КУРС ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ Конспект лекцiй. Частина 1 УКРАЇНСЬКА ДЕРЖАВНА АКАДЕМIЯ ЗВ`ЯЗКУ iм. О.С.ПОПОВА

Державний комiтет зв¢язку та iнформатизацiї України

 

УКРАЇНСЬКА ДЕРЖАВНА АКАДЕМIЯ ЗВ`ЯЗКУ iм. О.С.ПОПОВА

 

Кафедра вищої математики

 

ВЕРХIВСЬКИЙ А.Г.

ДВЕЙРІН М.З.

 

КУРС ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ

ДЛЯ ЗВ¢ЯЗКIВЦIВ

 

 

Конспект лекцiй. Частина 1

 

 

Схвалено

Протокол № 9 від 24.05.2000 р. Рекомендовано як навчальний посібник для студентів 1 курсу

Поняття матрицi

Означення. Матрицею розмiру m´n називають прямокутну таблицю елементiв, яка записується у виглядi: або Вона утворена iз m рядкiв i n колонок.Символ означає елемент матрицi, що знаходиться на перетинi i-го рядка i j-ої…

Поняття визначника матрицi

Озн.1. Визначником матрицi A=[a11]; першого порядку називається сам її елемент : detA=.   Озн.2. Визначником матрицi A 2-го порядку називають добуток…  

Основнi властивостi визначникiв

Визначники мають ряд важливих властивостей, якi значно полегшують їх обчислення. Цi властивостi перевiримо на прикладi визначника 2-го порядку.   1) Визначник транспонованої матрицi дорiвнює визначнику заданої матрицi

Однорiдна СЛАР

Розглянемо однорiдну систему n лiнiйних рiвнянь з nневiдомими, визначник якої D:  

ВЕКТОРНА АЛГЕБРА

2.1 Найпростiшi операцiї над векторами   Означення. Вектором називають направлений вiдрiзок прямої, що задається упорядкованою парою точок, з яких перша…

Проекцiя вектора на вiсь

Означення. Числовою вiссю називають нескінчену пряму, на якiй вибрана початкова точка, додатнiй напрямок i вибрана одиниця масштабу. Позначається… Ортом числової осi називається орт, який паралельний заданiй осi i має з нею… Нехай в просторi задана числова вiсь Оx i нехай довiльний вектор в просторi (рис. 2.4). Проведемо через точку A…

Лiнiйна залежнiсть векторiв

 

Означення. Лiнiйною комбiнацiєю векторiв називається сума добуткiв цих векторiв на довiльнi числа , тобто такий вираз

Система векторiв називається лiнiйно не-залежною, якщо рiвнiсть нулю їх лiнiйної комбiнацiї можлива тільки тоді, коли всi числа a_і дорiвнюють нулю; в протилежному разі векори називаються лінійно залежними.

 

Теореми про лiнiйно залежнi вектори

1) Для того, щоб система двох векторiв була лiнiйно залежною, необхiдно i достатньо, щоб цi вектори були колiнеарнi.

Iз цього твердження випливає, що всякi два непара-лельнi вектори лiнiйно незалежнi.

2) Для того, щоб система трьох векторiв була лiнiйно за-лежною, необхiдно i достатньо, щоб цi вектори були компланарнi.

Iз цього твердження випливає, що всякi три некомпланарнi вектори лiнiйно незалежнi, зокрема три попарно-перпендикулярнi вектори лiнiйно незалежнi.

 

Векторний базис на площинi та в просторi.

. Цю формулу називають розкладанням вектора по базису . Числа називаються… Векторним базисом в просторi називають всякi три некомпланарнi вектори . Будь-який вектор простору може бути єдиним…

Системи координат. Координати вектора

 

Прямокутна (декартова) система координат.Прямокут-ною (декартовою) системою координат в просторi (на площинi) називають три (двi)взаємно-перпендикулярнi числовi вiсi зi спiльним початком та з однаковою одиницею масштабу. На кожнiй з трьохкоординатних вісей виберемо орти (рис. 2.5):

орт вici Оx позначимо , орт вici Оy - , вici Оz - . Орти , , утворюють орто-нормований векторний базис.

 

Декартовi координати вектора i точки

Числа x, y, z називаються прямокутними (декартовими) координатами вектора вiдносно базиса , , або вiдносно системи координат xОyz. Нехай M - довiльна точка простору (рис. 2.5). Радiус-вектором точки M…  

Напрямнi косинуси вектора.

Умова паралельностi двох векторiв

Iз властивостей проекцiї вектора на вiсь та означення координат вектора випливає, що ; ; , де - кути, утворенi вектором i вiсями Оx, Оy, Оz (рис. 2.6). Звiдси ,,,

Скалярний добуток двох векторiв

Означення. Скалярним добутком двох векторiв i називається число, що дорiвнює добутку модулiв цих векторiв на косинус кута j, утвореного векторами i… на вектор позначається ×або . Таким чином .

Векторний добуток двох векторiв

Означення. Вектори , , утворюють в просторi праву трiйку векторiв, якщо з кiнця третього вектора можна спостерiгати, як найкоротший поворот вiд… Векторним добутком вектора на вектор (рис. 2.10) називається новий вектор , який має такi властивостi:

Обчислення координат векторного добутку за координатами спiвмножникiв

Зауважимо, що за означенням векторного добутку мають мiсце такi рiвностi для ортiв числових вiсей: ; ; ; ; ; ; ; ; .

Змiшаний добуток трьох векторiв

Означення.Нехай заданi вектори , , (рис. 2.11). Змiшаним добутком векторiв , , називають векторно-скалярний добуток .

Обчислення змiшаного добутку векторiв.

, , . Користуючись формулами (**), а також формулою обчислення скалярного добутку, одержимо: Таким чином, змiшаний добуток векторiв дорiвнює визначниковi, рядками якого являються координати векторiв, що…

Умова компланарностi трьох векторiв.

# Дiйсно, якщо вектори компланарнi, то вектор перпендикулярний до вектора ; тодi скалярний добуток за умовою перпендикулярностi векторiв, а… . Якщо змiшаний добуток трьох векторiв , то об¢єм паралелепiпеда, побудованого на цих векторах, дорiвнює нулю, а це…

Наслiдки.

# Це випливає з теореми про лiнiйну залежнiсть трьох векторiв (п. 2.3), умови компланарностi трьох векторiв та формули обчислення змiшаного добутку… 2) Для того, щоб три вектори були некомпланарнi, необхiдно i достатньо, щоб їх… 3) Для того, щоб три вектори були лiнiйно-незалежними, необхiдно i достатньо, щоб визначник, утворений iз їх координат…

Подвiйний векторний добуток

Означення. Нехай заданi три довiльнi вектори ,,. Якщо вектор векторно помножити на вектор , а вектор також векторно помножити… , де .