которой любая математическая система может быть аппроксимирована системой, основанной на нечеткой логике. Другими словами, с помощью естественно-языковых высказываний-правил “Если - то”, с последующей их формализацией средствами теории нечетких множеств, можно сколько угодно точно отразить произвольную взаимосвязь “входы-выход” без использования сложного аппарата дифференциального и интегрального исчислений, традиционно применяемого в управлении и идентификации.

Системы, основанные на нечетких множествах, разработаны и успешно внедрены в таких областях, как: управление технологическими процессами, управление транспортом, медицинская диагностика, техническая диагностика, финансовый менеджмент, биржевое прогнозирование, распознавание образов. Спектр приложений очень широкий - от видеокамер и бытовых стиральных машин до средств наведения ракет ПВО и управления боевыми вертолетами. Практический опыт разработки систем нечеткого логического вывода свидетельствует, что сроки и стоимость их проектирования значительно меньше, чем при использовании традиционного математического аппарата, при этом обеспечивается требуемый уровень робастности и прозрачности моделей.

3.1.1. Четкие и нечеткие множества

3.1.1.1. Четкие множества

Определение. Множество А – четкое множество, если А – часть некоторого универсального для данной прикладной задачи множества U, характеризующегося условиями:

· Все элементы множества четко различимы между собой, во множестве нет повторяющихся элементов, нескольких экземпляров некоторых элементов;

· Относительно каждого элемента uÎU можно четко определить, принадлежит он данному множеству или нет.

Эти условия позволяют охарактеризовать четкое множество его характеристической функцией, заданной на универсальном множестве U и принимающей значения в множестве {0, 1}:

.

Отказ от первого условия приводит к более общему, чем множество, понятию комплекта, допускающего наличие нескольких экземпляров некоторых элементов. Комплект характеризуется функцией экземплярности, заданной на универсальном множестве U и принимающей значения во множестве неотрицательных целых чисел: Î{0, 1, 2, …} – число экземпляров элемента uÎU в комплекте .

Отказ от второго условия приводит к более общему, чем множество, понятию нечеткого множества, допускающего определение лишь некоторой степени принадлежности элементов такому множеству.

3.1.1.2. Нечеткое множество

Нечеткое множество А характеризуется функцией принадлежности, заданной на универсальном множестве U и принимающей значения во множестве чисел , при этом указывает на степень принадлежности элемента нечеткому множеству.

Легко заметить, что четкое множество – частный случай нечеткого множества, в этом случае функция принадлежности может принимать только два возможных значения 0 или 1 и является ни чем иным, как характеристической функцией четкого множества.

Определение. Нечетким подмножеством А множества Х называется совокупность пар вида , где , а – функция принадлежности, ставящая в соответствие множеству Х отрезок .

Х – базовое множество или базовая шкала. Значение функции принадлежности для каждого элемента х называется его степенью принадлежности элемента Х нечеткому множеству А. В множество не включаются элементы, для которых .

Нечеткое множество Æ – пустое, если для каждого .

Нечеткое множество Х – универсальное, если для каждого .

Пример 1. Пусть X = {Запорожец, Жигули, Мерседес, ...} – множество марок автомобилей, а Y = [0, µ) – универсальное множество "стоимость", тогда на Y мы можем определить нечеткие множества типа: "для бедных", "для среднего класса", "престижные", с функциями принадлежности типа:

 

Имея эти функции и зная стоимости автомобилей из X в данный момент времени, мы тем самым определим на X нечеткие множества с этими же названиями.

Так, например, нечеткое множество "для бедных", заданное на универсальном множестве X = {Запорожец, Жигули, Мерседес, ...} выглядит следующим образом:

 

 

Аналогично можно определить Нечеткое множество "скоростные", "средние", "тихоходные" и т.д.

Пример 2. Нечеткое множество «Оптимальный возраст работника».

E = [20, 70], функция принадлежности, полученная на основе опроса ряда экспертов:

Возраст от 20 до 35 оценивается экспертами как бесспорно оптимальный, в диапазоне от 35 до 60 эксперты проявляют неуверенность, от 60 до 70 – не оптимальный.

 

Определение. Носителем нечетким множеством называется подмножество А множества Х, содержащее те элементы из Х, для которых значения функции принадлежности .

Следует заметить, что носитель нечеткого множества – это множество в обычном смысле.

Пример 3. Пусть Х – множество натуральных чисел. Тогда его нечеткое подмножество очень малых чисел может быть таким:

.

Носителем нечеткое множества является множество . Это обычное четкое подмножество множества Х.

3.1.2. Основные операции над нечеткими множествами

Также как над четкими множествами определяются отношения включения, равенства, операции объединения, пересечения, дополнения и т.д., определяются они и над нечеткими множествами (далее НМ), только делается это при помощи функции принадлежности.

3.1.2.1. Нечеткое включение и нечеткое равенство множеств

Определение. Пусть заданы нечетких подмножеств множества Х. Степень включения НМ А в НМ В находится по формуле .

Если , то А нечетко включается в множество В и обозначается . Если , то А нечетко не включается в множество В и обозначается . Это понятие является обобщением понятия включения для четких множеств. Действительно, пусть А и В – четкие множества и , отсюда следует . Если же , то

Определение. НМ A включается в НМ B – , если .

Иногда говорят, что B «доминирует» над А. Справедливо следующее утверждение: если НМ А включается в НМ В, то выполняется и нечеткое включение . Но, если же выполняется , то из этого не следует, что .

Определение. Степень равенства двух нечетких подмножеств множества Х определяется как .

Если , то множества нечетко равны . Если , то множества нечетко не равны . Если , то множества взаимно индифферентны .

Понятия нечеткого равенства и неравенства, индифферентности являются обобщением понятий равенства и неравенства для четких множеств. Действительно, пусть А и В – четкие множества, тогда в случае А=В, , если же А ≠ В и .

Определение. НМ Аравно НМ В – А=В, если .

Нетрудно заметить, если выполняется равенство множеств А=В, то эти множества являются и нечетко равные .

3.1.2.2. Теоретико-множественные операции

Классическая теория множеств	Нечеткие множества
Основные операции над четкими множествами: Пересечение множеств ; Объединение множеств ; Отрицание (дополнение) множества .	Заде предложил набор аналогичных операций над НМ через операции с функциями принадлежности:   Если А <=> mА(x), В <=> mВ(x), то результат операций – нечеткое множество С<=>mС(x), причем: § если С = А Ç В,тоmС(x) = min(mА(x), mВ(x)); § если С = А È В,тоmС(x) = max(mА(x), mВ(x)); § еслиС = ,то mС(x) = 1 - mА(x).

Пример. Пусть A – нечеткое множество «от 5 до 8» и B – нечеткое множество «около 4», заданные своими функциями принадлежности:

I)

 

II) III)

 

I) Нечеткое множество «между 5 и 8» И () «около 4» (синяя линия).

II) Нечеткое множество «между 5 и 8» ИЛИ () «около 4» (синяя линия).

III) Нечеткое множество НЕ A (синяя линия - это отрицание нечеткого множества A).

3.1.2.3. Свойства операций над нечеткими множествами

Пусть А, В, С – НМ, тогда выполняются следующие свойства:

1) Коммутативность: .

2) Ассоциативность: .

3) Идемпотентность: .

4) Дистрибутивность: .

5) Законы де Моргана: .

6)

7) .

8) .

 

ЗАМЕЧАНИЕ: В отличие от четких множеств, для НМ в общем случае: и .

3.1.3. Дополнительные операции над нечеткими множествами

Определение. Результатом алгебраического произведения двух НМ A и B (обозначается A×B) является НМ с функцией принадлежности:

m_A××B (x) = m_A(x)×m_B(x) "xÎX.

Определение. Результатом алгебраической суммы двух НМ A и B (обозначается AB) является НМ с функцией принадлежности:

m_AB(x)=m _A(x) + m_B(x)- m_A(x)m_B(x) "xÎX.

Для операций {×, } выполняются свойства:

	– коммутативность
	– ассоциативность
	– теоремы де Моргана

A×Æ = Æ, AÆ = A, A×E = A, AE = E

Не выполняются:

	– идемпотентность
	– дистрибутивность
A×= Æ, A= E

Замечание: При совместном использовании операций {È, Ç, +, ×} выполняются свойства:

А×(BÈC) = (A×B)È(A × C);

А× (BÇC) = (A×B)Ç(A×C);

А(BÈC) = (AB)È(AC);

А(BÇC)=(AB)Ç(AC).

На основе операции алгебраического произведения (по крайней мере для целых a эта основа очевидна) определяется операция возведения в степень a нечеткого множества A, где a – положительное число. Нечеткое множество A^a определяется функцией принадлежности: .

Частным случаем возведения в степень являются:

CON(A) = A² – операция концентрирования,

DIL(A) = A^0,5 – операция растяжения,

которые используются при работе с лингвистическими переменными.

Определение. Декартово произведение нечетких множеств: Пусть A₁, A₂, ... , A_n – нечеткие подмножества универсальных множеств E₁, E₂, ... , E_n соответственно. Декартово произведение A=A₁´A₂´ ...´A_n является нечетким подмножеством множества E=E₁´E₂´ ...´E_n с функцией принадлежности:

m_A(x₁, x₂, ..., x_n) = min{ m_A1(x₁), m_A2(x₂) , ... , m_An(x_n) }.

Определение. Оператор увеличения нечеткости:Пусть A – НМ, E – универсальное множество и для всех xÎE определены нечеткие множества K(х). Совокупность всех K(х) называется ядром оператора увеличения нечеткости Ф. Результатом действия оператора Ф на НМ A является НМ вида:

Ф(A, K) = m_A (x)×K(х), где m_A(x)×K(х) – произведение числа на НМ.

Используется для преобразования четких множеств в нечеткие и для увеличения нечеткости НМ.

Пример. E = {1, 2, 3, 4}; A = 0,8/1+0,6/2+0/3+0/4;

K(1)=1/1+0,4/2; K(2)=1/2+0,4/1+0,4/3; K(3)=1/3+0,5/4; K(4)=1/4.

Тогда Ф(A,K) = m_A(1)×K(1)Èm_A(2)×K(2)Èm_A(3)×K(3)Èm_A(4)×K(4) =

= 0,8(1/1+0,4/2) È 0,6(1/2+0,4/1+0,4/3) =

= 0,8/1+0,6/2+0,24/3.

Определение. Четкое множество a-уровня: Множеством a-уровня НМ A универсального множества E называется четкое подмножество Aa универсального множества E, определяемое в виде:

Aa ={ x/m _A(x)³ a }, где a £ 1.

Пример. A = 0,2/x₁ + 0/x₂ + 0,5/x₃ + 1/x₄ ,

тогда A_0.3 = {x₃, x₄}; A_0.7 = {x₄}.

Достаточно очевидное свойство: если a₁ ³ a₂ , то A_a1 £ A_a2 .

Теорема о декомпозиции. Всякое нечеткое множество A разложимо по его множествам уровня в виде:

A =aA_a, где aA_a – произведение числа a на множество A, и a "пробегает" область значений M функции принадлежности НМ A.

Пример. A = 0,1/x₁ + 0/x₂ + 0,7/x₃ + 1/x₄ представимо в виде:

A = 0,1(1,0,1,1) È 0,7(0,0,1,1,) È 1(0,0,0,1)=

= (0,1/x₁+0/x₂+0,1/x₃+0,1/x₄)È(0/x₁+0/x₂+0,7/x₃+0,7/x₄)È

È(0/x₁+0/x₂+0/x₃+1/x₄)=0,1/x₁+0/x₂+0,7/x₃+1/x₄.

3.2. Нечеткие отношения

3.2.1. Способы задания нечетких отношений

Определение. Нечетким отношением R на множествах X₁, X₂ … X_n называется нечеткое подмножество декартова произведения X₁´X₂´…´X_n. Степень принадлежности μ_R(x₁,x₂…x_n) показывает степень выполнения отношения R между соответствующими элементами.

Примеры:

1). Пусть X и Y– множества всех действительных чисел. Нечеткое отношение R: X´Y®[0,1] – «x много больше y» можно задать функцией принадлежности:

2). Нечеткое отношение R, для которого m_R(x,y) = e^-k(x-y)2, при достаточно больших k можно интерпретировать так: «x и y близкие друг к другу числа».

3). Нечеткое отношение R: X´Y®[0,1] – «x приблизительно равно y». Пусть . Тогда нечеткое отношение удобно задавать матрицей вида:

Замечание:В случае конечных или счетных универсальных множеств очевидна интерпретация нечеткого отношения в виде взвешенного графа, в котором пара вершин (x_i,x_j) в случае XRX соединяется ребром с весом μ_R(x_i,x_j), в случае XRY пара вершин (x_i,y_j) соединяется ребром с весом μ_R(x_i,y_j).

4). Пусть Х = {x₁, x₂, x₃}, и задано нечеткое отношение R: X´X® [0,1], представимое графом:

5). Пусть X = {x₁, x₂} и Y = {y₁, y₂, y₃} и нечеткое отношение XRYзадает нечеткий граф вида:

Определение. Носителем нечеткого отношения R называется обычное множество упорядоченных пар (x, y), для которых функция принадлежности положительна:

S(R) = {(x, y): m_R(x, y) > 0}.

3.2.2. Основные операции над нечеткими отношениями

1) Объединение двух отношений R₁ и R₂.

Объединение двух нечетких отношений обозначается R₁ÈR₂ и определяется выражением:

Пример. Ниже изображены отношения действительных чисел, содержательно означающие: xR₁y – «числа x и y очень близкие», xR₂y – «числа x и y очень различны" и их объединение xR₁ÈR₂y – «числа x и y очень близкие или очень различные».

Функции принадлежности отношений заданы на модуле разности |x-y|.

,

где α – такое |x-y|, что μ_R1(x,y) = μ_R2(x,y).

 

2) Пересечение двух отношений R₁ и R₂.

Пересечение двух нечетких отношений R₁и R₂ обозначается R₁ÇR₂ и определяется выражением:

Пример.

3.2.2.1.Проекция нечеткого отношения

Пусть R – нечеткое отношение R: (x, y) ® [0,1]. Первой проекцией отношения R (проекция на X) называется нечеткое множество , заданное на множестве X, с функцией принадлежности: .

Аналогично, второй проекцией (проекцией на Y) называется нечеткое множество , заданное на множестве Y, с функцией принадлежности: .

Вторая проекция первой проекции (или наоборот) называется глобальной проекцией нечеткого отношения и обозначается h(R). Таким образом, .

Если h(R)=1 – отношение нормально, если h(R)<1 – субнормально.

Пример:

R	y1	y2	y3	y4		1-я
x1	0.1	0.2		0.3
x2	0.6	0.8		0.1		0.8
x3			0.3	0.6
x4	0.8	0.1
x5	0.9	0.7		0.5		0.9
x6	0.9		0.3	0.7		0.9
2-я	0.9			0.7		h(R)=1

Проекции и нечеткого отношения XRY в свою очередь определяют в X´Y нечеткие отношения и с функциями принадлежности: при любом y, при любом x, называемые, соответственно, цилиндрическим продолжением и цилиндрическим продолжением .

Замечание: Очевидно, что для любых нечетких подмножеств А и В, определенных, соответственно, на X и Y, можно построить их цилиндрические продолжения А и В.

Пример (продолжение):

					y1	y2	y3	y4
x1		x1
x2	0.8	x2	0.8	0.8	0.8	0.8
x3		x3
x4		x4
x5	0.9	x5	0.9	0.9	0.9	0.9
x6	0.9	x6	0.9	0.9	0.9	0.9

 

							y1	y2	y3	y4
				x1	0.9			0.7
y1	y2	y3	y4	x2	0.9			0.7
0.9			0.7	x3	0.9			0.7
				x4	0.9			0.7
				x5	0.9			0.7
				x6	0.9			0.7

Нечеткое отношение XRY называется сепарабeльным, если оно равно пересечению цилиндрических продолжений своих проекций, т.е. если , т.е. .

Замечание: Если определено декартово произведение нечетких множеств (выше оно введено), то, очевидно, нечеткое отношение XRY сепарабельно, если оно является декартовым произведением своих проекций, т.е. R=Ç.

Пример (продолжение):

		y1	y2	Y3	Y4	¹R
x1	0.9			0.7
x2	0.8	0.8	0.8	0.7
x3	0.9			0.7
x4	0.9			0.7
x5	0.9	0.9	0.9	0.7
x6	0.9	0.9	0.9	0.7

т.е. исходное отношение R несепарабельно.

3.2.3. Композиция двух нечетких отношений

Большое значение в теории нечетких множеств имеет композиция (или произведение) нечетких отношений. В отличие от обычных (четких) отношений композицию (произведение) нечетких отношений можно определить разными способами.

Определение. ПустьR₁ – нечеткое отношение R₁: (X´Y) ® [0, 1] между X и Y, и R₂ – нечеткое отношение R₂: (Y´Z) ® [0, 1] между Y и Z. Нечеткое отношение между X и Z, обозначаемое R₂·R₁, определенное через R₁ и R₂ выражением: ,

называется (max-min)-композицией отношений R₁ и R₂.

Пример.

R1		R2		R2·R1
	y1	y2	y3			z1	z2	z3	z4			z1	z2	z3	z4
x1	0,1	0,7	0,4		y1	0,9			0,2		x1	0,3	0,6	0,1	0,7
x2		0,5			y2	0,3	0,6		0,9		x2	0,9	0,5		0,5
					y3	0,1			0,5

Операция (max-min)-композиции ассоциативна, т.е.

R₃· (R₂·R₁) = (R₃·R₂ ) ·R₁.

Операция (max-min)-композиции дистрибутивна относительно объединения, но не дистрибутивна относительно пересечения:

R₃· (R₂ÈR₁) = (R₃·R₂)È(R₃·R₁),

R₃· (R₂ÇR₁) ¹ (R₃· R₂)Ç(R₃· R₁).

Замечание:В выражении для (max-min)-композиции операцию Ç можно заменить любой другой, для которой выполняются те же ограничения, что и для Ç: ассоциативность и монотонность по каждому аргументу.

Определение. ПустьR₁ – нечеткое отношение R₁: (X´Y) ® [0, 1] между X и Y, и R₂ – нечеткое отношение R₂: (Y´Z) ® [0, 1] между Y и Z. Нечеткое отношение между X и Z, обозначаемое R₂*R₁, определенное через R₁ и R₂ выражением: ,

называется (max-prod)-композицией отношений R₁ и R₂.

3.2.4. Условные нечеткие подмножества

Пусть X и Y – универсальные множества, взаимосвязь которых задана нечетким отношением R: (X´Y) ® [0, 1], т.е. для каждой пары (x, y)ÎX´Y задано значение функции принадлежности m_R(x, y) Î [0, 1].

Пусть А – некоторое НМ, заданное на Х, т.е. определена функция принадлежности m_A(x) для всех х из Х. Тогда НМ А и нечеткое отношение R индуцируют в Y нечеткое подмножество B (обозначение B=A·R) с функцией принадлежности .

Пример:

Пусть X = {x₁, x₂, x₃}, Y = {y₁, y₂, y₃, y₄} и заданы нечеткое множество A = {0,3/x₁, 0,7/x₂, 1/x₃} и нечеткое отношение XRY:

XRY =		y1	y2	y3	y4
x1	0,8			0,3
x2	0,8	0,3	0,8	0,2
x3	0,2	0,3		0,4

Проведем операцию «min» для А и столбца y₁ :

			min	y1	=	y1	=	y1
x1	x2	x3	0,8	0,3Ç0,8	0,3
0,3	0,7		0,8	0,7Ç0,8	0,7
			0,2	1Ç0,2	0,2

После выполнения операции «max» на элементах полученного столбца имеем: m_B(y₁) = 0,3È0,7È0,2 = 0,7.

Проделав аналогичные вычисления для y₂, y₃, y₄ имеем:

m_B(y₂) = 0,3; m_B(y₃) = 0,7; m_B(y₄) = 0,4.

И окончательно:

А	·	R	=	B
x1	x2	x3	0,8			0,3	y1	y2	y3	y4
0,3	0,7		0,8	0,3	0,8	0,2	0,7	0,3	0,7	0,4
			0,2	0,3		0,4
			0,8			0,3

Если

А₁ индуцирует А₂ посредством R₁,

А₂ индуцирует А₃ посредством R₂,

.............................................

А_n-1 индуцирует А_n посредством R_n-1,

то

А₁ индуцирует А_n посредством R_n-1·R_n-2· ... ·R₁,

где R_n-1·R_n-2· ... ·R₁ – композиция нечетких отношений R₁, R₂, ..., R_n.

Пример:

Вернемся к примеру (max-min)-композиции.

R1		R2		R2·R1
	y1	y2	y3			z1	z2	z3	z4			z1	z2	z3	z4
x1	0,1	0,7	0,4		y1	0,9			0,2		x1	0,3	0,6	0,1	0,7
x2		0,5			y2	0,3	0,6		0,9		x2	0,9	0,5		0,5
					y3	0,1			0,5

 

Пусть А = {0,3/x₁, 0,7/x₂ }, тогда

A1	·	R1	=	A2
x1	x2	0,1	0,7	0,4	y1	y2	y3
0,3	0,7		0,5		0,7	0,5	0,3

 

A2	·	R2	=	A3
y1	y2	y3	0,9			0,2	z1	z2	z3	z4
0,7	0,5	0,3	0,3	0,6		0,9	0,7	0,5	0,7	0,5
			0,1			0,5

 

A1	·	R1· R2	=	A3
x1	x1	0,3	0,6	0,1	0,7	z1	z2	z3	z4
0,3	0,3	0,9	0,5		0,5	0,7	0,5	0,7	0,5

3.3. Нечеткая и лингвистическая переменные

Понятие нечеткой и лингвистической переменных используется при описании объектов и явлений с помощью нечетких множеств.

Определение. Нечеткая переменная характеризуется тройкой <α, X, A>, где

α – наименование переменной,
X – универсальное множество (область определения α),
A – нечеткое множество на X, описывающее ограничения (т.е. m _A(x)) на значения нечеткой переменной a.

Определение. Лингвистической переменной называется набор <b ,T,X,G,M>, где

b – наименование лингвистической переменной;

Т – множество ее значений (терм-множество), представляющих собой наименования нечетких переменных, областью определения каждой из которых является множество X. Множество T называется базовым терм-множеством лингвистической переменной;

G – синтаксическая процедура, позволяющая оперировать элементами терм-множества T, в частности, генерировать новые термы (значения). Множество TÈG(T), где G(T) – множество сгенерированных термов, называется расширенным терм-множеством лингвистической переменной;

М – семантическая процедура, позволяющая превратить каждое новое значение лингвистической переменной, образуемое процедурой G, в нечеткую переменную, т.е. сформировать соответствующее НМ.

Пример. Рассмотрим лингвистическую переменную с именем b=«температура в комнате». Тогда оставшуюся четверку <T,X,G,M>, можно определить так:

1) универсальное множество ;

2) терм-множество T = {"холодно", "комфортно", "жарко"} с такими функциями принадлежностями: ; ; .

3) синтаксические правила G, порождающее новые термы с использованием связок "и", "или" и модификаторов типа "очень", "не", "более-менее" и других;

4) М будет являться процедурой, ставящей каждому новому терму в соответствие нечёткое множество из Х по правилам: если термы А и В имели функции принадлежности μ_А(x) и μ_B(x) соответственно, то новые термы будут иметь следующие функции принадлежности, заданные в таблице 3.1.

Таблица 3.1. Пример семантической процедуры

Квантификатор	Функция принадлежности
не t
очень t
более-менее t
А и В	min(μA(x),μB(x))
А или В	max(μA(x),μB(x))

Графики функций принадлежности термов "холодно", "не очень холодно" и других термов лингвистической переменной "температура в комнате" показаны на рисунке 3.1.

Рис. 3.1. Примеры термов лингвистической переменной "температура в комнате"

3.4. Нечеткие высказывания

3.4.1. Определение нечеткого высказывания

Определение. Нечеткие высказывания – конструкции следующего вида:

1) Высказывание <β есть β'>, где b – наименование лингвистической переменной, b'– ее значение, которому соответствует нечеткое множество на универсальном множестве Х.

Пример. Высказывание <давление большое> предполагает, что лингвистической переменной "давление" придается значение "большое", для которого на универсальном множестве Х переменной "давление" определено соответствующее данному значению "большое" нечеткое множество.

2) Высказывание <β есть mβ'>, где m – модификатор, которому соответствуют слова "ОЧЕНЬ", "БОЛЕЕ ИЛИ МЕНЕЕ", "МНОГО БОЛЬШЕ" и др.

Пример. <давление очень большое>, <скорость много больше средней> и др.

3) Составные высказывания, образованные из высказываний видов 1 и 2 и союзов "И", "ИЛИ", "ЕСЛИ.., ТО...", "ЕСЛИ.., ТО.., ИНАЧЕ".

3.4.1.1. Высказывания на множестве значений фиксированной лингвистической переменной

То, что значения фиксированной лингвистической переменной соответствуют нечетким множествам одного и того же универсального множества Х, позволяет отождествлять модификаторы "очень" или "не" с операциями "CON" и "дополнение", а союзы "И", "ИЛИ" с операциями "пересечение" и "объединение" над нечеткими множествами.

Пример. Лингвистическая переменная "толщина изделия" с базовым терм-множеством Т = {"малая", "средняя", "большая"}. При этом на Х=[10,80] определены нечеткие множества А₁, А₂, А₃, соответствующие базовым значениям: "малая", "средняя", "большая".

В этом случае высказыванию <толщина изделия очень малая> соответствует НМ CONA = A²; высказыванию <толщина изделия не большая или средняя> – НМ высказыванию <толщина изделия не малая и не большая> – НМ .

Высказывания <толщина изделия много больше средней> или <толщина изделия близка к средней> требуют использования нечетких отношений R («много больше, чем») и R («близко к»), заданных на Х´Х. Тогда этим высказываниям будут соответствовать нечеткие множества A·R₁ и A·R₂, индуцированные нечеткими отношениями R₁ и R₂.

3.4.1.2. Случай двух и более лингвистических переменных

Пусть <a, T_a, X, G_a, M_a> и <b, T_b, Y, G_b, M_b> – лингвистические переменные, и высказываниям <a есть a'>, <b есть b'> соответствуют нечеткие множества А и В, заданные на X и Y.

Составные нечеткие высказывания вида 3, связывающие значения лингвистических переменных a и b, можно привести к высказываниям вида 1, введя лингвистическую переменную (a, b), значениям которой будут соответствовать нечеткие множества на X´Y.

Напомним, что НМ А и В, заданные на X и Y, порождают на X´Y НМ и , называемые цилиндрическими продолжениями, с функциями принадлежности: , при любых y, , при любых x, где (x,y) Î X´Y.

3.4.2. Правила преобразований нечетких высказываний

Нечеткие множества, соответствующие составным высказываниям <a есть a' и b есть b'> и <a есть a' или b есть b'>, определяются по следующим правилам (преобразования к виду 1), справедливым при условии невзаимодействия переменных, т.е. множества X и Y таковы, что их элементы не связаны какой-либо функциональной зависимостью.

3.4.2.1. Правило преобразования конъюнктивной формы

Справедливо выражение: <a есть a' и b есть b'> Þ <(a, b) есть (a'Çb')>. Здесь Þ – знак подстановки, a'Çb' – значение лингвистической переменной (a, b), соответствующее исходному высказыванию <a есть a' и b есть b'>, которому на X´Y ставится в соответствие НМ с функцией принадлежности: .

3.4.2.2. Правило преобразования дизъюнктивной формы

Справедливо выражение: <a есть a' или b есть b'> Þ <(a, b) есть (a'Èb')>, где значению (a'Èb') лингвистической переменной (a, b) соответствует НМ , с функцией принадлежности: .

Замечание:Правила справедливы также для лингвистических переменных вида <a, T₁, X, G₁,M₁> и <a, T₂, Y, G₂, M₂>, когда в форме значений лингвистических переменных формализованы невзаимодействующие характеристики одного и того же объекта. Например, для построения НМ высказывания <ночь теплая и очень темная> нужно использовать правило конъюнктивной формы, а для высказывания <ночь теплая или очень темная> – правило дизъюнктивной формы.

3.4.2.3. Правило преобразования высказываний импликативной формы

Справедливо выражение: <если a есть a', то b есть b'> Þ<(a, b) есть (a'®b')>, где значению (a'®b') лингвистической переменной (a, b) соответствует нечеткое отношение XRY на X´Y. Функция принадлежности m_R(x, y) зависит от выбранного способа задания нечеткой импликации.

3.4.3. Способы определения нечеткой импликации

Будем считать, что заданы универсальные множества X и Y, содержащие конечное число элементов. Под способом определения нечеткой импликации "если А, то В"(где А и В нечеткие множества на X и Y соответственно) будем понимать способ задания нечеткого отношения R на X´Y, соответствующего данному высказыванию. С целью обоснованного выбора определения нечеткой импликации, японскими математиками Мидзумото, Танака и Фуками было проведено исследование всех известных в литературе определений. Рассмотрим здесь наиболее распространенные определения, задающие следующие нечеткие отношения для высказывания "если А, то В":

1) R₁: