Безперервні випадкові величини

Безперервною називають випадкову величину, яка може набувати усіх значень з деякого кінцевого або нескінченного проміжку. Кількість можливих значень безперервної випадкової величини нескінченна.

В теорії надійності як безперервні випадкові величини розглядаються час роботи об′єкта до відмови, час відновлення працездатного стану.

Функцією розподілення (інтегральною функцією) називають функцію , що визначає імовірність того, що випадкова величина X в результаті випробування набуде значення, меншого за х, тобто

. (3.4)

Значення функції розподілення належать відрізку [0, 1]:

. (3.5)

Щільністю розподілення імовірностей (диференціальною функцією) безперервної випадкової величини Х називають першу похідну від функції розподілення :

. (3.6)

Для опису розподілу імовірностей дискретної випадкової величини щільність розподілення непридатна.

Щільність розподілення безперервних випадкових величин називають також законом розподілення безперервної випадкової величини.

В теорії надійності набули поширення наступні закони розподілення безперервних випадкових величин:

- нормальний закон;

- експоненціальний закон;

- гамма-розподілення;

- закон Вейбулла.

2.1 Нормальний закон. Нормальним називають розподілення імовірностей безперервної випадкової величини, яке описується щільністю:

, (3.7)

де - математичне очікування; - середнє квадратичне відхилення нормального розподілу (стандартне відхилення).

Дисперсія нормального розподілення дорівнює квадрату стандартного відхилення:

. (3.8)

Нормальне розподілення випадкової величини X виникає кожного разу, коли X залежить від великого числа однорідних за своїм впливом випадкових чинників, причому вплив кожного з цих чинників в порівнянні з сукупністю всіх інших незначний. Ця умова характерна для часу виникнення відмови, що викликана старінням, тобто цей закон використовується для оцінки надійності виробів за наявності поступових (зносових) відмов.

Нормованим називають нормальний розподіл з параметрами а=0, =1. Нормована випадкова величина визначається співвідношенням:

. (3.9)

Щільність нормованого розподілу:

. (3.10)

Значення цієї функції табульовані.

Імовірність потрапляння нормованої нормальної величини Х в інтервал (0, х) визначається з використанням формули Лапласа :

. (3.11)

Значення функції Лапласа також табульовані.

При математичному очікуванні напрацювання на відмову та стандартному відхиленні імовірність безвідмовної роботи об'єкту складає:

. (3.12)

2.2 Експоненціальний закон. Експоненціальним називають розподіл імовірності безперервної випадкової величини Х, яке описується щільністю:

(3.13)

де - стала додатна величина, зокрема - інтенсивність відмов.

Якщо в якості випадкової величини приймається час безвідмовної роботи об'єкту , то імовірність безвідмовної роботи становить:

. (3.14)

Експоненціальне розподілення напрацювання до відмови та напрацювання між відмовами є типовим для складних об'єктів, що складаються з великої кількості комплектуючих елементів з незначною інтенсивністю відмов, а також для періода нормальної експлуатації практично всіх технічних виробів, якщо інтенсивність відмов можна вважати сталою.

Характеристична властивість експоненціального закону надійності: імовірність безвідмовної роботи елементу на інтервалі часу тривалістю t не залежить від часу попередньої роботи до початку даного інтервалу, а залежить тільки від тривалості часу t (при заданій інтенсивності відмов ).

2.3 Гамма-розподілення. Гамма-розподілення є двопараметричним розподіленням. Щільність імовірності гамма-розподілення визначається виразом:

(3.15)

де , ,

. (3.16)

Математичне очікування та дисперсія відповідно дорівнюють:

; . (3.17)

Гамма-розподілення широко застосовують при описанні появи відмов старіючих елементів, часу відновлення, напрацювання на відмову резервованих систем.

При інтенсивність відмов монотонно знижується (що відповідає періоду прироблення виробу), при - зростає (що характерно для періоду зношування та старіння елементів).

При гамма-розподілення співпадає з експоненціальним розподіленням, при гамма-розподілення наближається до нормального закону.

2.4 Закон Вейбулла. Цей закон задовільно описує напрацювання до відмови підшипників, елементів радіоелектронної апаратури. Його використовують для оцінки надійності деталей вузлів машин, зокрема - автомобілів, а також для оцінки надійності машин в процесі їх прироблення.

Щільність розподілення описується залежністю:

, (3.18)

де - параметр форми кривої розподілення.

Імовірність безвідмовної роботи :

. (3.19)

Широке застосування закону Вейбулла пояснюється тим, що цей закон, узагальнюючи експоненціальне розподілення, містить додатковий параметр . Підбираючи потрібним чином параметри та , можна отримати кращу відповідність розрахункових значень експериментальним даним в порівнянні з експоненціальним законом.