ОСНОВІ ТЕОРЕМ СКЛАДАННЯ ТА МНОЖЕННЯ ІМОВІРНОСТЕЙ

 

Даний метод розрахунку використовується при оцінці надійності систем, що складаються з послідовно або паралельно з’єднаних елементів без відновлення.

1. Розглянемо випадок послідовного з’єднання елементів. При послідовному з’єднанні відмова системи виникає при відмові будь-якого елемента. Припустимо, що система складається з -послідовно з’єднаних елементів (рис. 6.1) Позначимо імовірність безвідмовної роботи -го елемента системи на інтервалі (0бсистеми на інтервалі (0,). Приймемо припущення про статистичну незалежність відмов елементів.

Імовірність безвідмовної роботи системи визначається як добуток імовірностей безвідмовної роботи її елементів:

, (6.1)

де - стан працездатності -го елемента; - логічне «ТА» (символ перетину подій).

Імовірність відмови системи на інтервалі (0, ) становить:

, (6.2)

де - імовірність відмови -го елемента системи на інтервалі (0, ).

1.1 Якщо імовірність безвідмовної роботи кожного елемента підпорядковується експоненціальному закону розподілення, то

, (6.3)

де - стала інтенсивність відмов -го елемента.

Для такої системи імовірність безвідмовної роботи становить:

. (6.4)

Тобто інтенсивність відмов системи при послідовному з′єднанні елементів дорівнює сумі інтенсивностей відмов елементів:

. (6.5)

Середнє напрацювання до відмови системи в загальному випадку становить:

. (6.6)

При експоненціальному розподіленні імовірності безвідмовної роботи середнє напрацювання до відмови становить:

. (6.7)

Щільність імовірності відмов становить:

. (6.8)

1.2. Розглянемо випадок рівної надійності елементів системи:

. (6.9)

Імовірність безвідмовної роботи такої системи складає:

. (6.10)

При рівній надійності елементів виконується умова:

. (6.11)

Тоді інтенсивність відмови системи становить:

. (6.12)

Щільність імовірності відмов для системи, що складається з елементів рівної надійності, становить:

, (6.13)

де - щільність імовірності відмови одного елемента.

Якщо відома імовірність безвідмовної роботи системи з елементів рівної надійності на інтервалі (0,), то імовірність безвідмовної роботи кожного елемента становить:

. (6.14)

Таким чином, надійність системи послідовної структури не може перевищувати надійності найненадійнішого елемента. Збільшення кількості послідовно з’єднаних елементів суттєво знижує надійність системи в цілому.

Приклад. Нерезервована система складається з чотирьох послідовних елементів, причому імовірність безвідмовної роботи кожного елемента відповідає експоненціальному закону розподілення. Інтенсивності відмов елементів наступні: =7∙10^-5 год^-1; =5∙10^-5 год^-1; =8∙10^-5 год^-1; =4∙10^-5 год^-1. Необхідно визначити показники надійності системи, причому та отримати на інтервалі від 0 до 1000 годин з інтервалом 200 годин.

а) Інтенсивність відмов системи:

год^-1.

б) Середнє напрацювання до відмови:

год.

в) Імовірність безвідмовної роботи:

.

д) Щільність розподілення часу роботи до відмови:

.

 

, год.
		2,40∙10-4
	0,953	2,29∙10-4
	0,908	2,18∙10-4
	0,866	2,08∙10-4
	0,825	1,98∙10-4
	0,787	1,89∙10-4

 

2. Розглянемо випадок паралельного з′єднання елементів. При паралельному з′єднанні елементів відмова системи виникає при відмові всіх її елементів. Працездатність системи зберігається при збереженні працездатного стану хоча б одного елемента. Розглянемо систему, що складається з m паралельно з′єднаних елементів (рис. 6.2).

Позначимо - стан працездатності і-го елемента. Стан працездатності системи, що складається з послідовно з′єднаних елементів, визначається:

, (6.15)

де - символ об′єднання подій (логічне «АБО»).

Тоді імовірність безвідмовної роботи системи при паралельному з′єднанні елементів становить:

. (6.16)

Оскільки події є сумісними, то можна записати:

. (6.17)

Розрахунки згідно останньому виразу становлять деякі труднощі, тому розглядають протилежні події (настання відмови і-го елемента), тоді:

. (6.18)

Імовірність відмови системи на інтервалі (0, t) становить:

, (6.19)

де - імовірність відмови і-го елемента на інтервалі (0, t).

Якщо імовірності безвідмовної роботи всіх елементів однакові та дорівнюють , то імовірності безвідмовної роботи системи складає:

. (6.20)

Останній вираз свідчить, що паралельне з′єднання є ефективним засобом підвищення надійності системи, що дозволяє з ненадійних елементів створити високонадійну систему. Причому, чим більше паралельно ввімкнених елементів, тим вище надійність системи в цілому.

Наприклад, якщо система складається з =5 паралельно ввімкнених елементів, імовірності безвідмовної роботи яких однакові та дорівнюють 0,5, то імовірність безвідмовної роботи всієї системи становить:

.

При вирішенні зворотньої задачі визначають таку імовірність безвідмовної роботи елемента, щоб отримати задану імовірність безвідмовної роботи системи з паралельних елементів. Для цього можна скористатися виразом:

. (6.21)

Щільність імовірності відмов для системи з паралельних рівнонадійних елементів становить:

, (6.22)

де - щільність імовірності відмов одного елемента.

Інтенсивність відмов такої системи:

, (6.23)

де - інтенсивність відмов одного елемента.