ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ БАЛОЧНЫХ СИСТЕМ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ

В случае влияния на систему некоторой возмущающей нагрузки, интенсивностью q(z, t), дифференциальное уравнение движения массы принимает вид:

.

Решение этого уравнения приводит к уравнению движения массы при колебаниях:

,

(8.7)

где t – переменная интегрирования.

Отсюда дифференцированием можно найти силу инерции массы . При расчетах очевидно важна такая инерционная сила, которая совместно со статической составляющей внешней нагрузки вызывает наибольшие усилия и перемещения в конструкции. В этой связи удобно использовать динамический коэффициент k_д, который определяется как:

,

(8.8)

где D_1Р – перемещение точки закрепления массы от приложенной статически внешней нагрузки.

Динамический коэффициент – это безразмерная характеристика, указывающая во сколько раз перемещения (напряжения) конструкции увеличиваются при действии статических и динамических нагрузок в сравнении с действием только статических нагрузок.

Рассмотрим частные случаи действия возмущающей силы.

В случае внезапно приложенной нагрузки, которая не изменяется во времени, уравнение (16.7) примет вид:

.

(8.9)

В том случае, когда нагрузка внезапно снимается, система выполняет не вынужденные, а собственные колебания , начальные условия которых y₀= D_1P и v₀ =0. Другие параметры определяются по формулам (8.2)-(8.5).

В случае влияния некоторой гармонической нагрузки с частотой вынужденных колебаний q, решение уравнения (8.7) приведет к уравнению движения массы в виде:

,

(8.10)

где D_1P – перемещение точки закрепления массы от статически приложенной внешней нагрузки, взятой по своему амплитудному значению,
u – коэффициент нарастания колебаний, которое характеризует соотношение значений вынужденной и собственной частот колебаний:

.

(8.11)

Очевидно, что при w=q, получим и . Такое явление называется резонансом.

Резонансом называется явление резкого возрастания амплитуд колебаний при совпадении частот вынужденных и собственных колебаний.

При учете в уравнении сил сопротивления движения – диссипативных сил, величина не равняется бесконечности, а имеет целиком определенное значение. Однако в этом случае явление резонанса также проявляется в виде резкого возрастания амплитуд колебаний.

Рассмотрим случай ударных нагрузок от некоторой свободно падающей массы M на систему с сосредоточенной массой M₀ из высоты h. В инженерной практике часто применяют так называемую техническую теорию удара, которая имеет ряд предположений:

- при соударении тело, которое ударяет, двигается вместе с телом, которое испытывает удар, к развитию наибольших деформаций. При этом отсутствуют упругие волны в телах и связанных с ними отскоки ударяющего тела. Такой удар называют неупругим ударом;

- на протяжении всего времени деформирования тел при соударении зависимость между деформациями и усилиями, которые возникают в телах, отвечает закону Гука, а сами деформации распространяются по всему объему тел;

- кинетическая энергия, которую имело ударяющее тело, к моменту удара, равняется сумме кинетической и потенциальной энергии тел после удара. При этом пренебрегают затратами энергии на смену температуры тел, местные пластические деформации и др.

- система тел при соударении имеет одину степень свободы (8.1), т.е. положение системы определяется только одной координатой.

В момент удара скорость массы M составляет . В случае неупругого удара скорость системы масс M+M₀ по закону сохранения импульса уменьшится в h раз:

.

(8.12)

Коэффициент h принято называть коэффициентом передачи энергии. Для определения максимальной силы инерции можно отдельно рассмотреть два процесса колебаний: собственные колебания полученной системы масс M+M₀ при начальной скорости и вынужденные колебания системы масс M+M₀ при внезапном приложении силы веса падающей массы Q=Mg. В результате такого суммирования решений (8.2) и (8.9) несложно получить формулу динамического коэффициента (8.3) при ударе:

,

(8.13)

где f – перемещение точки закрепления массы от статически приложенной силы веса падающей массы Q=Mg. Очевидно, что f=Qd₁₁=Mgd₁₁.

Важно отметить, что на динамический коэффициент (8.3) при расчетах следует умножать только вес падающей массы – Mg и принимать такую нагрузку при расчетах как условно статическую . Приложение к исходной системе нагрузки P_д эквивалентно действия сил инерции масс системы при колебаниях и внезапно приложенной силы веса падающей массы Q=Mg. Таким образом P_д характеризует только дополнительную нагрузку от влияния падающей массы. Поэтому, если до динамического воздействия к системе были приложенные какие-то нагрузки, например, от веса массы M₀, то их влияние необходимо учитывать дополнительно.

Если ударяющая масса не вызывает вертикальной составляющей перемещения, например, при горизонтальном ударе, то динамический коэффициент в (16.13) следует вычислять без единиц.