рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Системы линейных алгебраических уравнений. Разрешимость и устойчивость.

Системы линейных алгебраических уравнений. Разрешимость и устойчивость. - раздел Философия, Численные методы линейной алгебры   Решение Системы Линейных Алгебраических Уравнений Для Заданно...

 

Решение системы линейных алгебраических уравнений для заданного вектора и квадратной матрицы размерности состоит в поиске вектора , удовлетворяющего равенству

(1.3)

Данная задача для произвольного вектора имеет единственное решение при условии, что матрица не вырожденная (не имеет линейно зависимых строк). Критерием линейной независимости строк (столбцов) прямоугольной матрицы традиционно служит отличие от нуля определителя матрицы. Определитель квадратной матрицы представляет собой алгебраическую сумму всех возможных произведений элементов матрицы, в которые входят по одному элементу каждой строки и каждого столбца. Знаки слагаемых определяются четностью (нечетностью) перестановок порядковых номеров строк (столбцов) из элементов которых берется данный множитель.

Вычислительная сложность нахождения определителя матрицы (согласно определению данной характеристики) имеет порядок . В силу этого данный критерий крайне редко применяется в численном анализе непосредственно к исходной матрице системы даже при сравнительно небольших размерностях задачи. Кроме того, нахождение определителя, как вычислительная задача, с прикладной точки зрения не представляет особого интереса в силу приближенности компьютерных вычислений. Поскольку критерий вырожденности матрицы состоит в строгом равенстве нулю определителя, то вычисление его приближенного значения во многих случаях не позволяет корректно воспользоваться данным критерием. С другой стороны, определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов. Поэтому, если в процессе выполнения эквивалентных преобразований, приводящих матицу системы ЛАУ к треугольному виду, все диагональные элементы полученной треугольной матрицы отличны от нуля, то из эквивалентности приведенной и исходной задачи автоматически следует их одновременная разрешимость (или неразрешимость, если на главной диагонали полученной треугольной матрицы окажется по крайней мере один нулевой элемент). Опять же, в силу приближенности компьютерных вычислений, возможны нюансы когда, например, на главной диагонали приводимой матрицы возникают элементы близкие к нулю.

Разрешимость системы еще не означает, что в условиях приближенной компьютерной арифметики решение может быть получено с достаточной точностью. С этой точки зрения важным является то, чтобы рассматриваемая задача была устойчива к возмущениям входных данных – значений элементов матрицы и вектора правой части.

Наряду с системой уравнений (1.3) рассмотрим возмущенную задачу

(1.4)

где . , – возмущения элементов матрицы и вектора правой части задачи, а – разность между решениями возмущенной и исходной задачи. Задача считается устойчивой, если ее решение непрерывно зависит от возмущений входных данных. Условие устойчивости может быть сформулировано в виде оценки возмущения решения задачи от возмущения входных данных:

, (1.5)

где , и некоторые постоянные, зависящие от свойств матрицы .

 

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Численные методы линейной алгебры

В М Волков... Численные методы линейной алгебры...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Системы линейных алгебраических уравнений. Разрешимость и устойчивость.

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Нормы векторов и матриц.
Поскольку численные методы по своей природе являются приближенными (по крайней мере, ввиду наличия вычислительной погрешности, обусловленной приближенностью компьютерной арифметики), важное значени

Метод Гаусса
  Большинство прямых методов решения систем ЛАУ в той или иной мере наследуют идею алгоритма последовательного исключения неизвестных – метода Гаусса. Идея достаточно прозрачна. Если

Метод Гаусса с выбором ведущего элемента
При перестановке строк системы ЛАУ решение задачи не изменяться. Данное свойство лежит в основе алгоритмов упорядочения строк матрицы, позволяющих обойти некоторые недостатки метода Гаусса и повыси

LU-факторизация.
Как было показано выше, основные вычислительные затраты в методе Гаусса связаны с приведением матрицы системы ЛАУ к треугольному виду (вычислительная сложность прямого хода метода Гаусса на

Разложение Холецкого (метод квадратного корня).
  В случае симметричной невырожденной матрицы есть возможность провести факторизацию более эффективно. В частности симметричную матрицу можно представить в виде произведения нижней тр

Число обусловленности матрицы и оценки погрешности решения систем линейных алгебраических уравнений.
Компьютерные вычисления являются приближенными в силу того, что действительные числа представляются конечным числом десятичных разрядов. Относительная погрешность представления действительных чисел

Свойства собственных значений и собственных векторов матриц.
Пусть дана квадратная невырожденная матрица порядка

Степенной метод.
  Пусть требуется найти максимальное по абсолютной величине собственное значение матрицы , причем извест

Метод вращений.
  Наиболее эффективный подход к проблеме собственных значений основан на использовании преобразований подобия, позволяющих привести исходную матрицу к треугольному, диагональному или

П.1. Реализация итерационного метода вращений для расчета собственных значений симметричной матрицы
  % Проблема собственных значений % Метод Вращений N=22; % Задание Размерности матрицы A=rand(N); %Формирование матрицы случайных значений A=A*A';

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги