1.) Разделимые линейные преобразования
A(n1, n2, m1, m2) = Ac(n1, m1) ∙ As(n2, m2)
B(n1, n2, m1, m2) = Bc(n1, m1) ∙ Bs(n2, m2)
F = Ac ∙ F ∙ AsT
F = Bc ∙ ∙ BsT ; Bc = Ac-1; Bs = As-1.
2.) Свёртка
VR(x, y) = VS(i, j) ∙ Q’(x-i, y-j)
|
|
|
Vs Fs
|
|
|
| |||||
|
|
|
VR(r1, r2) = VS(i, j) ∙ Q’(r1-i, r2-j) (1)
Fs(m1, m2) = VS(n1, n2) ∙ A(n1, n2, m1, m2) (2)
FQ(q1, q2) = Q’(l1, l2) ∙ A(l1, l2, q1, q2) (3)
VR(r1, r2) = FR(p1, p2) ∙ B(p1, p2 , r1, r2) (4)
FR(i ,j) = FS(i ,j) ∙ FQ(i ,j) (5)
i , j = 0……………N-1.
Подставим величины из формул (2), (3), (5) в формулу (4).
В результата этого мы получим :
VR(r1, r2) = (VS(n1, n2) ∙ A(n1, n2, p1, p2) ∙Q’(l1, l2) ∙
A(l1, l2, p1, p2)) ∙ B(p1, p2 , r1, r2) = VS(n1, n2) ∙ Q’(l1, l2) ∙ A(n1, n2, p1, p2) ∙ A(l1, l2, p1, p2) ∙ B(p1, p2 , r1, r2)
Выделенная в формуле подчёркиванием часть зависит только от ядер.
Она равна 1 при n1= r1 – l1 или n2= r2 – l2
0 , иначе
d(n1+l1– r1) ∙ d(n2+l2– r2) (дельта – функция.)
d(x)
A(n1, n2, p1, p2) = AS(n1, p1) ∙ AC(n2, p2)
|
AS = AC = A
BS = BC = B
B(p1, p2, r1, r2) = BS(p1, r1) ∙ BC(p2, r2)
|
d(x)
A(n1, n2, p1, p2) = AS(n1, p1) ∙ AC(n2, p2) (1)
AS = AC A’
B(p1, p2, r1, r2) = B’(p1, r1) ∙ B’(p2, r2) (2)
Воспользовавшись формулами (1) и (2) преобразуем выражение (**) :
A’(n1, p1) ∙A’(l1, p1) ∙ B’(p1, r1) ∙A’(n2, p2) ∙A’(l2, p2) ∙ B’(p2, r2) =
= d(n1+l1– r1) ∙ d(n2+l2– r2)
A’(n, p) = anp ; A’(l, p) = alp ; B’(p, r) =a-pr
ap(n+l-r) = d (n+l– r)
n+l– r n
Пусть n = 0, N.
Эквивалентность выражения (*) докажем , домножив обе части уравнения на
(1 - an).
|
1 = N∙ d(0) ; аналогично для n=N,-N.
Теперь уравнение (***) будет основным
Решим его :
aN =1 = ei∙2p - комплексное преобразование 1.
a = ei∙2p/N – решение в области комплексных чисел.
|
=F(n) ∙cos (∙n ∙m ) + i ∙ F(n) ∙sin(∙n ∙m ) =
|
| ||||
F(n) = ∙a-nm ∙ ) = ei∙(2p/N) ∙n∙m ∙ ) = ) ∙cos (∙n ∙m ) –
- i∙ ) ∙ sin(∙n ∙m )
Связь между спектральными коэффициентами и корреляционной функцией
Пусть имеется входной сигнал, описываемый функцией F(n). Тогда квадрат коэффициента корреляции k равен:
k2 = F(n) ∙ sin(∙n ∙m +y) = F(n) ∙ sin(∙n ∙m) ∙ cos(y) + F(n) ∙ cos(∙n ∙m) ∙ sin(y)
Так как
Принимая , и , получим:
; ;
Оценка сложности:
1. Вычисляются спектральные коэффициенты строк
2. Вычисляются спектральные коэффициенты столбцов
Для каждого отсчета надо сделать N операций
,
где N — сложность вычисления одного коэффициента, k — коэффициент сложности работы с комплексными числами
Сложность прямого преобразования:
— это только по строкам
Аналогично получается сложность по столбцам
Тогда общая сложность:
— суммарная сложность прямого преобразования
SS = Sпр + Sобр = 2N3∙k
k – коэффицент , отражающий специфику работы с комплексными числами.
Сравним SS и S :
Проверка
Пусть N=512 ; k=2.
Ответ : L > 45. – выгодно использовать пространственное преобразование при больших фильтрах.