Подходящий закон распределения

1. На рис. 5. изображен график закона распределения для данной выборки. Этот график больше всего похож на кривую нормального закона распределения, которая имеет симметричный холмообразный вид [2, c.117].

2. Для нормального закона распределения характерны следующие равенства:

1)

2)

3)

Проверим выполнение этих равенств для выборки .

1) , , следовательно,

2) , , , следовательно,

3) , , следовательно,

Характерные для нормального распределения равенства выполняются.

3. Для симметричного закона распределения, а нормальный закон распределения – это симметричный закон, необходимо выполнение следующих равенств: , , т.е. равенство нулю несмещенных оценок коэффициента асимметрии и коэффициента эксцесса.

Проверим выполнение этих равенств для выборки :

, следовательно,

, следовательно,

Характерные для симметричного закона распределения равенства выполняются.

4. Правило трех сигм: если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратичного отклонения.

Проверим выполнение этого правила для нашей выборки.

Все элементы выборки входят в отрезок , т.е. условие, указанное в правиле трех сигм, выполняется, значит есть основание предполагать, что изучаемая величина распределена нормально.

6.2 Критерий Пирсона

Критерий согласия - критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения.

Существует несколько критериев согласия: К. Пирсона, Колмогорова, критерий , Смирнова и т.д. Сначала рассмотрим критерий Пирсона – критерий .

Критерий Пирсона отвечает на вопрос о том, случайно ли расхождение частот. Правда, как и любой критерий, он не доказывает справедливость гипотезы, а лишь устанавливает на принятом уровне значимости е согласие или несогласие с данными наблюдений.

Прежде чем проверять гипотезу о выбранном законе распределения, сначала необходимо выдвинуть эту гипотезу () и конкурирующую ей ():

: случайная величина подчиняется нормальному закону распределения

: случайная величина подчиняется другому закону распределения

Для применения критерия Пирсона воспользуемся интервалами построенными ранее (таблица 4), но так как не в каждый интервал гистограммы попадает более пяти данных (интервалы 1,6,7, здесь , см. таблицу 4), то для применения этого критерия объединим соседние столбцы гистограммы, т.е. объединяем 1,2 интервалы и 6,7 интервалы.

Для каждого интервала вычислим теоретическую вероятность попадания случайной величины в i-ый интервал гистограммы, при условии, что гипотеза справедлива: ,

Для каждого интервала вычислим теоретическое количество точек, попадающих в i-ый интервал: .

Для каждого интервала находим меру близости теоретических и практических данных i-ого интервала

Вычислим общую меру близости: , где r – число интервалов на гистограмме.

Перед тем как считать теоретическую вероятность попадания случайной величины в i-ый интервал гистограммы , необходимо нормировать случайную величину , т.е. вычислить значения и , причем наименьшее значение положим равным , а наибольшее - . Следует также напомнить значения, необходимые для вычисления : , . Вычисление данных значений приводится в таблице 6.

Результаты вычислений представлены в таблице 7.

Таблица 6

Нормирование случайной величины

№
	(; -6,8542)		-5,9945		-0,9378
	[-6,8542; -2,1713)	-5,9945	-1,3116	-0,9378	-0,2052
	[-2,1713; 2,5116)	-1,3116	3,3713	-0,2052	0,5274
	[2,5116; 7,1945)	3,3713	8,0542	0,5274	1,26
	[7,1945; )	8,0542		1,26

 

Таблица 7

Результаты вычислений для критерия Пирсона

№
	(; -0,9378)		0,1741	0,1741		16,5395	0,0176
	[-0,9378; -0,2052)	0,1741	0,4189	0,2448		23,256	0,7789
	[-0,2052; 0,5274)	0,4189	0,7009	0,282		26,79	3,8911
	[0,5274; 1,26)	0,7009	0,8962	0,1953		18,5535	0,6806
	[1,26; )	0,8962		0,1038		9,861	0,3512
							5,7194

 

Значит

Найдем число степеней свободы распределения : , где - количество интервалов , – число параметров предполагаемого закона распределения. Получим

По таблице процентных точек распределения [1] находим критические значения при для уровней значимости = 0,01; 0,05; 0,1:

Поскольку меньше критических значений , , то для уровней значимости = 0,01; 0,05, согласно критерию Пирсона, нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Так как больше критического значения , то для уровня значимости = 0,1 нулевая гипотеза отвергается.