Реферат Курсовая Конспект
Лiнiї другого порядку - раздел Философия, АНАЛIТИЧНА ГЕОМЕТРIЯ Лiнiєю Другого Порядку, Розташованою На Площинi Xоy, Н...
|
Лiнiєю другого порядку, розташованою на площинi xОy, називається всяка лiнiя, координати точок якої задовольняють алгебраїчному рiвнянню другого степеня вiдносно x та y.
Коло. Колом називають множину всiх точок площини xОy, рiвновiддалених вiд заданої точки , що називається центром, на вiдстань - радiус кола. Нехай вiдомi координати цетра кола i нехай - до-вiльна точка кола, - радiус-вектор центра, - радiус-вектор точки . За означенням , але , тому векторне рiв-няння кола. В декартових координатах це рiвняння таке:
.
Якщо центр кола спiвпадає з початком координат, тобто , то рiвняння кола має простий вигляд
Елiпс. Елiпсом називають множину всiх точок площини xОy, сума вiдстаней яких до двох заданих точок та , що називаються фокусами, є величина стала, рiвна 2a (рис. 3.13).
Виведемо найпростiше рiвняння елiпса, вибравши систему координат таким способом: вiсь Оx побудуємо на прямiй, що з¢єднує точки i . Через середину вiдрiзка , проведемо вiсь Оy. У вибранiй системi координат фокуси мають координати , .
Вiдрiзки i називаються фокальними радi-усами елiпса. За означенням . Нехай - довiльна точка елiпса. Тодi
; .
Рiвняння елiпса приймає вигляд
Пiднесемо обидвi частини цього рiвняння до квадрата
або ; ще раз пiднесемо до квадрата
; позначимо
. Роздiлимо обидвi частини на ,
. Це канонiчне рiвняння елiпса.
Тут - велика вiсь елiпса, - мала вiсь, вiдповiдно - велика пiввiсь, - мала пiввiсь. Ексцентриситетом елiпса називають число .
Гiпербола. Гiперболою називають множину всiх точок площини xОy, рiзниця вiддалей яких до двох заданих точок та , що нази-ваються фокусами, є ве-личина постiйна, рiвна . (ця величина повинна бути меншою за вiддаль ).
Виведемо найпростiше рiвняння гiперболи, вибравши систему координат як у випадку елiпса. У вибранiй системi координат фокуси мають координати , .
Нехай - довiльна точка гiперболи. Тодi фо-кальнi радiуси гiперболи
, .
За означенням гiперболи . Пiдставимо сюди вирази для фокальних радiусiв, одержимо рiвняння
.
Пiсля елементарних перетворень отримаємо канонiчне рiв-няння гiперболи
, (18*)
де . При цьому - дiйсна вiсь гiпер-боли, - дiйсна пiввiсь, - уявна пiввiсь (рис. 3.14).
Ексцентриситетом гiперболи називають число .
Прямi називаються асимптотами гiперболи (#).
Гiпербола, що задана рiвнянням , називається спряженою гiперболi (18*). На рис. 3.14 вона зображена пунктирною лiнiєю. У спряженої гiперболи асимптоти тi ж. Гiпербола з рiвними пiввiсями називається рiвносторонньою, її асимптоти спiвпадають з бiсектрисами координатних кутiв.
(#) Пряма називається асимптотою лiнiї , якщо вiдстань мiж точками прямоє i лiнiї прямує до нуля, коли точка вiддаляється в нескiнченнiсть.
Парабола. Параболою називається множина всiх точок площини xОy,однаково вiддалених вiд заданої точки ,
що називається фокусом, та вiд за-даної прямої d, що називається ди-ректрисою (пряма d не проходить че-рез точку F). Виведемо найпростiше рiвняння параболи, вибравши систему координат таким чином: вiсь Оx проведемо через точку F перпендику-лярно директрисi d (рис. 3.15), через середину вiдрiзка TF (, p - параметр параболи)проведемо вiсь Оy.
У вибранiй системi координат фокус F має координати . Нехай - довiльна точка параболи.
Позначимо вiддаль , . За означенням параболи r=d. Виразимо r i d через координати точок
,
Таким чином, одержали рiвняння:
.
Пiднесемо обидвi частини цього рiвняння до квадрата
або (19*)
Рiвняння (19*) називають канонiчним рiвнянням пара-боли, p - параметр параболи, причому p>0. Ця парабола симетрична вiдносно вiсi Оx, проходить через початок координат, вiтки параболи направленi уздовж вiсi Оx. У параболи вiтки направленi проти вici Оx. Рiв-няння також визначає параболу, що проходить че-рез початок координат, симетричну вiдносно вici Оy, при p>0 вiтки параболи направленi наверх, у параболи вiтки направленi вниз.
У парабол та вiccю симетрiї явля-ється та вiсь, що входить в рiвняння в першiй степенi.
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
Умови паралельностi i перпендикулярностi двох площин Кут мiж ними Отже вiдомi координати... Параметричне та канонiчне рiвняння прямої... Розглянемо проекцiї на оci...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Лiнiї другого порядку
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов