РОЗРАХУНОК НАДІЙНОСТІ ПОСЛІДОВНО-ПАРАЛЕЛЬНИХ

СТРУКТУР (ЧАСТИНА 2)

1. Логіко-імовірносний метод.

Метод використовується для аналіза надійності невідновлюваних систем. Для використання даного метода необхідно скласти математичну модель системи в термінах алгебри логіки.

В математичній логіці під висловлюванням розуміють будь-яке припущення, що може вважатися істинним або помилковим. Висловлюванню відповідає двоїчна змінна А, яка набуває наступних значень:

(8.1)

Такі двоїчні змінні називають аргументами.

Функціями алгебри логіки (двоїчними функціями) називають функції, що приймають лише два значення (1 або 0) та визначаються різними наборами двоїчних аргументів.

В алгебрі логіки розглядаються три основні логічні операції:

1) кон'юнкція (логічне «AND», «І», логічне множення) – змінна на виході схеми «AND» приймає значення «0», якщо хоча б один з входів дорівнює «0»; можливі варіанти запису:

; ; ; ; (8.2)

2) диз'юнкція(логічне «OR», «АБО», логічне додавання) - змінна на виході схеми «OR» приймає значення «0», якщо всі входи дорівнюють «0»; можливі варіанти запису:

; ; (8.3)

3) інверсія (логічне «NOT», «НІ») - змінна на виході схеми «NOT» приймає протилежне по відношенню до входу значення; варіант запису:

. (8.4)

Основні закони алгебри логіки:

1) розподільні (дистрибутивні) закони:

- для кон′юнкції відносно диз′юнкції:

; (8.5)

- для диз′юнкції відносно кон′юнкції:

; (8.6)

2) закони тотожності:

; ; (8.7)

3) закони поглинання:

; ; (8.8)

4) закони розподілення інверсії:

; . (8.9)

В теорії надійності логічні (двоїчні) змінні позначають . З їх допомогою визначають стан елемента:

(8.10)

Якщо прийняти, що стан системи повністю визначається станом її елементів, то можна ввести функцію стану системи вцілому (функцію працездатності системи):

(8.11)

Від логічної функції працездатності переходять до імовірнісної функції типу:

, (8.12)

де - імовірність безвідмовної роботи системи; - імовірність таких станів системи, за яких функція стану системи дорівнює одиниці, тобто система працездатна.

Розглянемо випадок послідовного з′єднання елементів. Функція працездатності системи описується елементарною кон′юнкцією ранга n:

, (8.13)

яка визначає відмову системи () при відмові будь-якого елемента (). В цьому випадку імовірність безвідмовної роботи системи становить:

. (8.14)

Якщо події , …, =1 незалежні у сукупності, то, застосувавши правило множення імовірностей, отримаємо для випадка послідовного з′єднання елементів:

, (8.15)

де - імовірність безвідмовної роботи і-го елемента.

При паралельному з′єднанні елементів функція працездатності описується елементарною диз′юнкцією ранга n:

. (8.16)

У випадку паралельного з′єднання двох елементів:

. (8.17)

В загальному випадку імовірність безвідмовної роботи системи з n-паралельно з′єднаних елементів становить:

. (8.18)

Для випадку двох елементів маємо:

. (8.19)

Якщо має місце інверсія:

; . (8.20)

Порядок розрахунку надійності системи логіко-імовірносним методом:

1. Скласти логічну функцію працездатності системи.

2. Отриману функцію привести до безповторної форми.

3. Замінили логічні операції над булевими змінними, що визначають працездатний стан елементів, арифметичними операціями над імовірностями відмов цих елементів.

4. Обрахувати імовірність безвідмовної роботи системи.

Переваги логіко-імовірнісного метода: можливість використовувати для системи довільної структури; розрахунки можна проводити при будь-яких розподіленнях напрацювання до відмови. Недоліки: не завжди є можливим скласти логічну функцію працездатності, яка з достатньою точністю відповідає системі, що розглядається; для складних структур перетворення логічної функції може бути громіздким.

2. Метод дерева відмов.

Створення математичної моделі розпочинають з виділення одного чи декількох найбільш небезпечних непрацездатних станів системи. Перехід до кожного з цих станів, тобто небезпечна відмова системи, вважається головною подією, яка виникає в результаті появи визначених сполук первинних подій – відмов окремих елементів, невірних дій персоналу та ін. Умови, за яких виникає головна подія (небезпечна відмова системи), зводять до логічної схеми, яку зображують у вигляді дерева відмов.

Для побудови дерева відмов використовують символи, що перелічені в табл. 8.1.

Таблиця 8.1

Умовні позначення в деревах відмов

Блок	Пояснення
	- результуюча подія або стан, що настає в результаті визначеної комбінації відмов елементів; результуючий стан може бути завершуючим або проміжним;
	- схема «АБО», подія на виході відбувається, якщо відбулася хоча б одна подія на вході;
	- схема «І», подія на вході відбувається, якщо настали всі події на вході;
	- первинна відмова – відмова елемента.