Декартовий добуток,

4. проекція,

5. селекція.

Об'єднання. Об'єднання відношень R і S (позначаться R U S) представляє собою множину кортежів, які належать R чи S або їм обом. Операція об'єднання виконується над двома сумісними відношеннями R₁, R₂ (з ідентичною структурою - d₁, d₂... d_n) (таблиці 4.5, 4.6). Оператор об'єднання застосовується тільки до відношень однакової арності. Якщо в результаті об'єднання відношень мають місце однакові кортежі, то вони заміняються одним.

Нехай задано два відношення , представлені таблицями 4.5, 4.6. Виконаємо над ними операцію об'єднання.

 

∩כU

Таблиця 4.5 R_1. Науковий семінар 1

Кортеж	Прізвище та ініціали	Група
С11	Кубів І.П.
С12	Сомів М.В.
С13	Кріт І.В.
С14	Вовчук В.І.

 

 

Таблиця 4.6 R_2. Науковий семінар 2

Кортеж	Прізвище та ініціали	Група
С21	Кріт І.В.
С22	Кубів І.П.
С23	Якубів Н.З.

 

 

У результаті операції об’єднання будується нове відношенняR = R₁U R_2. Відношення R має той самий склад атрибутів і сукупність кортежів вихідних відношень. Причому в цю сукупність не включаються дублікати. В результаті об'єднання відношень отримуємо результуюче відношення, яке представлено в табл.4.7.

 

Таблиця 4.7 R = R₁ U R_2. Науковий семінар

Кортеж	Прізвище та ініціали	Група
С11 (С22)	Кубів І.П.
С12	Сомів М.В.
С13 (С21)	Кріт І.В.
С14	Вовчук В.І.
С23	Якубів Н.З.

Різниця(віднімання). Різницею відношення R і S (позначається як R - S), називається множина кортежів, які належать R, але не належать S (рис.4.5). При реалізації різниці необхідно, щоб R і S мали одну і ту ж саму арність.

Р і з н и ц я- операція виконується над двома сумісними відношеннями R₁, R₂ з ідентичним набором атрибутів. У результаті операції віднімання будується нове відношення RV = R₁ - R₂з ідентичним набором атрибутів, яке містить лише ті кортежі відношення R₁, які не повторюються в другому відношенні R₂.

Рисунок 4.5 - Графічна ілюстрація операції різниці відношень

 

У результаті операції віднімання будується нове відношення RV = R - Sз ідентичним набором атрибутів, яке містить лише ті кортежі відношення R, які не повторюються в другому відношенні S.

Різниця відношень

Кортеж	Прізвище та ініціали	Група
С12	Сомів М.В.
С14	Вовчук В.І.

 

Причому результат RV = R – S не є рівним RV = S – R.

Якщо А - відношення про жителів мікрорайону, В - відношення про тих, хто пройшов медичний огляд, то відношення А - В буде містити дані про тих жителів мікрорайону, хто не пройшов медичний огляд.

Перетин R ∩ S операція, яка виконується над двома сумісними відношеннями R₁, R₂ (представлені таблицями 4.5, 4.6.)

Результуюче відношення RP = R₁ ∩ R₂ містить однакові кортежі, які є в кожному з двох вихідних. Результат перерізу має той же склад атрибутів, як і у вихідних.

 

Кортеж	Прізвище та ініціали	Група
С11 (С22)	Кубів І.П.
С13 (С21)	Кріт І.В.

 

Таким чином, операція Перетину зясовує, що є спільним в двох відношеннях.

RP = R ∩ S

Ділення . двох відношень R та S R/S знаходиться згідно формул (R - (R - S)). Нехай R та S є відношення арності r і s відповідно, де (r > s) і S {}. Тоді частка R / S є множина кортежів t довжини (r - s) таких, що для всіх кортежів u довжини s, які належать S, кортеж tu належить R. Виконаємо операцію ділення над відношеннями R та S , які представлені відповідно таблицями 4.13 та 4.14.

 

Таблиця 4.13 - Екзаменаційна відомість R

 

Таблиця 4.14 - Відношення S

 

В результаті отримуємо частку (табл.4.15).

Таблиця 4.15 - Відношення – частка R / S

 

Декартовий добуток(або «Зєднання»). Нехай R і S - відношення арності k₁ і k₂ відповідно. Тоді декартовим добутком відношень R і S називається множина кортежів довжини (k₁ + k₂), перші k₁ компонентів яких утворюють кортежі, які належать R, а останні k₂ - кортежі, що належать S.

Декартів добутоквиконується над двома відношеннями R, S, що мають різний склад атрибутів (d₁, d₂... d_n) і (р₁, р₂... р_m) відповідно У результаті операції декартового добутку утворюється нове відношення RD = R´ S, яке містить усі атрибути вихідних відношень (d₁, d₂... d_n, р₁, р₂... р_m). Результат відношення складається з можливих групувань кортежів вихідних відношень R і S. Кількість кортежів декартового добутку дорівнює добутку кількості кортежів у вихідних відношеннях.

 

Наприклад (рис. 4.5А):

Результатом декартового добутку відношень СТУДЕНТИ (Табл. 4.8) та ГРАФІК ІСПИТІВ (Табл. 4.9)

 

Табл. 4.8 R. Студенти Табл. 4.9 S. Графік іспитів

Кортеж	Прізвище та ініціали	Група		Кортеж	Дисципліна	Дата
С11	Кумів О.Я.			С21	Бази даних	28.12.97
С12	Васькін Л.М.			С22	Економічна кібернетика	5.01.98
С13	Мойсак Т.В.

 

буде відношення ЕКЗАМЕНАЦІЙНА ВІДОМІСТЬ (Табл. 4.10).

 

Таблиця 4.10 RD = R´ S. ЕКЗАМЕНАЦІЙНА ВІДОМІСТЬ

Кортеж	Прізвище та ініціали	Група	Дисципліна	Дата
С11 (С21)	Кумів О. Я.		Бази даних	28.12.97
С12 (С21)	Васькін Л. .		Бази даних	28.12.97
С13 (С21)	Мосак Т. В.		Бази даних	28.12.97
С11 (С22)	Кумів О. Я.		Економічна кібернетика	5.01.98
С12 (С22)	Васькін Л.М.		Економічна кібернетика	5.01.98
С13 (С22)	Мосак Т. В.		Бухгалтерський облік	5.01.98

Проекція. Суть цієї операції полягає в тому, що береться відношення R, видаляються деякі з його компонентів і компоненти, що залишились -перевпорядковуються. Якщо в результаті проекції з'являються однакові кортежі, то вони з результуючого відношення вилучаються.

Операція проекції полягає в видаленні необхідних стовпців (доменів) з відношення. Нехай дано відношення СТУДЕНТ-УСПІШНІСТЬ (табл.4.3).

 

Таблиця 4.3 - СТУДЕНТ-УСПІШНІСТЬ

 

 

В результаті виконання операції проекції отримуємо нове відношення, яке представлено в табл. 4.4.

 

Таблиця 4.4 - Приклад операції "проекція"

 

Селекція. Нехай F - формула, яка може бути утворена такими засобами:

а) операндами, які є константами чи номерами компонентів;

б) арифметичними операторами порівняння <, =, >, ≤, ≠, ≥;

в) логічними операторами & (І), ІІ (АБО), ! (НІ).

В цьому випадку _f (R) є множина кортежів t, які належать R, таких, що при підстановці i-го компонента t замість будь-якого входження номера i в формулу F для всіх i вона стане істиною. Наприклад, _{2 > 3} (R) означає множину кортежів, що належать R, другий компонент яких більше третього компонента.

 

Таблиця 4.11 - Відношення

 

При реалізації селекції відношення, приведеного в табл.4.11, згідно з ознакою (вік > 20), отримуємо відношення (табл.4.12):

 

Таблиця 4.12 - Відношення, над яким виконано операцію селекції

 

Крім перерахованих операцій існують і інші, але їх можна отримати з п'яти основних.

Схематично операції реляційної алгебри представлені на рис.4.6.

 

Контрольні запитання.

1. Скільки основних операції використовується в реляційній алгебрі?

2. Чи може відношення мати два однакових кортежі після виконання операцій проекції чи об'єднання?

3. Які основні операції використовуються при знаходженні частки?

4. Як змінюється потужність відношень при виконанні операцій реляційної алгебри?

 

5.4. ПОНЯТТЯ КЛЮЧА. ОСНОВНІ ТИПИ КЛЮЧІВ

Якщо кожному стовпцю таблиці присвоїти ім'я, то розміщення стовпців буде несуттєвим. Список імен атрибутів одного відношення називається схемою заміщення. кожне відношення, як правило, має свою назву (ім'я). Якщо, наприклад, відношення

 

(ШИФР ГРУПИ, КІЛЬКІСТЬ СТУДЕНТІВ, ФАКУЛЬТЕТ, СТАРОСТА, КУРАТОР)

 

назвемо ГРУПА, то схема заміщення буде мати атрибути:

ШИФР ГРУПИ, КІЛЬКІСТЬ СТУДЕНТІВ, ФАКУЛЬТЕТ, СТАРОСТА, КУРАТОР.

Формально схема відношення описується таким чином:

 

ІМ'Я_ВІДНОШЕННЯ (A₁ , A₂ , A₃ , ..., A_K ),
де A₁ , A₂ , ..., A_K - імена атрибутів.

 

Стовпець чи ряд стовпців, значення яких однозначно ідентифікують кожний рядок таблиці, називають ключем. Так, в розглянутому прикладі можливими ключами можуть бути атрибути: ШИФР ГРУПИ, СТАРОСТА. А такі атрибути, як КІЛЬКІСТЬ СТУДЕНТІВ, ФАКУЛЬТЕТ, не можуть бути ключами, оскільки різні студентські групи можуть мати однакову кількість студентів і на одному факультеті вчиться декілька груп.

Якщо відношення має більше одного можливого ключа, тоді має сенс виділити один ключ, який називають первинним (ШИФР ГРУПИ). І навпаки, якщо відношення не має жодного атрибута, який би повністю визначив об'єкт (рядок, кортеж), тоді приходиться мати справу зі складеним ключем, який схематично відображають подвійною горизонтальною рискою.

Наприклад, в відношенні СТУДЕНТ-УСПІШНІСТЬ (табл.4.1) відсутній атрибут, який би однозначно ідентифікував кортеж, оскільки екзамени з одного навчального курсу (фізика) можуть здаватися в декількох семестрах.

 

Таблиця 4.1 - Відношення СТУДЕНТ-УСПІШІСТЬ зі складеним ключем

 

Позначимо атрибути відношення СТУДЕНТ-УСПІШНІСТЬ відповідно:

 

ПІБ СТУДЕНТА - F;

НАЗВА ДИСЦИПЛІНИ - N;

ДАТА ЗДАЧІ ЕКЗАМЕНУ - D;

ОЦІНКА - C;

ЗАЛІК - Z.

 

 

Тоді відношення СТУДЕНТ-УСПІШНІСТЬ, що містить атрибути F, N, D, C, Z, можна представити у вигляді схеми (рис.4.1).

 

 

СТУДЕНТ - УСПІШНІСТЬ

Рис. 4.1- Схематичне представлення відношення СТУДЕНТ-УСПІШНІСТЬ

 

Щоб виділити вказаним способом складений ключ відношення СТУДЕНТ-УСПІШНІСТЬ, потрібно представити домени відношення таким чином, щоб мінімальна кількість атрибутів, які однозначно визначають кортеж, були розміщені на початку схеми. Відношення СТУДЕНТ-УСПІШНІСТЬ прийме вигляд (рис.4.2):

 

СТУДЕНТ -УСПІШНІСТЬ

Рис. 4.2 - Складений ключ

 

Атрибути F і D визначають кожний рядок даної таблиці. Якщо припустити, що можлива здача двох і більше екзаменів одним студентом в один день, тоді атрибути F, D вже не будуть однозначно ідентифікувати кортеж, оскільки даним екземплярам атрибутів F, D може відповідати в таких випадках два і більше кортежі. При цих умовах складений ключ буде містити три атрибути, що схематично зображено на рис 4.3.

 

СТУДЕНТ -УСПІШНІСТЬ

Рис. 4.3 - Складений ключ, який включає три атрибути

 

Можливі випадки, коли складений ключ включає всі атрибути відношення.

Розрізняють наступні типи ключів: простий ключ, повністю складений ключ, напівскладений ключ.

Простим називається ключ, що складається з одного атрибута, причому атрибут повинен бути атомарним, а екземпляри даного атрибута - унікальні.

Атомарним є ключ, значення якого сприймається програмою (СКБД) як неподільний елемент даних, навіть якщо він створений з декількох об'єктів. Наприклад, атомарність атрибута ДАТА ЗДАЧІ ЕКЗАМЕНА в відношенні означає неможливість виділення з дати окремо числа, місяця та року.

Повністю складеним називається ключ, що містить декілька атрибутів, причому між цими атрибутами існує відображення (залежність) БАГАТО-ДО-БАГАТЬОХ. Атрибути, що складають такий ключ, не залежать один від одного. Приклад повністю складеного ключа в відношенні СТУДЕНТ-ВИКЛАДАЧ приведено в табл.4.2.

 

Таблиця 4.2 - Приклад відношення з повністю складеним ключем