рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Комбінаторні методи підрахунку кількості наслідків

Комбінаторні методи підрахунку кількості наслідків - Конспект, раздел Философия, Конспект лекцій з курсу ТЕОРІЯ ЙМОВІРНОСТЕЙ ТА ЕЛЕМЕНТИ Для Того, Щоб Знайти Ймовірність Події За Формулою (1), Потрібно Знати І Зага...

Для того, щоб знайти ймовірність події за формулою (1), потрібно знати і загальну кількість наслідків випробування і число наслідків, які сприяють настанню цієї події. Суттєву роль при підрахунках кількості наслідків грають комбінаторні методи, основою яких є наступні два правила.

 
 

Правило додавання. Нехай дві взаємозаперечні дії можуть бути виконані відповідно m1 та m2 способами. Тоді якусь одну з цих дій можна виконати m1+m2 способами.

Правило множення. Нехай дві здійснювані одна за одною дії можуть бути виконані відповідно m1 та m2 способами. Тоді обидві вони можуть бути виконані m1·m2 способами (мал.1.13).

Обидва правила узагальнюються на випадок будь-якої скінченої кількості дій.

Приклад 1. Для складання номера підрозділу використовуються цифри 1, 2, 3, 4. Скільки підрозділів можна пронумерувати, якщо один номер повинен складатися не більше, ніж з трьох цифр?

Розв’язок. а) Цифри у номері не повторюються. Для складання тризначного номера потрібно виконати послідовно одну за іншою три дії – вибір першої, другої та третьої цифр. Ці вибори можна здійснити відповідно 4, 3 та 2 способами. Отже, на підставі правила множення, тризначних номерів буде N3=4·3·2=24. Аналогічним чином знаходимо кількість двозначних N2=4·3=12 та однозначних номерів N1=4. Тепер за правилом додавання знаходимо загальну кількість підрозділів, які можна занумерувати N= =N1+N2+N3=40.

б) Цифри у номері можуть повторюватись. Вибір будь-якої цифри можна здійснити 4 способами. Тому N=N1+N2+N3=4· 4· 4+4· 4+4=84.

Нехай задана множина із n різних елементів.

Сукупність k (k £ n) із цих елементів, розташованих у певному порядку (упорядкована підмножина), називається розміщенням із n елементів по k. Різні розміщення відрізняються одне від іншого порядком чи складом елементів. Наприклад, у множини {a,b,c} із трьох елементів розміщеннями по два елементи є упорядковані підмножини (a,b), (b,a), (a,c), (c,a), (b,c), (c,b). Кількість таких розміщень позначають . Застосовуючи правило множення, одержимо = n·(n–1)·(n–2)·...·(n– k+1).

Розміщення із n елементів по n називаються перестановками. Різні перестановки відрізняються одна від іншої лише порядком елементів. Наприклад, перестановками у множини {a,b,c} із трьох елементів будуть упорядковані підмножини (a,b,c), (a,c,b), (b,a,c), (b,c,a), (c,a,b), (c,b,a). Кількість перестановок дорівнює = n·(n–1)·...·2·1.

Добуток цілих чисел від 1 до n прийнято позначати n! (n–факторіал). Тоді =n!, =n!/(n– k)! (за означенням 0!=1).

Набір k (k £ n) із заданих n елементів називається сполученням (комбінацією) із n елементів по k. Різні комбінації відрізняються одна від іншої хоча б одним елементом. Наприклад, у множини {a,b,c} із трьох елементів сполученнями по два елементи є підмножини {a,b}, {a,c}, {b,c}. Кількість таких комбінацій позначають . Оскільки =·k!, то = n!/(n–k)!·k!. Справедливі такі співвідношення:

.

Приклад 2. Скільки є чотиризначних чисел (числа можуть починатись з нуля), у яких: а) дві цифри однакові; б) три цифри однакові; в) дві цифри повторюються двічі; г) хоча б дві цифри збігаються?

Розв’язок. а) Вибір цифр, які збігаються, (перша дія) можна виконати 10 способами, а їх розташування у числі (друга дія) – способами. Одержимо "числа" у вигляді ·11·, де кружок "·" позначає місця цифр, що не збігаються. Вибір цифри замість правого кружка (третя дія) можна виконати 9 способами, а замість лівого (четверта дія) – 8 способами. На підставі правила множення робимо висновок, що поставленій умові задовольняють 10··9·8=4320 чисел. Другий спосіб розв’язку: набір із трьох цифр (перша дія) виконується способами; вибір цифри, що збігається, (друга дія) виконується 3 способами; розміщення одержаних 4 цифр (наприклад, 1,5,1,8) на чотирьох місцях виконується 4!/2! способами (третя дія), всього маємо ·3·4!/2!=4320 варіантів.

б) Вибір трьох цифр, які збігаються, виконується 10 способами, а їх розташування способами. Вибір цифри, яка не збігається, виконується 9 способами. Всього одержуємо 10··9=360 варіантів. (Другий спосіб: ·2·4!/3!=360).

в) Вибір пари цифр відбувається способами; розстановка на чотирьох місцях двох пар цифр, що збігаються, може бути виконана 4!/2!·2! способами; одержуємо ·6=270 варіантів.

г) Маємо 10 чисел, в яких усі 4 цифри збігаються. Поставленій умові з урахуванням результатів пунктів а), б), в) задовольняє 4320+360+270+10=4960 чисел.

Приклад 3. Колода із 52 карт ретельно перетасована. Кожен із гравців одержує по п’ять карт. Знайти ймовірність того, що гравцеві будуть здані: а) карти одної масті і послідовних достоїнств (наприклад, сімка, вісімка, дев’ятка, десятка і валет черв), така комбінація називається флеш ройалем; б) чотири карти одного достоїнства (наприклад, чотири дами) і будь-яка інша карта, така комбінація називається покером.

Розв’язок. Оскільки порядок одержання гравцем карт не грає ролі, то кількість N різних варіантів роздачі йому карт дорівнює . а) У кожній масті є 9 можливих варіантів вибору, а оскільки мастей 4, то по принципу множення кількість M сприятливих результатів роздачі дорівнює 9·4=36. Таким чином, ймовірність одержання гравцем флеш ройаля дорівнює =.

б) Чотири карти одного достоїнства можна вибрати 13 способами, а п’яту – 48 способами. Тому кількість M сприятливих результатів роздачі дорівнює 13·48 і, таким чином, ймовірність одержання гравцем покеру дорівнює =.

Приклад 4. З n деталей, серед яких m мають дефект, беремо k деталей. Знайти ймовірність того, що серед них буде l дефектних деталей (мал.1.14).

Розв’язок. Нехай подія A означає, що взято l дефектних деталей. Оскільки порядок вибору деталей не має значення, то число способів N взяти k деталей із n дорівнює . Кількість способів M, якими можна взяти заданий набір деталей, дорівнює на підставі правила множення добутку кількості способів взяти l деталей із m () на кількість способів взяти k-l стандартних деталей із n-m ():

.

Таким чином, на підставі формули (1) одержуємо

. (2)

Приклад 5. Електронний пристрій складається із двох блоків, в кожному з яких по 5 однакових мікросхем. Пристрій функціонує, якщо в кожному з блоків працюють не менше двох мікросхем. Яка ймовірність того, що при відмові чотирьох мікросхем пристрій буде функціонувати.

Розв’язок. Нехай подія A означає функціонування пристрою при вказаних умовах. Скористаємося тим же методом, що і при розв’язку попереднього прикладу: n=10 (загальна кількість мікросхем), m=4 (кількість бракованих мікросхем), k=5 (кількість мікросхем, які використані в першому блоці), l =1, або 2, або 3 (кількість бракованих мікросхем серед використаних у першому блоці) (мал.1.15). Загальна кількість способів сформувати блоки , а кількість способів, сприятливих функціонуванню прикладу (ми скористались правилом додавання). Таким чином,

.

Другий спосіб розв’язку. Кількість варіантів, при яких перший блок виходить із ладу, дорівнює . Отже, кількість варіантів, при яких прилад не буде функціонувати, дорівнює 12. Тому

і, таким чином, .

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Конспект лекцій з курсу ТЕОРІЯ ЙМОВІРНОСТЕЙ ТА ЕЛЕМЕНТИ

ХАРКІВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ БУДІВНИЦТВА ТА АРХІТЕКТУРИ... Конспект лекцій з курсу...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Комбінаторні методи підрахунку кількості наслідків

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Передмова
Конспект лекцій підготовано для студентів технічних ВУЗ’ів. При його створенні ставилася задача відібрати матеріал, який можна викласти за час, відведений учбовим планом на курс теорії ймовірності

Первісні поняття. Подія
Теорія ймовірностей вивчає математичну модель випробування (досліду, експерименту), наслідок якого неможливо передбачити. При цьому припускається, що таке випробування може бути повторено необмежен

Алгебра випадкових подій.
    Подія А &Egr

Частота та ймовірність випадкової події
Ймовірність події A – це число, яке характеризує можливість (долю впевненості) появи цієї події в розглядуваному випробуванні (досліді, експерименті). Іноді ймовірність того чи іншого резуль

Аксіоми ймовірності та її властивості.
Означення 1. Ймовірністю називається числова функція P(A), визначена на множині всіх подій, пов’язаних з даним експериментом, яка задовольняє таким аксіомам: 1. P(A) ³ 0; 2.

Умовна ймовірність
Нехай АтаB є подіями, пов’язаними з деяким випробуванням і P(B)>0. Означення 1. Умовною ймовірністю P(АïB) події А за умови здійснення події B називається відношення

Формула повної ймовірності
Часто для вивчення випробування, з яким пов’язана подія A, корисно ввести до розгляду події Hk, дл

Класичне означення ймовірності
Розглянемо випробування, простір якого складається з N точок (випробування із скінченою кількістю наслідків). Якщо ймовірності елементарних подій відомі, то ймовірність будь-якої події A у випробув

Асимптотичні формули для схеми Бернуллі.
Формула (1) приводить до громіздких обчислень при великих значеннях n і k, а також при малих значеннях p або 1– p. Тому, доцільно мати наближені, але прості формули для розрахунку відповідних ймові

Випадкова величина та її функція розподілу
Означення 1. Одновимірною випадковою величиною називається величина, значення якої залежить від наслідку експерименту (інакше кажучи, випадковою величиною називається числова функція, яка визначена

Дискретні випадкові величини
Випадкова величина X називається дискретною, якщо: 1) сукупність її можливих значень можна перерахувати – x1, x2,..., xn (або x

Неперервні випадкові величини
Випадкова величина X називається неперервною, якщо: 1) множина її значень співпадає з проміжком (кількома проміжками) числової осі; 2) ймовірність того, що випадкова величина набуває будь-як

Перетворення розподілів
Нехай розподіл випадкової величини X є відомим. Потрібно знайти розподіл випадкової величини Y, яка пов’язана з функціональною залежністю Y=g(X) (Y приймає значення g(

Функція розподілу випадкового вектора
Якщо кожний наслідок випробування задається упорядкованою сукупні­стю n випадкових величин, то прийнято говорити про n-вимірний випадковий вектор. Виявляється, що для повного опису ви

Дискретний випадковий вектор
Y X y1 y2 ... ym x1

Неперервний випадковий вектор
Випадковий вектор називається неперервним, якщо його координати X та Y є неперервними випадкови

Найважливіші види двовимірних розподілів.
1) Рівномірний розподіл. Випадковий вектор називається рівномірно розподіленим у області D, якщо

Закон розподілу суми випадкових величин
Теорема. Нехай випадкові величини X та Y незалежні та мають щільності ймовірностей pX(x) і pY(y). Тоді щільність ймовірності випадков

Ентропія і інформація
Нехай – випадковий вектор. Означення 1. Інформацією, яка міститься в координаті Y по відношен

Стійкість середнього арифметичного
Повну інформацію про випадкову величину дає її розподіл ймовірності. Проте часто експериментатор не володіє такою інформацією, та вона і не є необхідною. Досить охарактеризувати випадкову величину

Математичне сподівання випадкової величини
Означення 1. Математичним сподіванням випадкової величини X називається число MX, яке в залежності від типу випадкової величини визначається формулою

Математичне сподівання функції випадкової величини
Теорема 1. Якщо розподіл випадкової величини X є відомим, то математичне сподівання випадкової величини Y=g(X) дорівнює

Математичне сподівання функції випадкового вектора
Сформулюємо результат, в якому формули (1) та (2) містяться як окремі випадки. Теорема 1. Якщо відомий розподіл випадкового вектора

Кореляційний момент випадкових величин
Означення 1. Кореляційним моментом (кореляцією, коваріацією) K(X,Y) випадкових величин X та Y називається число K(X,Y)=M

Дисперсія випадкової величини та її властивості
Після того, як математичне сподівання випадкової величини знайдено, виникає питання, наскільки сильно значення випадкової величини від­хиляється від математичного сподівання. Характеристикою ступен

Дисперсія суми випадкових величин
Теорема. 1) Якщо випадкові величини X та Y корельовані (отже, залежні), то D(X+Y)=DX+DY+2K(X,Y); (4) 2) Якщо випадкові вели

Нерівність П.Чебишева
Нерівність П.Чебишева встановлює верхню межу для ймовірності відхилення випадкової величини від її математичн

Коефіцієнт кореляції та кореляційна матриця
Означення 1. Коефіцієнтом кореляції rX,Y випадкових величин X та Y називається число  

Регресія
Якщо ми знаємо розподіл однієї координати випадкового вектора при умові, що інша координата приймає певне значення, то можна ввести поняття умовного математичного сподівання. Означення 1.

Теорія масового обслуговування.
Ця теорія є одним з найважливіших розділів прикладної теорії ймовірності. Теорія масового обслуговування вивчає функціонування систем, у які поступають виклики (вимоги) на обслуговування. Моменти н

Найпростіші задачі теорії надійності
Головне питання теорії надійності полягає в визначенні ймовірнісних характеристик працездатності системи, якщо відома її структура і ймовірносні характеристики працездатності окремих елементів.

Таблиця 1.
Значення функції .   x Ф(x

Таблиця 2.
Значення te(n-1), які задовольняють рівнянню

Таблиця 3.
Значення χk2(ε), які задовольняють рівнянню

Таблиця 4.
  n ε=0.1 ε=0.05 ε=0.01 z0.1(1)(n)

Таблиця 5.
Значення Fn,m(ε), які задовольняють рівнянню , де

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги