Хвильові явища на межі розділу двох середовищ

 

При падінні плоских електромагнітних хвиль на межу розділу двох середовищ, спостерігаються такі явища, як відбиття, заломлення і поглинання. Ці явища дуже істотні в електродинаміці. Розглянемо найпростіший клас задач такого типу: падіння плоскої хвилі на плоску межу розділу, вважаючи її нескінченно протяжною (набагато більше ). При розв'язуванні цих задач використовуються граничні умови, розглянуті в розділі 3.

 

7.1 Нормальне падіння плоскої електромагнітної хвилі на діелектричний напівпростір.

 

Введемо деякі визначення (рис. 7.1) на прикладі нормального падіння:

– площина падіння – площина, яка проходить через нормаль до поверхні розділу двох середовищ паралельно напрямку розповсюдження хвилі.

Вектор напруженості електричного поля перпендикулярний напрямку розповсюдження хвилі, а по відношенню до площини падіння може бути орієнтований довільно. Обмежимося двома орієнтаціями вектору , а саме:

• вектор перпендикулярний до площини падіння (нормально, або вертикально поляризована плоска хвиля); позначається .
• вектор паралельний площини падіння (паралельно, або горизонтально поляризована плоска хвиля); позначається .

Хвилю з будь-якою іншою орієнтацією можна представити у вигляді суперпозиції нормально поляризованої та паралельно поляризованої.

Перейдемо до аналізу поставленої задачі. Для цього необхідно повернути рис. 7.1 навколо осі x, щоб отримати орієнтацію осей x, y, z, як зазначено на рис. 7.2.

 

 

 

Тут введені позначення:

– вектори падаючої хвилі;

– вектори відбитої хвилі;

– вектори хвилі, яка пройшла.

Вважаємо, що напівпростір z<0 декартової системи координат (область 1) – вакуум (), в той же час напівпростір z>0 – довільний діелектрик ().

В області 1 розповсюджується плоска хвиля, яка буде падаючою (рис. 7.2). Для падаючої хвилі

 

(7.1)

 

де – стала розповсюдження плоских хвиль у вакуумі;

Ом – характеристичний опір вакууму.

В даній системі окрім падаючої хвилі існують ще дві хвилі:

відбита хвиля, вектори якої мають вигляд

 

(7.2)

 

де знак “мінус” вектора зумовлений тим, що вектор Пойнтинга спрямований у сторону негативних значень осі z;

хвиля, яка пройшла (заломлена), характеризується векторами

 

(7.3)

 

Тут , – відповідно стала розповсюдження і характеристичний опір другого середовища.

 

 

Припустимо, що з одного боку друга область (z>0) не обмежена по осі z, а з іншого боку є хоча б скільки завгодно мале, але скінчене затухання електромагнітних хвиль у даному середовищі. Це забезпечує відсутність відбитих хвиль в другий області, що йдуть в напрямку негативних значень осі z.

На межі розділу, в площини z=0 повинні виконуватися граничні умови неперервності тангенціальних складових сумарних векторів електричного та магнітного полів

 

. (7.4)

 

Граничні умови (7.4) з урахуванням (7.1), (7.2), (7.3) будуть мати вигляд

 

. (7.5)

 

Введемо коефіцієнти Френеля:

– коефіцієнт відбиття по електричному полю

 

, (7.6)

– коефіцієнт проходження по електричному полю

 

. (7.7)

 

Розділивши ліві і праві частини рівностей (7.5) на амплітуду падаючої хвилі , і використавши (7.6) і (7.7), отримаємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь відносно і :

 

. (7.8)

 

Вирішуючи цю систему, знаходимо і , які для середовища без втрат, будуть дійсними

 

(7.9)

 

(7.10)

 

У загальному випадку коефіцієнти відбиття і заломлення величини комплексні. Якщо перше середовище має характеристичний опір , а друге середовище – , то вирази (7.9) і (7.10) приймають вигляд:

 

(7.11)

 

(7.12)

 

Важливий окремий випадок – нормальне падіння плоскої хвилі на немагнітний діелектрик без втрат (). З формул (7.9) і (7.10) слідує, що в цьому випадку коефіцієнти і дійсні і рівні

 

. (7.13)

 

Таким чином, коефіцієнти відбиття і проходження цілком визначаються характеристичними опірами межуючих середовищ.

Відбиття не буде мати місце , якщо характеристичні опори середовищ узгоджені, тобто у випадку ;

 

, (7.14)

 

або для середовищ без втрат

 

. (7.15)

 

Ця умова (7.15) називається умовою прозорості або невидимості межі при нормальному падінні.

В протилежність (7.15) існує умова “повного відбиття”, що вимагає розузгодження (7.15). Це можливо, коли контактують середовища з високими значеннями , і низькими значеннями цих же параметрів, або нерівністю втрат, коли друге середовище – метал. Характеристичний опір для металоподібного середовища, як відомо дорівнює

 

,

 

величина тут велика, отже , таким чином, з урахуванням цього зауваження, коефіцієнт відбиття буде рівний

 

. (7.16)