Реферат Курсовая Конспект
Поверхнi другого порядку - раздел Философия, АНАЛIТИЧНА ГЕОМЕТРIЯ Множина Точок ...
|
Множина точок простору, координати яких задовольняють алгебраїчному рiвнянню другого степеня вiдносно x, y та z називається поверхнею другого поряд-ку, що визначається цим рiвнянням.
Сферична поверхня. Сферичною поверхнею називають множину вciх точок простору, що знаходяться вiд за-даної точки C, що називається центром, на однiй i тiй же вiддалi R (радiус). Нехай - довiльна точка сфе-ричної поверхнi, центр , радiус R. Тодi , або
Це рiвняння сферичної поверхнi з центром в точцi радiуса R. Якщо центр сфери спiвпадає з початком координат , то рiвняння сферичної поверхнi
.
Елiпсоiд. Поверхня, що визначається рiвнянням
, (20*)
називається елiпсоїдом. Якщо , то це сферична поверхня.
Перетнемо елiпсоїд площиною . В перерiзi отримаємо лiнiю , тобто елiпс з пiввicями a i b.
В перерiзi елiпсоїда площиною xОz утворюється елiпс
з пiввiсями a i c. В перерiзi елiпсоїда площиною yОz одержимо елiпс
з пiввicями b i c (рис. 3.16).
Якщо , то рiвняння (20*) визначає подовжений елiпсоїд обертання з вiccю обертання Оx; якщо , то рiвняння (20*) визначає стиснутий елiпсоїд обертання з вiссю обертання Оz. Якщо серед чисел a, b, c немає рiвних, то елiпсоiд називається трьохвiсним.
Рiвняння (20*) мiстить тiльки квадрати координат, звiдси випливає, що елiпсоїд симетричний вiдносно початку координат, а площини координат є його площини симетрiї.
Гiперболоїди. a) Однопорожнинний гiперболоїд - це поверхня, що визначається рiвнянням
, (21*)
де a,b,c - його напiввіci (рис. 3.17).
Перетинаючи поверхню (21*) площинами координат , , , одержимо в перерiзi вiдповiдно елiпс та двi гiперболи ; ; .
В перерiзi однопорожнинного гiперболоїда площиною , паралельною площинi xОy утворюється елiпс з пiвосями
та .
Однопорожнинний гiперболоїд симетричний вiдносно початку координат, а площини координат його площини симетрiї.
б)Двопорожнинний гiперболоїд - це поверхня, що задається рiвнянням
, (22*)
де a, b, c - його півосі. Перетинаючи поверхню (22*) площинами , , , одержимо в перерiзi вiдповiдно пусту множину та двi гiперболи (рис. 3.18)
, .
В перерiзi двопорожнинного гiперболоїда площиною утворюється елiпс з півосями
, .
Двопорожнинний гiперболоїд симетричний вiдносно початку координат; площини координат його площини симет-рiї.
Рiвняння двопорожнинного гiперболоїда обертання навколо вici Оz
.
Параболоїди. а) Елiптичний параболоїд - це поверхня, що визначається рiвнянням (рис. 3.19 )
(23*)
де p i q - додатнi параметри. Перетинаючи цю поверхню площинами , , , одержимо в перерiзi вiдповiдно точку i двi параболи
; .
Перетинаючи поверхню (23*) площиною , одержимо в перерiзi елiпс з пiввiсями i .
Площини xОz i yОz є площини симетрії цієї поверхні. При рівняння (23*) визначає параболоїд обертання з вісю обертання Оz
.
б) Гiперболiчний параболоїд - це поверхня, яка описується
рiвнянням
(24*)
де p i q - додатнi параметри. В перетинi поверхнi (24*) площинами y=0 та x=0 утворюються параболи (рис. 3.20)
;
з вершинами в початку координат, симетричнi вiдносно вici Оz, з параметрами p i q.
Площина xОy дає в перетинi лiнiю , рiвняння якої розпадається на пару прямих , , що проходять через початок координат. Перетинаючи гiперболiчний параболоїд площиною z=h, одержимо в перерiзi при h>0 гiперболу
, де , його пiввіci;
а при h<0 - спряжену гiперболу
, де , пiввіci.
Так як рiвняння (24*) мicтить квадрати змiнних x та y, то площини xОz та yОz виявляються площинами симетрiї цiєї поверхнi. Гiперболiчний параболоїд має форму сiдла.
Конус. Конусом другого порядку називають поверхню, яка описується рiвнянням
(25*)
Розглянемо перетин поверхнi (25*) площиною z=0. В перерiзi одержимо точку (рис. 3.21)
Þ О(0,0)
В перерiзi площиною z=h>0 одержимо елiпс з пiввicями та .
В перерiзi площиною xОz (y=0) одержимо лiнiю , рiвняння якої розпадається на пару прямих , , що проходять через початок координат. Точка - вершина конуса; елiпс
- напрямна лiнiя, а прямi та - твiрнi. Якщо a=b, то конус круговий. Взагалi, конiчною називають поверхню, що утворена прямими (твiрними), що проходять через задану точку О (вершину конуса) i перетинають задану лiнiю L(напрямну).
Цилiндри другого порядку. Цилiндричною називають поверхню, утворену прямими (твiрними), що паралельнi де-якiй заданiй прямiй i перетинають задану лiнiю L (напрямну).
Розглянемо цилiндричнi поверхнi, твiрнi яких пара-лельнi однiй з координатних вiсей.
Рiвняння цилiндричної поверхнi, твiрнi якої пара-лельнi вici Оz, має вигляд . Якщо твiрнi пара-лельнi вici Оy або Оx, то рiвняння цилiндричних поверхонь мають вигляд , .
Не важко помiтити, якщо в рiвняннi поверхнi вiдсутня одна змiнна x чи y або z, то це рiвняння цилiндричної поверхнi з твiрними, паралельними тiй віcі, змiнна якої вiдсутня.
Якщо напрямна цилiндричної поверхнi - лiнiя другого порядку, то поверхня називається цилiндром другого по-рядку. На рис. 3.22 зображений елiптичний цилiндр
.
На рис. 3.23 та на рис. 3.24 показанi гiперболiчний та параболiчний цилiндри
; .
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
Умови паралельностi i перпендикулярностi двох площин Кут мiж ними Отже вiдомi координати... Параметричне та канонiчне рiвняння прямої... Розглянемо проекцiї на оci...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Поверхнi другого порядку
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов