Скалярний добуток двох векторiв

 

Означення. Скалярним добутком двох векторiв i називається число, що дорiвнює добутку модулiв цих векторiв на косинус кута j, утвореного векторами i (рис. 2.8). Скалярний добуток вектора

на вектор позначається ×або . Таким чином

.

Скориставшись властивiстью проекцiї вектора можна записати

тобто, скалярний добуток двох векторiв дорiвнює добутку модуля одного з них на проекцiю другого на напрямок першого.

Механiчний змiст скалярного добутку.Якщо вектор-сила спрямована вподовж вектора перемiщення , то ро-

бота сили по перемiщенню мате-рiальної точки (масою m=1) вподовж вектора визначається як добуток модуля сили на модуль вектора пе-ремiщення : .

Якщо вектор-сила утворює з век-тором пермiщення кут j (рис. 2.9), то

робота сили дорiвнює добутку проекцiї цiєї сили на напрямок i модуля вектора перемiщення , тобто

.

Таким чином, робота постiйної cили по перемiщенню вподовж вектора дорiвнює скалярному добутку вектора-сили на вектор перемiщення .

 

Властивостi скалярнго добутку. Скалярний добуток двох векторiв має такi властивостi:

1) ×=×;

2)(l×,)=l×(,);

3)(+)×= ×+×;

4) ×==;

5) умова перпендикулярностi: скалярний добуток двох ненульових векторiв дорiвнює нулю тодi i тiльки тодi, коли вектори перпендикулярнi (ортогональнi), тобто .

 

Скалярний добуток ортiв. Обчислення скалярногодо-бутку за координатами векторiв-спiвмножникiв.

	i	j	k
i
j
k

 

 

Нехай два вектори заданi своїми координатами:

, .

 

Або

; .

Потрiбно обчислити їх скалярний добуток.

Скалярний добуток двух векторiв дорiвнює сумi добут-кiв вiдповiдних координат векторiв-спiвмножникiв.

 

Обчислення модуля вектора за його координатами. Нехай вектор заданий координатами . Ско-ристаємось 4-ю властивiстю скалярного добутку i формулою обчислення його:

.

Модуль вектора дорiвнює арифметичному значенню квадратного кореня iз суми квадратiв його координат.

 

Вiддаль мiж двома точками. Нехай двi точки та заданi своїми координатами (рис. 2.7): , . Вiддаль мiж точками спiвпадає з модулем вектора . За формулою обчислення модуля вектора маємо:

,

тобто, вiддаль мiж двома точками дорiвнює арифметичному значенню квадратного кореня iз суми квадратiв рiзниць одноiменних координат.

 

Кут мiж векторами. Умова перпендикулярностi векторiв. Iз означення скалярного добутку випливає

Скориставшись формулами обчислення скалярного добутку та модуля вектора, одержимо

.

За властивiстю 5) скалярного добутку та формулою його обчислення отримуємо умову перпендикулярностi двох векторiв в координатнiй формi:

.