Регресія - Конспект, раздел Философия, Конспект лекцій з курсу ТЕОРІЯ ЙМОВІРНОСТЕЙ ТА ЕЛЕМЕНТИ Якщо Ми Знаємо Розподіл Однієї Координати Випадкового Вектора При Умові, Що І...
Якщо ми знаємо розподіл однієї координати випадкового вектора при умові, що інша координата приймає певне значення, то можна ввести поняття умовного математичного сподівання.
Означення 1. Умовним математичним сподіванням M(Y/X=x) випадкової величини Y при умові, що випадкова величина X=x, називається число, яке знаходиться за формулою
(4)
Аналогічно визначається умовне математичне сподівання M(X/Y=y).
При зміні x, взагалі кажучи, змінюється умовне математичне сподівання M(Y/X=x), яке можна розглядати у цьому випадку як функцію x:
M(Y/X=x)=g(x).
Ця функція називається регресією Y на X (Y відносно X), а її графік y=g(x) – лінією регресії Y на X.
Аналогічно визначається регресія X на Y і лінія регресії X на Y:
M(X/Y=y)=h(y), x=h(y).
Випадкові величини X та Y називаються лінійно корельованими, якщо лінії регресії є прямими. Рівняння цих прямих такі:
(5)
Зміст регресії Y на X полягає у тому, що функція g(X) є найкращим наближенням до випадкової величини Y. Це означає, що для довільної функції v(X) виконується співвідношення:
M[Y–v(X)]2 ³ M[Y–g(X)]2.
Якщо лінія регресії Y на X (X на Y) не є прямою, можна використати першу (другу) із прямих регресії (5) в якості наближення до істинної лінії регресії. У цьому випадку ця пряма називається прямою наближеної регресії. У зв’язку з цим відзначимо, що функція (функція ) є найкращим наближенням до Y (до X) серед усіх лінійних функцій випадкової величини X (випадкової величини Y).
Зауважимо, що координати випадкового вектора, розподіленого за законом Гауса (формула (9) розділу 2.2), лінійно корельовані.
Кутові коефіцієнти bY/X і bX/Y прямих регресії (5) називаються відповідно коефіцієнтами регресії Y на X та X на Y. При цьому
(6)
Прямі регресії (5) проходять через точку з координатами (MX; MY). При |rX,Y |=1 прямі регресії співпадають, а при rX,Y=0 – паралельні осям координат.
У якості міри розсіювання випадкової величини Y відносно регресії g(X) (Y на X) розглядають кореляційне відношення
. (7)
Із (7) випливають такі властивості кореляційного відношення:
1) ;
2) =1 тоді і тільки тоді, коли між випадковими величинами X та Y є функціональна залежність Y=g(X);
3) =0 тоді і тільки тоді, коли g(X)=MY, тобто лінія регресії є горизонтальною прямою і, таким чином, випадкові величини X та Y є некорельованими.
Взагалі кажучи, .
Приклад 1. В умовах прикладу 1 пункту 2.2.3 знайти лінії регресії Y на X та X на Y.
Розв’язок. На підставі (4) (нижній рядок) одержимо:
Таким чином, лініями регресії є прямі y=(1+x)/2 (Y на X) і x=(2/3)·y (X на Y) (мал.3.5).
Приклад 2. Випадковий вектор має такі числові характеристики: MX=1, DX=4, MY=2, DY=9, rX,Y=0.8. У даному випробуванні випадкова величина мала значення X=1.3. Яке математичне сподівання випадкової величини Y ?
Розв’язок. Скористаємося рівнянням прямої наближеної регресії Y на X (5):
.
Підставляючи в це рівняння x=1.3, одержимо y=2.36. Таким чином, M(Y/X=1.3)»2.36.
Передмова
Конспект лекцій підготовано для студентів технічних ВУЗ’ів. При його створенні ставилася задача відібрати матеріал, який можна викласти за час, відведений учбовим планом на курс теорії ймовірності
Первісні поняття. Подія
Теорія ймовірностей вивчає математичну модель випробування (досліду, експерименту), наслідок якого неможливо передбачити. При цьому припускається, що таке випробування може бути повторено необмежен
Частота та ймовірність випадкової події
Ймовірність події A – це число, яке характеризує можливість (долю впевненості) появи цієї події в розглядуваному випробуванні (досліді, експерименті). Іноді ймовірність того чи іншого резуль
Аксіоми ймовірності та її властивості.
Означення 1. Ймовірністю називається числова функція P(A), визначена на множині всіх подій, пов’язаних з даним експериментом, яка задовольняє таким аксіомам:
1. P(A) ³ 0;
2.
Умовна ймовірність
Нехай АтаB є подіями, пов’язаними з деяким випробуванням і P(B)>0.
Означення 1. Умовною ймовірністю P(АïB) події А за умови здійснення події B називається відношення
Формула повної ймовірності
Часто для вивчення випробування, з яким пов’язана подія A, корисно ввести до розгляду події Hk, дл
Класичне означення ймовірності
Розглянемо випробування, простір якого складається з N точок (випробування із скінченою кількістю наслідків). Якщо ймовірності елементарних подій відомі, то ймовірність будь-якої події A у випробув
Комбінаторні методи підрахунку кількості наслідків
Для того, щоб знайти ймовірність події за формулою (1), потрібно знати і загальну кількість наслідків випробування і число наслідків, які сприяють настанню цієї події. Суттєву роль при підрахунках
Асимптотичні формули для схеми Бернуллі.
Формула (1) приводить до громіздких обчислень при великих значеннях n і k, а також при малих значеннях p або 1– p. Тому, доцільно мати наближені, але прості формули для розрахунку відповідних ймові
Випадкова величина та її функція розподілу
Означення 1. Одновимірною випадковою величиною називається величина, значення якої залежить від наслідку експерименту (інакше кажучи, випадковою величиною називається числова функція, яка визначена
Дискретні випадкові величини
Випадкова величина X називається дискретною, якщо: 1) сукупність її можливих значень можна перерахувати – x1, x2,..., xn (або x
Неперервні випадкові величини
Випадкова величина X називається неперервною, якщо: 1) множина її значень співпадає з проміжком (кількома проміжками) числової осі; 2) ймовірність того, що випадкова величина набуває будь-як
Перетворення розподілів
Нехай розподіл випадкової величини X є відомим. Потрібно знайти розподіл випадкової величини Y, яка пов’язана з функціональною залежністю Y=g(X) (Y приймає значення g(
Функція розподілу випадкового вектора
Якщо кожний наслідок випробування задається упорядкованою сукупністю n випадкових величин, то прийнято говорити про n-вимірний випадковий вектор. Виявляється, що для повного опису ви
Закон розподілу суми випадкових величин
Теорема. Нехай випадкові величини X та Y незалежні та мають щільності ймовірностей pX(x) і pY(y). Тоді щільність ймовірності випадков
Ентропія і інформація
Нехай – випадковий вектор.
Означення 1. Інформацією, яка міститься в координаті Y по відношен
Стійкість середнього арифметичного
Повну інформацію про випадкову величину дає її розподіл ймовірності. Проте часто експериментатор не володіє такою інформацією, та вона і не є необхідною. Досить охарактеризувати випадкову величину
Математичне сподівання випадкової величини
Означення 1. Математичним сподіванням випадкової величини X називається число MX, яке в залежності від типу випадкової величини визначається формулою
Кореляційний момент випадкових величин
Означення 1. Кореляційним моментом (кореляцією, коваріацією) K(X,Y) випадкових величин X та Y називається число
K(X,Y)=M
Дисперсія випадкової величини та її властивості
Після того, як математичне сподівання випадкової величини знайдено, виникає питання, наскільки сильно значення випадкової величини відхиляється від математичного сподівання. Характеристикою ступен
Дисперсія суми випадкових величин
Теорема. 1) Якщо випадкові величини X та Y корельовані (отже, залежні), то
D(X+Y)=DX+DY+2K(X,Y); (4)
2) Якщо випадкові вели
Нерівність П.Чебишева
Нерівність П.Чебишева встановлює верхню межу для ймовірності відхилення випадкової величини від її математичн
Теорія масового обслуговування.
Ця теорія є одним з найважливіших розділів прикладної теорії ймовірності. Теорія масового обслуговування вивчає функціонування систем, у які поступають виклики (вимоги) на обслуговування. Моменти н
Найпростіші задачі теорії надійності
Головне питання теорії надійності полягає в визначенні ймовірнісних характеристик працездатності системи, якщо відома її структура і ймовірносні характеристики працездатності окремих елементів.
(4)
(5)
(функція 
) є найкращим наближенням до Y (до X) серед усіх лінійних функцій випадкової величини X (випадкової величини Y).
(6)
. (7)
;
=1 тоді і тільки тоді, коли між випадковими величинами X та Y є функціональна залежність Y=g(X);
.
має такі числові характеристики: MX=1, DX=4, MY=2, DY=9, rX,Y=0.8. У даному випробуванні випадкова величина мала значення X=1.3. Яке математичне сподівання випадкової величини Y ?
.
Новости и инфо для студентов