Планы для экспериментирования в условиях дрейфа

Блочные планы, ортогональные к дискретному дрейфу, пред­ставляют собой обычные планы типа ПМА, сбалансированные так, чтобы часть столбцов плана использовалась для оценки эффектов дискретного дрейфа независимо от эффектов исследуемых факто­ров.

Планы, ортогональные к непрерывному дрейфу, могут быть построены на основе таблиц полиномов Чебышева. Они исполь­зуются для изучения линейных эффектов управляемых коли­чественных факторов независимо от полиномиального дрейфа любого порядка. В случае необходимости оценки также и взаимо­действий управляемых факторов используют обычные планы 2*, отбирая те столбцы планов, которые имеют минимальные корреля­ции с эффектами дрейфа. К этим же планам относятся планы Кокса, предназначенные для изучения одной количественной или качественной переменной, варьируемой на двух, трех, четырех уровнях в условиях дрейфа второго и третьего порядков.

Комбинированные планы для совместного изучения коли­чественных и качественных переменных в условиях непрерывного полиномиального дрейфа получают соответствующим комбини­рованием планов Чебышева и планов Кокса.

Планы для экспериментирования в условиях дрейфа исполь­зуются для исключения влияния неоднородностей типа дискрет­ного и непрерывного дрейфа на исследуемые эффекты и оценки этого влияния независимо от эффектов варьируемых факторов и составляют основу группы планов ковариационного анализа.

 

Факторный эксперимент при изучении смесевых систем

Введение. Задача факторного эксперимента при изу­чении смесевых систем не отличается от задачи фактор­ного эксперимента второго порядка, изложенной в 1.6. Однако при изучении свойств смесей, зависящих только от соотношений компонентов, желательно учитывать условие

, (2.1)

где x_i – относительные концентрации компонента (х_i0); п – количество компонентов (n2).

Условие (2.1) не позволяет использовать планы ПФЭ и модели типа (1.97) – матрица (Х^ТХ)^-1 оказывается вырожденной.

Шеффе ввел каноническую форму полинома степе­ни п:

. (2.2)

где

; .

Наиболее часто пользуются следующими приведен­ными (каноническими) полиномами:

(2.3)

- полином второго порядка для трехкомпонентной смеси;

(2.4)

- полином неполного третьего порядка для трехкомпо­нентной смеси;

(2.6)

– полином четвертого порядка для трехкомпонентной смеси.

Пояснение. От стандартного полинома, например, вто­рого порядка

(2.7)

к полиному Шеффе (2.3) переходят путем несложных преобразований условия

в условия

;

;

; (2.8)

;

и подстановкой (2.8) в (2.7). Получают

(2.9)

.

Симплекс-решетчатые планы Шеффе. Известно, что геометрическое место точек, удовлетворяющее условию (2.1), представляет собой п-1 правильный симплекс. Тогда факторное пространство может быть представ­лено симплексами с такой же системой координат. Пла­нирование на симплексах осуществляется равномер­ным разбросом экспериментальных точек. Получаются {п, m} – решетки, где п – число компонентов смеси; т – порядок полинома. Примеры {3, т} – решеток с при­нятыми обозначениями выходной переменной приведены на рис. 2.1.

Симплекс-решетчатые планы частично композицион­ные. Неполную кубическую решетку {3, 3*} (рис. 2.1, б) можно получить из {3,2} (см. рис. 2.1,а) добавлением одной точки в центре симплекса; решетку {3, 4} (см. рис. 2.1, г) – добавлением точек к решетке {3, 2} (см. рис. 2.1, а).

2.1.1. Алгоритм симплекс-решетчатых планов второ­го порядка для трехкомпонентной смеси. Исходные дан­ные. Имеется трехкомпонентная смесь. Необходимо по­лучить зависимость некоторого свойства у от состава смеси в виде (2.3) и проверить ее адекватность.

План эксперимента для рассматриваемого случая приведен в табл. 2.1.

В каждой точке решетки проводится одинаковое чис­ло (т) параллельных опытов.

Расчет коэффициентов уравнения. Расчет коэффици­ентов возможен методом наименьших квадратов по урав­нению .

 

Рис. 2.1 {3, т} – симплексные решетки для полинома порядка:

а – второго; б – неполного третьего; в – третьего; г – четвертого.

 

Таблица 2.1 План эксперимента

Номер опыта	План	Выходная переменная
					…
	0,5 0,5	0,5 0,5	0,5 0,5			... … … … … …

 

Однако, учитывая, что план эксперимента насыщен (число неизвестных коэффициентов равно числу урав­нений), несложными преобразованиями можно получить следующие расчетные уравнения:

, , или ; (2.10)

 

, например, . (2.11)

Проверка адекватности уравнения. Учитывая, что план эксперимента насыщенный, проверка адекватности по критерию Фишера (см. (1.92) – (1.96)) невозможна. Для проверки адекватности необходимо, выбрать не­сколько дополнительных точек плана, провести в них эксперимент и изучить разность между эксперименталь­ным значением и полученным по уравнению. Эти точки выбирают либо в интересующей исследователя области, либо в точках, которые можно использовать для построе­ния полинома более высокого порядка. Для получения дисперсии адекватности можно применять уравнение остаточной суммы

; , (2.12)

где у_эи – экспериментальные значения выходной переменной в дополнительных проверочных точках; – значения выходной переменной для условий Х_э провероч­ных точек, полученных по уравнению; g – число прове­рочных точек; – дисперсия адекватности.

Если g>2, то адекватность можно проверять по кри­терию Фишера (см. (1.94), (1.95), а ошибку опыта при равном числе параллельных опытов т рассчитать по формулам (1.138) – (1.141) (условие однородности дисперсий также необходимо проверять).

Если адекватность уравнения оценивается по одной проверочной точке, то удобнее пользоваться уравнения­ми, приведенными ниже (их доказательство в [5]). Для оценки используется t-критерий:

, (2.13)

 

где m – число параллельных опытов в каждой точке симплекса; разность ∆у (между экспериментальным и теоретическим выходом)

; (2.14)

– среднеквадратичное отклонение опытных дан­ных; – величина, связанная с коэффициентами урав­нения

, (2.15)

причем

; .

Ошибка опыта определяется также по формулам (1.138) – (1.141).

Проверка адекватности производится по неравенству

t_P <f_Т (l, f₀, q = 0,05) (2.16)

для заданного уровня значимости; l – число коэффици­ентов уравнения регрессии; f₀ – число степеней свободы при определении ошибки опыта.

Примечание. В некоторых исследованиях, даже если число проверочных точек g>>2, оценку адекватности урав­нения регрессии проводят в каждой точке по формулам (2.13) – (2.16).

Принятие решений. Если условие (2.16) не выполняет­ся, то уравнение регрессии признается неадекватным и его порядок повышается. Если правило композиционности выполняется, то в план включают прове­рочную точку и переходят к расчетам коэффициентов уравнения более высокого порядка.

Если условие (2.16) выполняется, то обычно строят изолинии (линии равного выхода) соответствующего свойства непосредственно на симплексе. Графическое изображение зависимостей свойство – состав позволяет решать задачи интерполяции и оптимизации (конечно, если число компонентов в смеси не превышает четырех).

Примечание. Если исследуемая смесевая система неоднородна, то возникают значительные трудности ее математического описания (о методах преодолевания этих трудностей см. [5]).

2.1.2. Алгоритм симплекс-решетчатых планов непол­ного третьего порядка для трехкомпонентной смеси.

Исходные данные. Имеется трехкомпонентная смесь. Необходимо получить зависимость некоторого свойства от состава смеси в виде (2.4) и проверить ее адекватность.

План эксперимента для рассматриваемого случая представлен в табл. 2.2 (см. рис. 2.1, б). Как и ранее, предполагается, что параллельные опыты проводятся в каждой точке симплексной решетки.

Таблица 2.2. План эксперимента

Номер опыта	План	Выходная переменная
	0,5 0,5 0,333	0,5 0,5 0,333	0,5 0,5 0,333

 

Расчет коэффициентов уравнения для модели (2.4) удобно проводить

β₁, β₂, β₃ – по формуле (2.10);

β₁₂, β₁₃, β₂₃ – по формуле (2.11);

(2.17)

Оценка адекватности уравнения регрессии осуществляется по формулам (2.13), (2.15), (2.16), а коэффициент определяется по формуле

, (2.18)

где

;

; .

При наличии параллельных опытов в каждой точке симплексной решетки ошибка опыта определяется по формулам (1.138) – (1.141).

Принятие решений не отличается от предыдущего случая (2.1.2).

2.1.3. Алгоритм симплекс-решетчатых планов третье­го порядка для трехкомпонентной смеси. Исходные дан­ные. Имеется трехкомпонентная смесь. Необходимо получить зависимость некоторого свойства от состава сме­си в виде (2.5) и проверить ее адекватность.

План эксперимента для этого случая представлен в табл. 2.3 (см. рис. 2.1, в). Предполагается, что парал­лельные опыты проводятся в каждой точке симплексной решетки.

Таблица 2.3. План эксперимента

Номер опыта	План	Выходная переменная
	2/3 1/3 2/3 1/3 1/3	1/3 2/3 2/3 1/3 1/3	1/3 2/3 1/3 2/3 1/3

 

Коэффициенты регрессии β₁, β₂, β₃ рассчитываются по формуле (2.10).

Коэффициенты β_ij рассчитываются по формулам

;

;

,

или в общем виде

. (2.19)

Коэффициенты рассчитываются по формулам

;

;

,

или в общем виде

. (2.20)

Коэффициенты рассчитываются по формулам

,

или в общем виде

. (2.21)

Оценка адекватности уравнения регрессии осуществ­ляется по формулам (2.13), (2.14), (2.16), а коэффици­ент определяется по формуле

, (2.22)

где

;

;

;

.

Ошибка опыта определяется также по формулам (1.138) –(1.141).

Принятие решений не отличается от предыдущих слу­чаев (см. 2.1.2.).

Примечание. Симплексную решетку при переходе к полиномам более высоких порядков можно достраивать точками из «последующих» планов.

 

. Насыщенный и сверхнасыщенный планы факторного эксперимента

Введение. Одной из целей использования математи­ческой модели является грубая оценка степени воздейст­вия факторов на выходную переменную объекта исследо­вания. Эта цель может быть достигнута различными ме­тодами но всех их объединяет условие минимизации числа экспериментов. Этот критерий привел к построению насыщенных и сверхнасыщенных планов экспериментов, позволяющих разделить всю совокупность факторов на два класса: доминирующие факторы и «шумовой» фон (несущественные факторы).

Определение. Ненасыщенность, насыщен­ность и сверхнасыщенность планов определя­ются соотношением числа опытов плана эксперимента N и числа определенных параметров l:

N-l >0 – ненасыщенный план;

N-l = 0 – насыщенный план;

N–l < 0 – сверхнасыщенный план.

Замечание. Рассмотренные ранее планы ПФЭ и ДФЭ были ненасыщенными, а симплекс-решетчатые планы – насыщенными.

2.2.1. Алгоритм насыщенного плана дробного фак­торного эксперимента. Исходные данные. Имеется сово­купность факторов, воздействующих на объект исследо­вания. Известно, что степень влияния этих факторов на выходную переменную различна. Предлагается выде­лить существенные факторы с помощью минимально воз­можного числа экспериментов.

План эксперимента. Использование плана дробного факторного эксперимента в качестве насыщенного воз­можно при числе факторов n = 3 (N = 4), n = 7 (N = 8), n = 15 (N = 16), n = 31 (N = 32) и т.д. В этом случае можно получить математическую модель и использовать t-критерий для отсеивания факторов.

Наличие смешанных оценок по этому плану для ре­шения задачи отсеивания факторов не играет серьезной роли.

Расчет коэффициентов b₀, b₁, ..., b_i, ... и оценка значи­мости факторов проводятся по алгоритмам 1.5.5 и 1.5.2 (в этом случае, естественно, достаточно провести парал­лельные опыты в одной точке).

Принятие решений. Коэффициенты, для которых t_ip оказалось меньше t_T (1.91) (f₀= N₀—1, q = 0,05), отно­сят к «шумовому» фону, остальные – считают значимы­ми. Иногда проверку значимости проводят по формуле, эквивалентной условию (1.91):

(2.23)

где – абсолютное значение i-го коэффициента; t_T – табличное значение критерия Стьюдента; – среднеквадратичное отклонение i-го коэффициента

. (2.24)

В этом случае коэффициенты, не удовлетворяющие условию (2.23), относятся к «шумовому» фону.

2.2.2. Алгоритм насыщенного плана Плакетта - Бермана. Исходные данные те же, что и в предыдущем ал­горитме.

План эксперимента и его построение. Плакеттом и Берманом были сконструированы ортогональные насы­щенные планы, число экспериментов в которых кратно четырем:

N = 4p, p = 1, 2, ... . (2.25)

Используя эти планы, можно исследовать объекты, имеющие (4р – 1) факторов. Такие планы более выгод­ны, чем насыщенные планы ДФЭ, поскольку удовлетво­ряют условиям исследования через четыре фактора.

Алгоритм построения планов следующий. Факторы изменяются на двух уровнях: +1 и – 1.

Первая строка матрицы плана задается таблицей 2.4, вторая и последующие строки получаются сдвигом всех элементов влево (или вправо) и перестановкой крайнего элемента на образовавшееся свободное место с другой стороны строки. Получаются одинаковые знаки по диа­гоналям матрицы. Этот процесс повторяется (N – 2) раз.

 

 

Таблица 2.4 Первые строки планов Плакетта – Бермана

Номер опыта	Первая строка матрицы плана
	+ + + - + - - + + - + + + - - - + - + + + + - + - + + - - + - - - + + - - + + + + - + - + - - - - + + - + + + + + - + - + + - - + + - - + - + - - - -

Последняя строка плана составляется только из эле­ментов – 1. Матрица плана имеет размерность N×(N – 1).

Построенные таким образом планы являются ортого­нальными и поэтому расчет коэффициентов и оценка их значимости проводится обычными методами (см. алго­ритм 1.5.2).

Замечание 1. Иногда применяется несколько иной ал­горитм построения плана, дающий тот же результат. Строка табл. 2.4 используется для построения столбца плана. Следующий столбец получается сдвигом элемен­тов первого столбца вниз или вверх и т.д. Последняя строка составляется из элементов – 1.

Замечание 2. Построение планов Плакетта-Бермана для N=28 и выше приведено в [6].

Замечание 3. Для расчета ошибки опыта в планах Плакетта-Бермана часто используют прием фиктив­ных переменных. Он заключается в том, что недостающие факторы (например, если в объекте n=12, а план преду­сматривает n=15, то недостающих факторов n= 3) за­меняются фиктивными факторами. Эффекты этих фак­торов отличаются от нуля, если их взаимодействия зна­чимы и ошибки измерения отсутствуют. Если считать, что величины взаимодействия факторов малы, а – k эффектов (коэффициентов) фиктивных перемен­ных, то ошибка опыта будет определяться по формуле

(2.26)

где N – число опытов по матрице планирования; п – число факторов; N – (n+1) – число фиктивных факторов.

Далее оценка проводится по (1.119), (1.131) и (2.23), (2.24). Табличное значение критерия Стьюдента находят для f=N – (n+1) степеней свободы.

Принятие решений не отличается от предыдущего ал­горитма.

2.2.3. Алгоритмы метода случайного баланса (сверх­насыщенный план). Исходные данные те же, что и в пре­дыдущих алгоритмах.

В плане эксперимента по методу случайного баланса исследуемые факторы варьируются на двух уровнях – верхнем и нижнем. Для построения матрицы планирова­ния предлагается «чистый» случайный баланс, при кото­ром распределение уровней в столбцах осуществляется по таблице случайных чисел, или случайное смешивание двух дробных планов ПФЭ. Один из возможных планов случайного баланса (случайное смешивание ДФЭ и ) приведен в табл. 2.5. Условие должно выполняться всегда. Этот план может использоваться и для меньшего числа факторов.

Таблица 2.5. План эксперимента

Номер опыта

План

Выходная переменная

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

x9

x10

x11

x12

x13

x14

y

- + - + - + - + - + - + - + - +

- - + + - - + + - - + + - - + +

+ - - + - + + - + - -+ - + + -

+ + + + - - - - - - - - + + + +

+ - + + - + - - - - + + + - - +

- - - + + + + - + + - - + - -+

+ - - - + + + - - - + + - + + +

- - + - + - - + + - - - + + + +

+ - + + - + + - - - + - - + + -

- + + + - + + - + - - - + + + +

+ - + - + + - + + - - - + + - -

+ - - + - - + - + - - - + + + +

- - + - - + + - + + - + + - + -

+ + - + - + - - + + - - - - + +

y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 y8 y9 y10 y11 y12 y13 y14 y15 y16

. . . . . . . . . . . .

Рис. 2.2. Построение диаграмм рассеивания.

 

Диаграммы рассеивания строят с целью выделения факторов или их взаимодействий. Выделение осуществ­ляют визуально. Диаграммы рассеивания строят так: по оси абсцисс откладывают значения факторов для уров­ней «+» и «–», а по оси ординат – значения выходной переменной (рис. 2.2.).

В каждом столбце x_i диаграммы рассеивания разме­щены все значения выходной переменной, которые раз­биваются на две группы. Одна из групп соответствует тем опытам, где фактор был на нижнем уровне, другая – где фактор был на верхнем уровне.

Среди опытных данных на каждом уровне находят медиану Ме. Медианой называется линия, по обе сторо­ны которой находится одинаковое число точек. При не­четном числе точек медиана проходит через среднюю точ­ку. Разность между медианами ∆Ме двух уровней харак­теризует качественное влияние фактора х_i на выходную переменную. Таким образом, построение диаграммы рас­сеивания позволяет визуально по максимальному значе­нию ∆Ме выделить наиболее значимые факторы. Для этой же цели используют так называемые выделяющиеся точки L в нижней и верхней частях диаграммы рассеивания. Для фактора х₁ их число равно 6+6=12, для факторов х₃ и х₁₀ соответственно 3+5=8 и 1+2=3 и т. д. На рис. 2.2 группы выделяющихся точек отмече­ны фигурными скобками.

Примечание. Иногда в качестве критерия значимости факторов на диаграмме рассеивания используют произ­ведение разности между медианами на число выделяю­щихся точек

 

. (2.27)

Последовательное выделение существенных факто­ров. Для количественной оценки факторов нужно отде­лить значимые факторы от незначимых. Процедура вы­деления такова. Выбирают два-три фактора, имеющие максимальную разность между медианами или макси­мальное число выделяющихся точек. Строят таблицу с тремя или двумя входами. Допустим, это будут факто­ры х₁, х₃, х₄ (см. табл. 2.5). В клетки табл. 2.6 записы­вают значения выходной переменной для различных ком­бинаций уровней. Так, в первой клетке (слева вверху) записаны значения у₄ и y₁₄ – те значения, которые полу­чились, когда х₁, х₃, х₄ были на верхнем уровне и т. д.

Таблица 2.6. Подготовка данных для оценки линейных эффектов

x4	x3 –	х1 –
x3+	x3 –	x3+	x3 –
«+»
«–»

Вычисление линейных эффектов производят по форму­лам, смысл которых ясен из уравнений

;

; (2.28)

.

Оценки коэффициентов производят по формуле

. (2.29)

Усреднение в клетках таблицы приходится делать по­тому, что в случайно организованном плане эксперимен­та различным комбинациям уровня соответствует раз­личное число наблюдений.

Если есть основания к изменению выходной перемен­ной принять гипотезу нормального распределения, то зна­чимость эффектов можно оценить по критерию Стьюдента

, (2.30)

где m_i – число наблюдений в i-ой клетке таблицы; – остаточная дисперсия, находится как среднее по каж­дой для i-ой клетки таблицы; число степеней свободы,a – число среднеарифметических значений в таблице с несколькими входами. Оценку рассеивания для каждой клетки находят относительно средних значений этой же клетки.

Оценка значимости эффектов по критерию Стьюдента вследствие громоздкости расчетов проводится не все­гда.

Корректировка исходного вектора матрицы плана. После выделения эффектов проводят корректировку ис­ходных данных матрицы плана. Для этого от всех у_N в плане эксперимента, где факторы х_i находятся на уров­не «+», уменьшают на эф. x_i. Получают новый вектор результатов эксперимента , освобожденный от влия­ния фактора x_i. Далее строится новая диаграмма рассеи­вания и алгоритм повторяется.

Таким же образом производится отсеивание эффек­тов парных взаимодействий.

Принятие решений. Процесс выделения существенных факторов можно закончить, если выполняется условие

. (2.31)

где – оценка дисперсии результатов эксперимента относительно их среднеарифметического значения на r-ом шаге процедуры; – ошибка опыта, полученная по нескольким параллельным наблюдениям.