ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРИТИЧЕСКОЙ СИЛЫ. ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА - раздел Философия, ОСНОВЫ ТЕОРИИ СООРУЖЕНИЙ Впервые Проблема Устойчивости Сжатых Стержней Была Поставлена Леонардом Эйлер...
Впервые проблема устойчивости сжатых стержней была поставлена Леонардом Эйлером. Эйлер вывел расчетную формулу для критической силы и показал, что ее величина существенно зависит от способа закрепления стержня. Идея метода Эйлера заключается в установлении условий, при которых кроме прямолинейной возможна и смежная (т.е. сколь угодно близкая к исходной) криволинейная форма равновесия стержня при постоянной нагрузке.
Рис.2.3.
Предположим, что шарнирно закрепленный по концам прямой стержень, сжатый силой P=Pкр, был выведен некоторой горизонтальной силой из состояния прямолинейного равновесия и остался изогнутым после устранения горизонтальной силы (рис. 2.3).
Если прогибы стержня малы, то приближенное дифференциальное уравнение его оси будет иметь такой же вид, как и при поперечном изгибе бруса:
,
Mx=-Pкр×y, откуда
.
Обозначим , тогда получим
.
Решение данного дифференциального уравнения имеет вид:
Из условий внешнего закрепления стержня на опорах имеем:
у(0)=0, откуда получим B=0;
у(L)=0, откуда получим А sinkL=0.
Очевидно, что А не может быть равным нулю, поскольку в этом случае прогибы во всех точках будут равны нулю. Получим
sinkL=0, откуда
kL=n×p, где nÎZ.
, где nÎZ.
Делая обратную замену, получим
, откуда получим выражение для критической силы
.
Величина nÎZ является порядковым номером формы потери устойчивости. На практике, как правило, используется самая первая форма потери устойчивости, поскольку она указывает на сам факт перехода коснтрукции в иное, возможно непредстказуемое состояние.
Выпучивание стержня происходит в сторону наименьшей жесткости, если нет специальных устройств, препятствующих изгибу стержня в этом направлении. Поэтому в полученную формулу надо подставлять Imin - меньшей из главных центральных осевых моментов инерции поперечного сечения стержня.
Принимая n=1, получим
.
(2.1)
Полученная формула, позволяет определить величину критической силы шарнирно закрепленного стержня, и носит название формулы Эйлера.
Формула (2.1), как следует из ее вывода, справедлива не только для стержня с шарнирно закрепленными концами, но и для любого стержня, который изогнется при выпучивании по целому числу полуволн. Применим эту формулу, например, при определении критической силы для стержней, показанных на рис. 2.4. Очевидно, что число полуволн изогнутой оси, поместившихся на длине L, для схемы показанной на рис. 2.4,а равно двум. Длина полуволны, которую будем называть расчетной длиной Lp, будет равна , т.е. . Для схемы на рис. рис. 2.4,б на длине L уместилась всего лишь половинка полуволны синусоиды. Тогда расчетная длина в этом случае будет равна . Обобщая на все возможные закрепления стержня, введем понятие коэффициента приведения длины - m, который будет равен .
Рис.2.4.
Для большинства случаев внешних опор стержня коэффициенты приведения длины посчитаны и приведены в справочных пособиях. Некоторые из них приведены на рис. 2.5.
Рис.2.5.
Обобщенная формула Эйлера, учитывающая особенности закрепления стержня имеет вид:
ДОНБАССКАЯ НАЦИОНАЛЬНАЯНАЯ АКАДЕМИЯ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ... КАФЕДРА ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ И ПРИКЛАДНОЙ... ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ БАЛОЧНЫХ СИСТЕМ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРИТИЧЕСКОЙ СИЛЫ. ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Денисов Е.В., Руднева И.Н.
КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ
ОСНОВЫ ТЕОРИИ СООРУЖЕНИЙ
Часть 2
Макеевка, ДонНАСА 2013
Оглавление
ЛЕКЦИЯ № 1. П
ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ПРИ ИЗГИБЕ
Изгиб балки сопровождается искривлением ее оси. При поперечном изгибе ось балки принимает вид кривой, расположенной в плоскости действия поперечных нагрузок. При этом точки оси получают поперечные
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ИЗОГНУТОЙ ОСИ БАЛКИ
Рассмотрим плоский изгиб стержня, загруженного сосредоточенной силой Р (рис. 1.2).
На некотором расстоянии z выделим сечение (точка А), у которого будет некоторый прог
РАСЧЕТ БАЛОК НА ЖЕСТКОСТЬ
Расчет на жесткость, о котором упоминалось в начальных лекциях нашего курса, является необходимым условием для обеспечения нормальной эксплуатации рассчитываемых конструкций. Существует целый ряд т
Предмет и задачи строительной механики
Строительная механика в широком смысле - это наука, занимающаяся разработкой принципов и методов расчета сооружений и конструкций на прочность, устойчивость и жесткость.
Расчет на прочност
Понятие о расчетной схеме сооружения
Расчетная схема заменяет действительное сооружение, представляет сооружение в несколько ином виде и фигурирует вместо него в процессе расчета.
В данном с
Кинематический анализ сооружения
Как отмечалось выше сооружение или система могут быть геометрически неизменяемыми (напр. простая ферма из 3-х стержней) или изменяемыми (ферма, состоящая из 4-х стержней).
Способ вырезания узлов
Сущность этого способа состоит в следующем: из фермы, начиная с узла, где сходятся не более двух стержней с неизвестными усилиями, последовательно вырезают узлы вместе с приложенными к ним нагрузка
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Рама – геометрически неизменяемая стержневая система, элементы которой соединены между собой жестко или шарнирно произвольным образом.
Горизонтальные или близкие к ним наклонные элементы р
Построение эпюр M, Q, N в арках.
Для построения эпюр пролет арки разбивается на несколько равных частей (10-15) и в каждом сечении, в соответствии с выражениями (7.1), (7.2), (7.3) определяют зна
Висячие системы
Висячей называется такая система, у которой основная несущая конструкция, перекрывающая пролет, работает на растяжение. Простейшим видом висячей системы является
Новости и инфо для студентов