ОСНОВЫ ТЕОРИИ СООРУЖЕНИЙ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ, МОЛОДЕЖИ И СПОРТА УКРАИНЫ

ДОНБАССКАЯ НАЦИОНАЛЬНАЯНАЯ АКАДЕМИЯ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ

КАФЕДРА ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ И ПРИКЛАДНОЙ МЕХАНИКИ

Денисов Е.В., Руднева И.Н.

  ОСНОВЫ ТЕОРИИ СООРУЖЕНИЙ Часть 2

ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ БАЛОЧНЫХ СИСТЕМ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ... 49

ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ РАСЧЕТОВ ПРИ ДЕЙСТВИИ ДИНАМИЧЕСКИХ НАГРУЗОК.. 51

 

ЛЕКЦИЯ № 1. ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ПРИ ИЗГИБЕ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ИЗОГНУТОЙ ОСИ БАЛКИ. РАСЧЕТ БАЛОК НА ЖЕСТКОСТЬ.

ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ПРИ ИЗГИБЕ

Рис.1.1. Прогибомназывается линейное перемещение центра тяжести поперечного сечения балки в направлении перпендикулярном оси…

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ИЗОГНУТОЙ ОСИ БАЛКИ

На некотором расстоянии z выделим сечение (точка А), у которого будет некоторый прогиб y и угол поворота q. На расстоянии dz от прежнего сечения… Длина дуги dS, образованная этими двумя сечениями может быть найдена как:   .  

РАСЧЕТ БАЛОК НА ЖЕСТКОСТЬ

· конструктивные (обеспечение целостности стыков, отделочных материалов, коммуникаций, обеспечение заданных уклонов и т.д.); · технологические (обеспечение возможности работы технологического… · физиологические (предотвращение вредных воздействий и ощущений дискомфорта при колебаниях конструкций);

Пример 1.2.

Для консольной балки длиной L загруженной сосредоточенной силой P (рис. 1.3) подобрать поперечное сечение из двутавра и проверить условие жесткости такой конструкции. Данные принять следующие: P=13кН, L=3м, R=240МПа, E=2.06×10⁶МПа. Предельную величину прогиба принять .

Максимальный по модулю изгибающий момент получаем при z=L

.

 

Из условия прочности при изгибе имеем:

, откуда

 

Принимаем двутавр 20, для которого W_x=184см³, I_x=1840см⁴.

 

Проверим принятое сечение на условие жесткости. Для этого необходимо определить максимальный прогиб на балке. Функция прогибов известна, необходимо ее исследовать на максимум. Приравниваем первую производную к нулю:

, - критическая точка. .

 

Определяем также значение функции на границах возможных значений аргумента z.

, .

 

Здесь важно отметить, что знак перемещения в расчетах на жесткость не важен, поскольку указывает лишь направление перемещения. Значения же перемещений принимаются по модулю. Тогда

, т.е. максимальный прогиб происходит на консоли.

 

Вычислим значение максимального прогиба

.

Предельная величина прогиба

.

Условие жесткости - не выполняется. Подберем новое поперечное сечения исходя из условия жесткости:

, откуда

 

Подбираем по сортаменту двутавр 20а с моментом инерции I_x=2030см⁴.

 

ЛЕКЦИЯ № 2. ПОНЯТИЕ УСТОЙЧИВОСТИ, УСТОЙЧИВЫЕ И НЕУСТОЙЧИВЫЕ ФОРМЫ РАВНОВЕСИЯ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРИТИЧЕСКОЙ СИЛЫ. ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА.

 

УСТОЙЧИВЫЕ И НЕУСТОЙЧИВЫЕ ФОРМЫ РАВНОВЕСИЯ. ПОНЯТИЕ КРИТИЧЕСКОЙ СИЛЫ

Известно, что равновесие может быть устойчивым, безразличным и неустойчивым. Равновесие называется устойчивым, если при малом отклонении от положения… Равновесие называется неустойчивым, если система не возвращается в исходное положение, а отклоняется от него еще…

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРИТИЧЕСКОЙ СИЛЫ. ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА

Из условий внешнего закрепления стержня на опорах имеем: у(0)=0, откуда получим B=0;

ПРЕДЕЛЫ ПРИМЕНИМОСТИ ФОРМУЛЫ ЭЙЛЕРА. ПОЛНАЯ ДИАГРАММА КРИТИЧЕСКИХ НАПРЯЖЕНИЙ

. Используя соотношение , где imin – наименьший радиус инерции площади… .

ПОРЯДОК РАСЧЕТА ЦЕНТРАЛЬНО СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ НА УСТОЙЧИВОСТЬ

. Условие прочности центрально сжатого стержня имеет вид: .

Подбор поперечного сечения центрально сжатых стрежней на устойчивость ведут методом последовательных приближений в следующей последовательности.

2) определяют размеры поперечного сечения и минимальный радиус инерции по формулам соответственно: , .

Предмет и задачи строительной механики

Расчет на прочность обеспечивает безопасную работу сооружения на воздействие внешних и внутренних усилий. При этом должно обеспечиваться… При расчете на устойчивость определяются критические значения внешних… Расчет на жесткость состоит в определении деформаций (прогибов, осадок, вибраций), при которых прочность сооружения…

Понятие о расчетной схеме сооружения

Расчетная схема заменяет действительное сооружение, представляет сооружение в несколько ином виде и фигурирует вместо него в процессе расчета. В данном случае используется метод научной абстракции, при котором… Например, узел фермы (металлической или железобетонной) имеет жесткую конструкцию, но при расчете такой узел…

Классификация расчетных схем

1. С геометрической точки зрения:

а) стержневые системы или конструкции, состоящие из стержней или брусьев, соединяемых друг с другом каким-либо образом;

б) тонкостенные сооружения, состоящие из пластинок, оболочек, плит соединяемых друг с другом каким-либо способом;

в) массивные сооружения, все три размера которых являются величинами одного порядка (массивный фундамент, плотина и т.п.).

2. По способу соединения элементов между собой:

а) шарнирно-стержневые конструкции - когда стержни или брусья соединяются друг с другом с помощью шарниров (ферма).

б) рамные - это сооружения, имеющие жесткие узлы;

 

в) комбинированные системы, которые имеют и шарнирные и рамные узлы.

 

3. С пространственной точки зрения все сооружения делятся на плоские и пространственные. Плоскими называются сооружения, у которых оси всех элементов, а также действующие нагрузки располагаются в одной плоскости. В противном случае - сооружения пространственные.

4. По направлению опорных реакций:

а) безраспорные сооружения - у которых при действии вертикальной нагрузки на опорах возникают только вертикальные опорные реакции;

 

б) распорные сооружения - у которых даже при действии только вертикальных нагрузок возникают как вертикальные, так и горизонтальные составляющие опорных реакций. Последние называются распорами (например, в арках, висячих системах и т.п.).

 

Безраспорная Распорная арочная

балочная система (распор направлен внутрь арки).

 

5. С кинематической точки зрения:

а) геометрически неизменяемые системы, у которых нет лишних связей - статически определимые;

б) геометрически неизменяемые системы с лишними связями - статически неопределимые;

в) геометрически изменяемые системы, кинематические механизмы, - в строительных конструкциях не применяются.

Кинематический анализ сооружения

Как отмечалось выше сооружение или система могут быть геометрически неизменяемыми (напр. простая ферма из 3-х стержней) или изменяемыми (ферма,…               …  

Мгновенно изменяемые системы. Анализ геометрической структуры сооружения

Рассмотрим первый вид мгновенной изменяемости.      

Классификация ферм.

Фермы можно классифицировать по различным признакам, а именно:

1) По материалу, различают фермы металлические, стальные, деревянные, металлодеревянные, железобетонные.

2) По направлению опорных реакций:

а) безраспорные фермы, которые могут быть:

 

 

 

балочные фермы

консольные фермы

консольно-балочные фермы

 

б) распорные фермы, в опорах которых даже при вертикальной нагрузке возникают как вертикальные, так и горизонтальные опорные реакции, например :

арочные - распор у которых направлен внутрь

висячие - распор у которых направлен наружу.

 

3) По очертанию поясов. С этой точки зрения фермы могут быть следующие:

а) фермы с параллельными поясами

 

 

 

б) фермы полигонального (ломанного) очертания

 

в) треугольные фермы

г) фермы криволинейного очертания - узлы верхнего или нижнего пояса, или обоих поясов, располагаются по кривой, однако сами стержни обязательно прямые

4) По типу решетки:

а) с раскосной решеткой - фермы, у которых решетка состоит из раскосов и стоек. В зависимости от направления раскосов различают решетки с нисходящими и восходящими раскосами

 

 

 

с нисходящими раскосами с восходящими раскосами

 

б) фермы с треугольной решеткой

 

 

в) полураскосные фермы - у них раскосы идут не от пояса к поясу, а отпоясов к середине стоек

 

 

Рассмотренные выше типы решеток являются простыми решетками, однако часто применяются и сложные решетки:

г) многораскосные фермы - их решетка состоит из нескольких раскосных решеток, наложенных друг на друга

 

д) шпренгельные фермы - у таких ферм дополнительно к основным стержням решетки вводятся новые стержни, которые делят панели поясов на части, благодаря чему удается избежать внеузлового загружения ферм

 

 

е) составные фермы - это фермы, у которых отдельные стержни заменены сложными системами, в свою очередь представляющие собой фермы.

Расчет статически определимых плоских ферм.

 

Конечной целью статического расчета фермы является определение усилий в ее стержнях. По этим усилиям в дальнейшем производят подбор сечений элементов фермы и расчет узловых прикреплений элементов (расчет заклепок, сварных швов, врубок, болтов, шпонок).

Для расчета ферм разработан ряд методов, которые можно разделить на две основные группы: статические и динамические.

Основой всех статических методов расчета является, способ сечений, который состоит в следующем: из фермы вырезают отдельные узлы, или целые области, или рассекают ферму на две части, после чего для рассматриваемого участка фермы составляется одно из уравнений статики, содержащее в себе одно неизвестное усилие.

Вместе с тем, каждый из статических способов имеет свои особенности, которые и рассмотрим.

Способ вырезания узлов

из решения которых и определяют усилия в стержнях. Поэтому и каждый последующий вырезанный узел может содержать любое количество стержней, но неизвестными должны быть…

Правило 4.

Если в узле сходится три стержня, два из которых направлены по о дной прямой , а по направлению третьего стержня действует сила Р, то усилие в… Доказательство:

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Горизонтальные или близкие к ним наклонные элементы рамы называют ригелями. Вертикальные или близкие к ним элементы рамы называют стойками. Ригель может иметь прямолинейное, ломаное или криволинейное очертание.

СТАТИЧЕСКАЯ ОПРЕДЕЛИМОСТЬ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ НЕИЗМЕНЯЕМОСТЬ РАМ

Как и любая расчетная схема строительного сооружения рама должна представлять собой геометрически неизменяемую систему. Правила проверки геометрической неизменяемости систем рассмотрены ранее, поэтому лишь напомним, что количество степеней свободы W можно определить по формуле Чебышева:

,

где W – количество степеней свободы системы, D – количество дисков в системе, Ш – количество простых шарниров (шарниры внешних связей не учитываются), С₀ – количество внешних связей. Для геометрически неизменяемых систем обязательным условием является W £ 0. Однако окончательный вывод о геометрической неизменяемости систем делаю с помощью кинематического анализа, который также рассмотрен в предыдущих лекциях.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПОРНЫХ РЕАКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР ВНУТРЕННИХ СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ

Рассмотрим раму на рис. 6.4 и определим опорные реакции в этой раме. Опоры рамы находятся в точках А и С. Отбрасываем связи, заменяя их силами…   проекций сил на оси x и y: – содержит две неизвестных… , откуда

Сплошные трехшарнирные арки. Определение опорных реакций.

    При действии на арку внешней нагрузки, в каждой ее опоре возникают по две реакции: горизонтальная и вертикальная.

Определение внутренних усилий в сечениях трехшарнирной арки

Внутренними усилиями, возникающими в поперечных стержнях арки, являются изгибающие моменты М, поперечные силы Q и продольные силы N.

 

 

Правило знаков

 

Изгибающие моменты в сечениях арок

Определим М в сечении I-I

Поперечные и продольные силы в сечениях арок

Поперечная сила Q в сечении арки равна сумме проекций всех сил, расположенных по одну сторону от сечения на нормаль к касательной, проведенной к оси… Q0Х

Построение эпюр M, Q, N в арках.

Для построения эпюр пролет арки разбивается на несколько равных частей (10-15) и в каждом сечении, в соответствии с выражениями (7.1), (7.2), (7.3)… Расчет обычно сводят в таблицу.

Статически определимые комбинированные системы

 

Комбинированные статически определимые системы состоят обычно из двух каких-либо жестких дисков (балочных ферм, сплошных балок, полуарок), связанных между собой промежуточным шарниром и гибкой части в виде шарнирно-стержневой системы.

а) б)

 

Висячие системы

Висячей называется такая система, у которой основная несущая конструкция, перекрывающая пролет, работает на растяжение. Простейшим видом висячей… В отличии от арочных, распор в висячих системах направлен наружу.  

ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ БАЛОЧНЫХ СИСТЕМ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ

В случае влияния на систему некоторой возмущающей нагрузки, интенсивностью q(z, t), дифференциальное уравнение движения массы принимает вид: … Решение этого уравнения приводит к уравнению движения массы при колебаниях: … где t – переменная интегрирования.

ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ РАСЧЕТОВ ПРИ ДЕЙСТВИИ ДИНАМИЧЕСКИХ НАГРУЗОК

 

Рассмотрим механизм динамических расчетов на примере задачи.

Задача 8.1. В лифтовой шахте на канате, который имеет площадь поперечного сечения нетто Fn, модуль упругости E и усилие разрыва Pp, поднимается лифт массой М на высоту h1. Лифт двигается с постоянной скоростью. Между лифтом и канатом установлена пружина с коэффициентом жесткости с. Определить максимальную скорость движения лифта из условия прочности каната при аварийной остановке лебедки, если она установлена на высоте h2 (рис. 8.2). Данные принять: Fn=47,19мм2, E=1,4×105МПа, Pp=78,6кН, М=700кг, с=5×105Н/г, h1=30г, h2=40г.   Решение. В момент аварийной остановки система, которая двигалась с постоянной скоростью, испытывает собственные колебания со следующими начальными условиями: y0=0, V0=V. Поскольку происходят колебания только вдоль лифтовой шахты, то система имеет одну степень свободы. Уравнение движения в силу имеет вид: .

Рис. 8.2

Амплитуда собственных колебаний соответственно (8.4) равна:

.

Начальная фаза определится по (8.5):

,

откуда m=0. Тогда уравнение движения принимает вид:

.

Находим силу инерции массы как:

Максимальная по модулю сила инерции массы возникает при :

.

Частоту собственных колебаний найдем по (8.3). Для этого найдем перемещение d₁₁ точки закрепления массы от единичной силы, приложенной в той же точке. Пусть длина каната в момент аварийной остановки составляла l. В соответствии условиям задачи . Тогда перемещение d₁₁ точки закрепления массы будет состоять из деформации троса и деформации пружины от действия единичной продольной силы:

Частота собственных колебаний равна:

Тогда максимальная по модулю сила инерции массы равна:

.

Максимальные усилия в канате возникают при совпадении направлений действия силы веса массы лифта и максимального значения силы инерции массы (рис.8.3). Из условий равновесия имеем: . По условию прочности каната внутренние усилия в канате не должны превышать усилие разрыва Pp: , тогда .

Рис. 8.3

Отсюда получим условие максимальной скорости движения:

.

Последнее выражение зависит от величины длины каната в момент аварийной остановки l. Очевидно, что правая часть неравенства принимает наименьшее значение при минимальной возможной длине каната l, т.е. при Тогда, подставив это выражение в условие максимальной скорости движения, получим выражение для вычисления максимально допустимой скорости движения лифта:

Вычислим также для данной задачи частоту собственных колебаний в расчетном состоянии, т.е. при минимально возможной длине каната :

Линейная частота колебаний связана с круговой частотой зависимостью (8.6):

Единицами измерения линейной частоты колебаний являются герцы (Гц). Линейная частота характеризует количество полных колебаний массы за промежуток времени равный одной секунде, т.е. 1 Гц=1 колебание/сек.