Загальні відомості щодо методів статистичних рішень для одного діагностичного параметра

Нехай проводиться диференційна діагностика стану об’єкта за параметром х та вирішальне правило полягає в наступному:

(13.10)

де - справний стан об’єкта; - наявність дефекта об’єкта.

Задача полягає у виборі такого граничного значення , щоб вирішальне правило (13.10) давало найменшу кількість помилкових рішень.

Помилковою тривогою називається випадок прийняття рішення про наявність дефекта, хоча насправді система (об’єкт) знаходиться в справному стані (замість діагноза приймається діагноз ).

Пропуск дефекта – прийняття рішення про справний стан системи (об’єкта), в той час, коли дефект наявний (замість приймається діагноз ).

Позначимо - можливі рішення згідно сформульованого правила (=1,2), причому - індекс прийнятого діагноза, - індекс дійсного стану. Тоді: - пропуск дефекта; - помилкова тривога; - справний стан об’єкта; - наявність дефекта.

Функції розподілення щільностей імовірностей випадкової величини х (діагностичного параметра об’єкта) для справного та дефектного об’єкта не співпадають, а перетинаються у визначеній зоні значень х, тому принципово неможливо обрати таке значення , за якого вирішальне правило не давало б помилкових рішень (рис.13.1).

Задача полягає в тому, щоб вибір був в деякому смислі оптимальним, тобто давав найменшу кількість помилкових рішень.

Розглянемо імовірність помилкової тривоги . Це випадок, коли при об’єкт є справним, однак по вирішальному правилу розглядається як дефектний. Умовна імовірність ситуації для справних об’єктів визначається як площа під кривою щільності , що відповідає :

. (13.11)

Імовірність помилкової тривоги дорівнює:

, (13.12)

де - апріорна імовірність наявності справного стану (діагноза ).

Імовірність пропуска дефекта визначається аналогічно:

. (13.13)

Імовірність прийняття помилкового рішення складається з імовірностей помилкової тривоги та пропуска дефекта:

, (13.14)

де - ціна помилки типу «помилкова тривога»; - ціна помилки типу «пропуск дефекта».

В задачах надійності ціна пропуска дефекта зазвичай більше ціни ложної тривоги:

. (13.15)

Якщо вводяться ціни правильних рішень (, ), протилежні за знаком цінам помилок, то в загальному випадку середній ризик визначається наступним чином:

(13.16)