РОЗРАХУНОК НАДІЙНОСТІ СИСТЕМ, ЩО ДОПУСКАЮТЬ ВІДНОВЛЕННЯ. ЗАГАЛЬНІ ВІДОМОСТІ ЩОДО РЕЗЕРВУВАННЯ
1. Система без резервування та без профілактики, що допускає відновлення. Така система може знаходитися у двох станах (рис. 9.1): 
- працездатний; 
- непрацездатний. Позначимо: 
- інтенсивність відмов; 
- інтенсивність відновлення; 
- імовірність працездатного стану (імовірність знаходження системи в працездатному стані ); 
- імовірність непрацездатного стану (імовірність знаходження системи в стані 
).
Складемо систему диференційних рівнянь відносно імовірностей переходів, яка описує граф станів системи. Для цього скористаємося правилом Колмогорова, яке формулюється наступним чином.
Правило Колмогорова. Система містить стільки диференційних рівнянь, скільки станів містить граф. Ліва частина всіх рівнянь містить похідну від імовірності і-го стану. Права частина рівнянь містить стільки доданків, скільки стрілок зв′язано з даним станом. Якщо стрілка спрямована в даний стан, то перед відповідним доданком ставиться знак «плюс». Якщо стрілка виходить із даного стану, то перед доданком ставиться знак «мінус». Кожний доданок правої частини являє собою добуток інтенсивності перехода з одного стану в інший та імовірності того стану, з якого виходить стрілка.
Складена з використанням цього правила система диференційних рівнянь має вигляд:
(9.1)
Нехай в початковий момент часу система є працездатною, тобто початкові умови наступні: 
=1; 
=0.
Рішення системи диференційних рівнянь має вигляд:
(9.2)
Імовірність працездатного стану не тотожна імовірності безвідмовної роботи 
. Остання визначається за відсутності відновлення (при =0), тобто при відсутності перехода системи з стану у стан (рис. 9.2). За такої умови система диференційних рівнянь має вигляд:
(9.3)
З першого рівняння системи маємо:
. (9.4)
 |
Для визначення імовірності
того, що система буде відновлена за час 
, приймемо 
. Відповідний граф станів зображено на рис. 9.3. система диференційних рівнянь має вигляд:
(9.5)
Розв’язуючи дану систему за нульових початкових умов (=0, =0), маємо:
. (9.6)
2. Система без резервування та за наявності профілактики, що допускає відновлення.
Така система може знаходитися у трьох станах (рис. 9.4): - працездатний; - непрацездатний; 
- профілактичне обслуговування або плановий простій. Система диференційних рівнянь для імовірностей станів має вигляд:
(9.7)
Якщо прийняти припущення про працездатний стан системи в початковий момент часу, то початкові умови формулюються наступним чином: =1; =0; 
=0. Розв’язуючи систему диференційних рівнянь (9.7) при заданих початкових умовах, можна відшукати імовірність знаходження системи в кожному зі станів, що розглядається (, , ).
Для визначення імовірності безвідмовної роботи необхідно, щоб у системи були відсутні відновлення та профілактика, тобто необхідно прийняти =0, 
=0, 
=0 (рис. 9.2). Система диференційних рівнянь та вираз для імовірності безвідмовної роботи в такому випадку аналогічні попередньому випадку (9.3), (9.4). Імовірність відновлення системи за час знаходиться також аналогічно попередньому випадку (9.6).
3. Система без резервування та за наявності профілактики, що допускає відновлення та складається з послідовно з′єднаних елементів.
 |
Граф станів такої системи наведено на рис. 9.5. При цьому прийняті наступні позначення:
- працездатний стан системи; 
- аварійний простій та відновлення і-го елемента системи, 
; 
- профілактичне обслуговування та плановий простій 
-го елемента системи, 
. Оскільки є можливим суміщення ремонтів у часі, то 
.
Складемо диференційні рівняння для такої системи з використанням правила Колмогорова:
(9.8)
Розв′язуючи дану систему для стаціонарного режима при 
=0, 
=0, 
=0, 
=1, маємо:
(9.9)
Імовірність безвідмовної роботи визначається згідно залежності:
. (9.10)
Загальні відомості щодо резервування.
Резервування- це спосіб забезпечення надійності об'єкту за рахунок використання додаткових засобів і (чи) можливостей, надлишкових по відношенню до мінімально необхідних для виконання заданих функцій.
Резерв - сукупність додаткових засобів і (чи) можливостей, що використовуються для резервування.
В якості резерва можуть використовуватися:
- додаткові елементи (структурне резервування);
- запас часу на виконання об'єктом певного завдання (резервування за часом);
- надлишок інформації (інформаційне резервування);
- додаткові функціональні можливості (функціональне резервування);
- здатність елементів сприймати додаткові навантаження понад номінальних або здатність об'єкту перерозподіляти навантаження між елементами (резервування за навантаженням).
При структурному резервуванні розрізняють три види елементів :
- основний елемент - елемент об'єкту, необхідний для виконання заданих функцій без використання резерву;
- резервний елемент - елемент, призначений для виконання функцій основного елементу в разі відмови останнього;
- резервований елемент - основний елемент, на випадок відмови якого в об'єкті передбачено один або декілька резервних елементів.
Розрізняють два методи резервування - активне і пасивне.
При активному резервуванні у разі появи відмови об'єкт структурно перебудовується, відновлюючи власну працездатність, тобто активно реагує на появу відмови. Випадком активного резервування є резервування заміщенням, при якому функції основного елемента передаються резервному тільки після відмови основного елемента. В об'єктах з активним резервуванням велике значення мають навантаження резерву до появи відмови. При цьому розрізняють:
1) навантажений резерв - резервні елементи знаходяться в тому ж режимі, що і основний елемент;
2) полегшений резерв - резервні елементи знаходяться в менш навантаженому режимі, ніж основний;
3) ненавантажений резерв - резервні елементи практично не несуть навантажень до початку виконання ними функцій основного елементу.
При пасивному резервуванні об'єкту відмова одного або навіть декількох елементів не впливає на його роботу. Елементи сполучені постійно, перестроювання структури не відбувається. При відмові хоч би одного з елементів системи з пасивним резервуванням може змінюватися навантаження елементів, що залишилися працездатними. Тому в об'єктах з пасивним резервуванням велике значення мають умови роботи елементів після виникнення відмови. За цією ознакою розрізняю три види об'єктів з пасивним резервуванням:
1) системи з незмінним навантаженням - при відмові одного або декількох елементів не змінюється навантаження на елементи, що залишилися працездатними;
2) системи з перерозподілом навантаження - при відмові хоч би одного елементу змінюється (зазвичай, збільшується) навантаження на працездатні елементи;
3) системи з резервуванням навантаження, в яких при відмові хоч би одного елементу система виходить з ладу, але інтенсивність відмов елементів зменшена за рахунок того, що навантаження, яке мав би сприймати один елемент, сприймаються декількома елементами.
В об'єктах з активним резервуванням відбувається порушення роботи об'єкту на якийсь час з моменту відмови робочого елементу (ділянки) до моменту включення резервного. Там, де така перерва в роботі недопустима принципово, метод пасивного резервування є єдино можливим.
Обидва методи резервування можуть бути здійснені шляхом застосування різних схем резерву. Прийнято розрізняти наступні види схем резервування.
Загальне резервування полягає в резервуванні об′єкта в цілому. Завдяки простоті цей спосіб є найбільш відомим.
Автономне резервування є одним з варіантів загального. Воно полягає в застосуванні декількох незалежних об'єктів, що виконують одне і те ж завдання. Кожен з цих об'єктів має свій вхід і вихід та зазвичай незалежні джерела живлення. Якщо всі інші способи резервування можуть застосовуватися як при активному, так і при пасивному методі, то автономне резервування завжди є пасивним.
Роздільне резервування полягає в резервуванні об'єкту по окремих елементах або їх групах. Об'єкт з активним загальним резервуванням можна вважати випадком об'єкту з роздільним резервуванням при одній ділянці резервування.
Одиничне резервування полягає в заміні елементів об'єкту елементарними резервованими схемами (зазвичай пасивними). При одиничному резервуванні не треба складати спеціальних схем, а можна просто ставити на місце кожного елемента у функціональній схемі об'єкту його аналог - типовий резервований елемент.
Внутрішньо-елементне резервування полягає в резервуванні внутрішніх зв'язків елементу. Якщо при одиничному резервуванні використовуються схеми з існуючих елементів, то застосування внутрішньо-елементного резервування пов'язане із зміною конструкції елемента.
Ковзаюче резервування застосовується в об'єктах з однакових елементів. Воно полягає в тому, що використовується невелике число резервних елементів, які можуть підключатися замість будь-якого з елементів основної системи, що відмовив.
При резервуванні з вибірковою схемою порівнюються сигнали на виході непарного числа пристроїв, що працюють паралельно, і в зовнішнє коло видається сигнал, наявний на виході більшості пристроїв. Вибіркові схеми застосовуються в тих випадках, коли важко встановити, відмовили або ні окремі пристрої.
Резервовані об'єкти доцільно розрізняти також за принципами обслуговування:
- об'єкти, що не обслуговуються - працездатність основних і резервних елементів не контролюється, об'єкт використовується до момента його відмови через вихід з ладу всіх резервних елементів;
- об'єкти з періодичним обслуговуванням - контроль і відновлення працездатності проводяться періодично; протягом часу (циклу) роботи об'єкту не можна проводити заходи щодо технічного обслуговування;
- відновлювані об'єкти - в процесі роботи об'єкту можна відновлювати елементи, що відмовили.
Загальна класифікація резервованих технічних пристроїв:
1) за реакцією на виникнення відмови:
1.1) активне резервування;
1.2) пасивне резервування;
2) за навантаженнями на резервні елементи:
2.1) до виникнення відмови (при активному резервуванні):
- навантажений резерв;
- полегшений резерв;
- ненавантажений резерв;
2.2) після виникнення відмови (при пасивному резервуванні):
- навантаження колишні;
- перерозподілення навантажень;
- резервування за навантаженням;
3) за принципом обслуговування:
3.1) без профілактики;
3.2) з періодичною профілактикою;
3.3) системи з відновленням;
4) за видом схеми резервування:
4.1) загальне резервування;
4.2) роздільне резервування;
4.3) автономне резервування;
4.4) одиничне резервування;
4.5) внутрішньо-елементне;
4.6) ковзаюче;
4.7) резервування з вибірковими схемами.