Конспект лекцій з курсу ТЕОРІЯ ЙМОВІРНОСТЕЙ ТА ЕЛЕМЕНТИ

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ УКРАЇНИ

ХАРКІВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ БУДІВНИЦТВА ТА АРХІТЕКТУРИ

 

 

Конспект лекцій з курсу

ТЕОРІЯ ЙМОВІРНОСТЕЙ ТА ЕЛЕМЕНТИ

МАТЕМАТИЧНОЇ СТАТИСТИКИ “

Розділ “ТЕОРІЯ ЙМОВІРНОСТЕЙ”.

 

 

Харків ХДТУБА 1999

ЗМІСТ

 

Передмова.................................................................................................... 3

1. Основні поняття теорії ймовірностей..................................................... 4

1.1. Випадкові події та їх алгебра 4

1.1.1. Первісні поняття. Подія 4

1.1.2. Алгебра випадкових подій. 7

1.2. Аксіоми та властивості ймовірності 9

1.2.1. Частота та ймовірність випадкової події 9

1.2.2. Аксіоми ймовірності та її властивості. 10

1.2.3. Принцип практичної вірогідності 11

1.3. Теорема множення та її наслідки 12

1.3.1. Умовна ймовірність 12

1.3.2. Формула повної ймовірності 15

1.3.3. Теорема гіпотез (формули Бейєса) 18

1.4. Випробування із скінченною кількістю наслідків 20

1.4.1. Класичне означення ймовірності 20

1.4.2. Комбінаторні методи підрахунку кількості наслідків 21

1.5. Повторні випробування 26

1.5.1. Схема Я.Бернуллі. Узагальнення А.Маркова 26

1.5.2. Асимптотичні формули для схеми Бернуллі. 29

2. Випадкові величини.............................................................................. 32

2.1. Одновимірні випадкові величини 32

2.1.1. Випадкова величина та її функція розподілу 32

2.1.2. Дискретні випадкові величини 33

2.1.3. Неперервні випадкові величини 35

2.1.4. Перетворення розподілів 41

2.2. Випадкові вектори 43

2.2.1. Функція розподілу випадкового вектора 43

2.2.2. Дискретний випадковий вектор 44

2.2.3. Неперервний випадковий вектор 45

2.2.4. Найважливіші види двовимірних розподілів. 48

2.2.5. Закон розподілу суми випадкових величин 54

2.2.6. Ентропія і інформація 56

3. Числові характеристики випадкових величин..................................... 59

3.1. Математичне сподівання та його властивості 59

3.1.1. Стійкість середнього арифметичного 59

3.1.2. Математичне сподівання випадкової величини 59

3.1.3. Математичне сподівання функції випадкової величини 61

3.1.4. Математичне сподівання функції випадкового вектора 62

3.1.5. Кореляційний момент випадкових величин 64

3.2. Дисперсія випадкової величини 65

3.2.1. Дисперсія випадкової величини та її властивості 65

3.2.2. Дисперсія суми випадкових величин 69

3.2.3. Нерівність П.Чебишева 72

3.3. Кореляція 74

3.3.1. Коефіцієнт кореляції та кореляційна матриця 74

3.3.2. Регресія 77

3.4. Прикладні задачі 79

3.4.1. Теорія масового обслуговування. 79

3.4.2. Найпростіші задачі теорії надійності 85

Додатки...................................................................................................... 88

Таблиця 1. 88

Таблиця 2. 89

Таблиця 3. 90

Таблиця 4. 91

Таблиця 5. 92

Література................................................................................................. 94

Передмова

В основу конспекту покладено курс лекцій, який протягом ряду років читався Є.З.Могульським. Нашою метою було, опустивши формальні доведення,… У даному конспекті лекцій поруч з основними результатами, що традиційно… Конспект лекцій складається з двох книг. Перша книга – “Теорія ймовірностей”, друга книга – “Випадкові процеси.…

Основні поняття теорії ймовірностей

Випадкові події та їх алгебра

Первісні поняття. Подія

Приклад 1. Підкидається монета. Результатом випробування (спостереження) є випадання монети гербом або ціною вгору. Урахувати всі причини, що впливають на результат випробування з підкиданням… Позначимо через W множину наслідків випробування, що розглядається. Множина W та її різні підмножини використовуються…

Алгебра випадкових подій.

Подія А Ç B (A·B), яка полягає в тому, що наступають обидві події А та B, називається перерізом (добутком) цих подій (мал.1.4.а,б,г). Із визначення операцій È та Ç випливають такі співвідношення: … А ÈА=А, А Ç А=А, А ÈW=W, А ÇW=А, А Ç (B ÈС)=(А Ç B) È(А…

Аксіоми та властивості ймовірності

Частота та ймовірність випадкової події

Частотний підхід до визначення ймовірності полягає в слідуючому. Нехай А – подія, пов’язана з деяким випробуванням. Якщо при n-кратному повторенні… Теорія ймовірностей розроблює прийоми, які дозволяють в задачі, що… Можна побудувати всю теорію ймовірності на понятті частоти, але загально прийнятим нині є аксіоматичний підхід до…

Аксіоми ймовірності та її властивості.

1. P(A) ³ 0; 2. P(W) = 1; 3. P(A1 ÈA2) = P(A1) + P(A2), якщо A1 Ç A2 =Æ.

Принцип практичної вірогідності

Застосування результатів теорії ймовірності грунтується на такому принципі: якщо ймовірність настання події A достатньо близька до 1, то при одноразовому проведенні випробування слід знехтувати можливістю настання події`A. У цих умовах A та`A називають відповідно практично вірогідною та практично неможливою подіями.

Визначення тієї межі, починаючи з якої подію слід вважати практично неможливою, знаходиться за рамками теорії ймовірностей. Ясно, що чим більші збитки може принести нехтування можливості настання події, тим меншою повинна бути межа. Наприклад, межа 0.001 достатня для того, щоб вважати практично неможливим перегорання нової електричної лампочки, але абсолютно недопустима для того, щоб вважати практично неможливою аварію на АЕС. (Збитки, до яких може привести один із тисячі випадків незрівнянно вищі, ніж вигода, одержана у 999 випадках).

Теорема множення та її наслідки

Умовна ймовірність

Означення 1. Умовною ймовірністю P(АïB) події А за умови здійснення події B називається відношення . (1) Властивості умовної ймовірності аналогічні властивостям ймовірностей 1-3 пункту 1.2.2.

Формула повної ймовірності

Теорема. Нехай події Hk (k=1,...,n) складають повну систему. Тоді для будь-якої події A справедлива рівність P(A) = P(H1)·P(A/H1) + ... + P(Hn)·P(A/Hn). (5) Доведення. Оскільки W=H1ÈH2È...ÈHn, то подію A можна представити у вигляді суми попарно…

Випробування із скінченною кількістю наслідків

Класичне означення ймовірності

. Теорема. Якщо у випробуванні з рівно можливими елементарними подіями події A… . (1)

Комбінаторні методи підрахунку кількості наслідків

    Правило додавання. Нехай дві взаємозаперечні дії можуть бути виконані відповідно m1 та m2 способами. Тоді якусь одну… Правило множення. Нехай дві здійснювані одна за одною дії можуть бути виконані… Обидва правила узагальнюються на випадок будь-якої скінченої кількості дій.

Повторні випробування

Схема Я.Бернуллі. Узагальнення А.Маркова

Багато прикладних задач (наприклад, контроль якості) зводяться до слідуючої схеми.

Розглядається серія із n незалежних випробувань з двома можливими наслідками, в кожному з яких подія A може відбуватись з імовірністю p (випробування незалежні, якщо ймовірність будь-якого наслідку будь-якого випробування не залежить від того, які були наслідки інших випробувань). Нехай A_j (j=1,2,...,n) позначає подію, що означає наставання події A у j-му випробуванні. Тоді кожну з 2ⁿ елементарних подій серії можна зобразити у вигляді добутку n множників, кожен з яких дорівнює A_j або .

Теорема. Ймовірність p_n(k) того, що у серії з n випробовувань подія настає k раз, задається рівністю

. (1)

Доведення. Події, що нас цікавить, сприяють ті елементарні події, у яких події A_j спостерігаються k раз, а події`– (n – k) раз (наприклад, , і т.п.). В силу незалежності подій A_j ймовірність кожної такої елементарної події на підставі теореми множення ймовірностей дорівнює p^k(1– p)^n-k. Оскільки подібних елементарних подій буде , то з урахуванням їх несумісності і теореми додавання ймовірностей остаточно одержимо

.

Приклад 1. Точки та тире телеграфного коду спотворюються незалежно одне від іншого з ймовірністю 0.12. Знайти ймовірність події, яка полягає у тому, що в слові з п’яти символів буде спотворено: а) два символи; б) не більше одного символу.

Розв’язок. Задача зводиться до схеми Бернуллі при n=5 і p=0.12.

а) k=2 і на підставі формули (1) маємо

·0.12²·0.88³= 0.098;

б) k=0 або k=1 і тому ймовірність дорівнює

P₅(0)+ P₅(1)= 0.88⁵+ 5·0.12·0.88⁴=0.5377+ 0.3598= 0.888.

Приклад 2. На кожному з двох крил літака установлені по два двигуни, кожен з яких може вийти з ладу під час польоту незалежно один від одного з імовірністю p=0.1. Яка ймовірність того, що політ закінчиться нормально, якщо: а) літак може летіти на будь-яких двох двигунах; б) літак може летіти при умові, що на кожному крилі працює хоча б один двигун.

Розв’язок. Позначимо через A подію, яка полягає у тому, що політ закінчиться нормально.

а) Нехай D_k – подія, яка полягає у тому, що під час польоту вийдуть із ладу лише k (k= 0,1,2,3,4) двигуни. Тоді , де події D₃ і D₄ несумісні. Таким чином, . При обчисленні P(D₃) і P(D₄) скористаємося схемою Бернуллі при n=4 і p=0.1:

P(D₃)= p₄(3)= ·p³ ·(1– p)= 4·(0.1)³·0.9= 0.0036;

P(D₄)= p₄(4)= ·p⁴ ·(1– p)⁰=4·(0.1)⁴=0.0001.

Тому P(A)=1–P()=1– 0.0036– 0.0001=0.996.

б) Нехай П_k (Л_k) – подія, яка полягає у тому, що під час польоту на правому (лівому) крилі вийдуть із ладу лише k (k= 0,1,2) двигуни.

Тоді подію A можна представити у вигляді суми несумісних подій: A=П₁·Л₀+П₀·Л₁+П₁·Л₁+П₀·Л₀. При обчисленні P(П₀)=P(Л₀) і P(П₁)=P(Л₁) скористаємося схемою Бернуллі при n=2 і p=0.1:

P(П₀)=p₂(0)=·p⁰ ·(1– p)²=(0.9)²=0.81;

P(П₁)=p₂(1)=·p·(1– p)=2·0.1·0.9=0.18.

Таким чином, з урахуванням незалежності подій П_k і Л_j одержимо:

P(A)=P(П₁)·P(Л₀)+P(П₀)·P(Л₁)+P(П₁)·P(Л₁)+P(П₀)·P(Л₀)=

= 0.18·0.81+0.81·0.18+0.18·0.18+0.81·0.81= 0.98.

Важливим узагальненням схеми Бернуллі є схема однорідного ланцюга А.Маркова. У цьому випадку припускаємо, що ймовірність будь-якого наслідку у j-му випробуванню залежить лише від наслідку попереднього (j-1)-го випробування, але не залежить ні від j (номера випробування) ні від наслідків випробувань з номерами j–2, j–3,...,1. Введемо позначення:

, , , .

Якщо подіям A та поставити у відповідність стани E₁ та E₂ деякої системи, то граф переходу цієї системи з одного стану в інший матиме вигляд, показаний на малюнку 1.16. Вершинами графа є стани системи, а стрілка з числом p_ik, що йде з вершини E_i у вершину E_k, означає, що умовна ймовірність переходу із стану E_i у стан E_k дорівнює p_ik. У цьому випадку числа p_ik називаються ймовірностями переходу зі стану E_i у стан E_k, а матриця – матрицею перехідних ймовірностей. (У випадку послідовності незалежних випробувань матриця перехідних ймовірностей має вигляд ).

Позначимо через ймовірність переходу зі стану E_i у стан E_k за n випробувань, а через – матрицю переходу за n випробувань. Із формули повної ймовірності випливає співвідношення

.

Можна показати, що якщо всі елементи p_ik матриці перехідних ймовірностей P додатні, то при n → ∞ існують і не залежать від початкового стану E_i границі ймовірностей переходу :

.

Асимптотичні формули для схеми Бернуллі.

1) Формула Пуассона , (2) де , справедлива для великих n та малих p (нечасті події).

Випадкові величини

Одновимірні випадкові величини

Випадкова величина та її функція розподілу

У літературі для позначення випадкової величини найчастіше використовуються великі літери X, Y, Z латинського алфавіту, а для їх можливих значень –… Наведемо кілька прикладів випадкових величин: 1) кількість попадань у ціль при… Випадкова величина дає змогу разом з простором W розглянути інший більш простий простір W1, у якому елементарні події…

Дискретні випадкові величини

Набір ймовірностей pk називають розподілом випадкової величини X. Розподіл містить вичерпну інформацію про випадкову величину. Якщо у проміжок [c;… . (3) Із формули (3) виходять такі наслідки:

Неперервні випадкові величини

Випадкові величини, описані вище у прикладах 3), 4), 5) пункту 2.1.1, є неперервними. Означення 1. Невід’ємна функція pX(x) називається щільністю ймовірності… P{XÎ[x0; x0+Dx)} ~ pX (x0)·Dx (Dx®0). (6)

Перетворення розподілів

1) Випадкова величина X є дискретною. Тоді знаходять сукупність значень випадкової величини Y і ймовірності, з якими ці значення приймаються. У тому… Приклад 1. Випадкова величина X задана таблицею розподілу: Знайти таблицю розподілу випадкової величини Y=X2.

Випадкові вектори

Функція розподілу випадкового вектора

Наведемо приклади випадкових векторів: 1) точка попадання у плоску мішень характеризується випадковим вектором , де X та Y координати точки… У подальшому найчастіше мова йтиме про двовимірний випадковий вектор . Функцією розподілу двовимірного випадкового вектора називається задана у площині xOy функція така, що

Дискретний випадковий вектор

Ясно, що сума всіх ймовірностей pkj дорівнює одиниці. У таблиці розподілу випадкового вектора міститься вся інформація про нього.… Оскільки подія {X=xk} складається з суми попарно несумісних подій {X=xk,Y=y1}, {X=xk,Y=y2},..., {X=xk,Y=ym}, то щоб…

Неперервний випадковий вектор

. (3) Співвідношення (3) дозволяє довести, що ймовірність попадання вектора в… . (4)

Найважливіші види двовимірних розподілів.

S - площа області D. Якщо двовимірний вектор рівномірно розподілений у прямокутнику зі сторонами, паралельними осям координат, то…

Закон розподілу суми випадкових величин

. (12) Наслідки. 1) Якщо випадкові величини Xi незалежні і Xi ~N(ai;si2), то… 2) Якщо випадкові величини Xi незалежні і розподілені за показниковим законом з параметром l, то їх сума h=X1+...+Xn…

Ентропія і інформація

Означення 1. Інформацією, яка міститься в координаті Y по відношенню до координати X, називається число И(X,Y), яке визначається формулою Основні властивості інформації такі:

Числові характеристики випадкових величин

Математичне сподівання та його властивості

Стійкість середнього арифметичного

Нехай випадкова величина X приймає відповідно значення x1, x2,…, xm з ймовірностями p1, p2,..., pm. Проведемо серію з n випробувань, в кожному з… . Середнє арифметичне є випадковою величиною, оскільки воно залежить від конкретної серії випробувань і від n. Однак, із…

Математичне сподівання випадкової величини

(1) Математичне сподівання дає уяву про розташування значень випадкової… Розмірність математичного сподівання MX співпадає з розмірністю випадкової величини X.

Математичне сподівання функції випадкової величини

(2) Наслідок. Якщо k і l - є сталими, то M(kX+l)=k·MX+l. (3)

Математичне сподівання функції випадкового вектора

Теорема 1. Якщо відомий розподіл випадкового вектора , то математичне сподівання випадкової величини Z=g(X,Y) знаходиться за формулою (4) Зокрема, якщо випадкова величина g(X,Y) дорівнює X, Y, X+Y, X·Y приходимо до формул (формули записані лише для випадку…

Кореляційний момент випадкових величин

K(X,Y)=M. (10) Ця величина має розмірність, що дорівнює добутку розмірностей випадкових… K(X,Y)=M(X·Y)–MX·MY. (11)

Дисперсія випадкової величини

Дисперсія випадкової величини та її властивості

Означення 1. Дисперсією випадкової величини називається невід’ємне число DX=M()2. (1) Розмірність дисперсії дорівнює квадрату розмірності випадкової величини. Тому вводять також величину , що називається…

Дисперсія суми випадкових величин

D(X+Y)=DX+DY+2K(X,Y); (4) 2) Якщо випадкові величини X та Y незалежні (отже, некорельовані), то D(X+Y)=DX+DY. (5)

Нерівність П.Чебишева

. (6) Ця оцінка ймовірності не залежить від закону розподілу випадкової величини X.… Поклавши в (6) t=3, одержимо

Кореляція

Коефіцієнт кореляції та кореляційна матриця

    . (1) Коефіцієнт кореляції є безвимірною величиною. Абсолютна величина коефіцієнта… Наведемо типові діаграми зв’язку між величинами X та Y при різних значеннях rX,Y (мал.3.4).

Регресія

Означення 1. Умовним математичним сподіванням M(Y/X=x) випадкової величини Y при умові, що випадкова величина X=x, називається число, яке… (4) Аналогічно визначається умовне математичне сподівання M(X/Y=y).

Прикладні задачі

Теорія масового обслуговування.

Нехай у момент надходження чергового виклику всі обслуговуючі пристрої системи зайняті. В залежності від того, як організована схема обслуговування,… 1) системи зі втратами – виклик одержує відмову (не обслуговується, губиться)… 2) системи з очікуванням – виклик ставиться в чергу і очікує на обслуговування (станція швидкої медичної допомоги).…

Найпростіші задачі теорії надійності

Нехай випадкова величина T – час роботи системи (або окремого її вузла) до моменту втрати працездатності (до відмови). Важливою характеристикою… Приклад 1. Показати, що MT=, де P(t) – функція надійності (пункт 2.1.3,… Розв’язок. Нехай pT (t) – щільність ймовірності випадкової величини T. Тоді pT (t)=. Використавши формулу інтегрування…

Додатки

Таблиця 1.

.   x Ф(x) x Ф(x) x Ф(x) …  

Таблиця 2.

  Граничні значення te(n–1) при n®+¥ : t0.1(+¥)=1.6449, t0.05(+¥)=1.9600, t0.01(+¥)=2.5758.

Таблиця 3.

, де – щільність розподілу χ2 з k ступенями свободи.   k χk2(0.1) χk2(0.05) χk2(0.01) 2.71 …

Таблиця 4.

   

Таблиця 5.

де – щільність ймовірності розподілу Фішера з n і m ступенями свободи (n – кількість ступенів свободи для більшої дисперсії). ε=0.05 Кількість ступенів свободи для більшої дисперсії n m …

Література

1. Сборник задач по математике для ВТУЗов. Специальные курсы. Под редакцией А.В.Ефимова, Москва, «Наука». Гл.редакция физ-мат. лит-ры, 1984.

2. Теория вероятностей и математическая статистика. И.Н.Коваленко, А.А.Филиппова. М, Висшая школа, 1982.

3. Теория вероятностей и математическая статистика. И.И.Гихман, А.В.Скороход, М.И.Ядренко. Киев, Вища школа, 1988.

4. Введение в теорию вероятностей и математическую статистику, Е.З.Могульский. ХВВАУРЭ, Харьков, 1988.