ПРЕДЕЛЫ ПРИМЕНИМОСТИ ФОРМУЛЫ ЭЙЛЕРА. ПОЛНАЯ ДИАГРАММА КРИТИЧЕСКИХ НАПРЯЖЕНИЙ
ПРЕДЕЛЫ ПРИМЕНИМОСТИ ФОРМУЛЫ ЭЙЛЕРА. ПОЛНАЯ ДИАГРАММА КРИТИЧЕСКИХ НАПРЯЖЕНИЙ - раздел Философия, ОСНОВЫ ТЕОРИИ СООРУЖЕНИЙ Вывод Формулы Эйлера Основан На Интегрировании Дифференциального Уравнения Уп...
Вывод формулы Эйлера основан на интегрировании дифференциального уравнения упругой линии стержня. Это уравнение справедливо только в пределах линейной зависимости между напряжениями и деформациями, поэтому и формула Эйлера применима только до тех пор, пока критические напряжения, определяемые по этой формуле, не превосходят предела пропорциональности σпц, т. е. при условии
.
Используя соотношение , где imin – наименьший радиус инерции площади поперечного сечения стержня, можем записать это условие так:
.
Введем обозначение гибкости стержня:
.
(2.3)
Безразмерная величина отношения расчетной длины стержня к радиусу инерции площади его поперечного сечения называется гибкостью.
Тогда критические напряжения определятся как
,
где - предел пропорциональности материала стержня.
Откуда нетрудно получить величину предельной гибкости, при которой деформации стержня будут упругими:
Например, для конструкционной малоуглеродистой стали с σпц=210 МПа и E=2.1·105 МПа формулой Эйлера (2.4) можно пользоваться лишь при гибкости стержня
.
Тщательно поставленные опыты показали справедливость формулы Эйлера для стержней большой гибкости. В то же время эти опыты подтвердили неприменимость формулы Эйлера для стержней, гибкость которых . Для таких стержней формула Эйлера (2.4) дает значения критических нагрузок, превышающие их действительные значения. Попытки использовать формулу Эйлера для стержней средней и малой гибкости приводили иногда к серьезным катастрофам. Теория устойчивости стержней за пределом пропорциональности была развита Карманом, Энгессером, Шенли, Тетмайером, Ясинским...
Наибольшее распространение получила формула определения критических напряжений, предложенная Ф.С. Ясинским (1895 г.):
(2.4)
В этой формуле λ – гибкость стержня, a и b – коэффициенты, зависящие от свойств материала. Например, для стали 3 при σв=380 МПа и σт=240 МПа формула имеет вид:
(МПа).
По формуле (2.4) проводится расчет на устойчивость стержней средней гибкости, разрушение которых при сжатии сопровождается значительным боковым выпучиванием. Для стержней малой гибкости (λ<λ1) понятие потери устойчивости неприменимо в том смысле, в каком применяется для стержней большой гибкости. Стержни, у которых длина невелика по отношению к размерам поперечного сечения, выходят из строя главным образом из-за того, что напряжения сжатия в них достигают предела текучести σт (при пластичном материале) или предела прочности σвр (при хрупком материале). Поэтому для стержней малой гибкости в качестве критического напряжения принимается предел текучести σт или предел прочности σвр. Четкой границы между стержнями малой и средней гибкости провести нельзя. В расчетах принимают .
Зависимость критических напряжений σкр от гибкости λ изображается графически в виде полной диаграммы критических напряжений. Такая диаграмма для малоуглеродистой стали представлена на рис. 2.6.
Рис. 2.6.
Для стержней малой гибкости () зависимость σкр от λ выражена горизонтальной прямой, для стержней средней гибкости () – наклонной прямой в соответствии с зависимостью Ясинского (2.4), а для стержней большой гибкости () – гиперболой Эйлера. Если известна гибкость рассчитываемого стержня, то критическое напряжение может быть найдено непосредственно по диаграмме критических напряжений.
ДОНБАССКАЯ НАЦИОНАЛЬНАЯНАЯ АКАДЕМИЯ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ... КАФЕДРА ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ И ПРИКЛАДНОЙ... ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ БАЛОЧНЫХ СИСТЕМ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ...
Денисов Е.В., Руднева И.Н.
КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ
ОСНОВЫ ТЕОРИИ СООРУЖЕНИЙ
Часть 2
Макеевка, ДонНАСА 2013
Оглавление
ЛЕКЦИЯ № 1. П
ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ПРИ ИЗГИБЕ
Изгиб балки сопровождается искривлением ее оси. При поперечном изгибе ось балки принимает вид кривой, расположенной в плоскости действия поперечных нагрузок. При этом точки оси получают поперечные
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ИЗОГНУТОЙ ОСИ БАЛКИ
Рассмотрим плоский изгиб стержня, загруженного сосредоточенной силой Р (рис. 1.2).
На некотором расстоянии z выделим сечение (точка А), у которого будет некоторый прог
РАСЧЕТ БАЛОК НА ЖЕСТКОСТЬ
Расчет на жесткость, о котором упоминалось в начальных лекциях нашего курса, является необходимым условием для обеспечения нормальной эксплуатации рассчитываемых конструкций. Существует целый ряд т
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРИТИЧЕСКОЙ СИЛЫ. ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА
Впервые проблема устойчивости сжатых стержней была поставлена Леонардом Эйлером. Эйлер вывел расчетную формулу для критической силы и показал, что ее величина существенно зависит от способа закрепл
Предмет и задачи строительной механики
Строительная механика в широком смысле - это наука, занимающаяся разработкой принципов и методов расчета сооружений и конструкций на прочность, устойчивость и жесткость.
Расчет на прочност
Понятие о расчетной схеме сооружения
Расчетная схема заменяет действительное сооружение, представляет сооружение в несколько ином виде и фигурирует вместо него в процессе расчета.
В данном с
Кинематический анализ сооружения
Как отмечалось выше сооружение или система могут быть геометрически неизменяемыми (напр. простая ферма из 3-х стержней) или изменяемыми (ферма, состоящая из 4-х стержней).
Способ вырезания узлов
Сущность этого способа состоит в следующем: из фермы, начиная с узла, где сходятся не более двух стержней с неизвестными усилиями, последовательно вырезают узлы вместе с приложенными к ним нагрузка
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Рама – геометрически неизменяемая стержневая система, элементы которой соединены между собой жестко или шарнирно произвольным образом.
Горизонтальные или близкие к ним наклонные элементы р
Построение эпюр M, Q, N в арках.
Для построения эпюр пролет арки разбивается на несколько равных частей (10-15) и в каждом сечении, в соответствии с выражениями (7.1), (7.2), (7.3) определяют зна
Висячие системы
Висячей называется такая система, у которой основная несущая конструкция, перекрывающая пролет, работает на растяжение. Простейшим видом висячей системы является
Новости и инфо для студентов