Реферат Курсовая Конспект
Разложение Холецкого (метод квадратного корня). - раздел Философия, Численные методы линейной алгебры В Случае Симметричной Невырожденной Матрицы Есть Возможность ...
|
В случае симметричной невырожденной матрицы есть возможность провести факторизацию более эффективно. В частности симметричную матрицу можно представить в виде произведения нижней треугольной матрицы и транспонированной ей матрицы :
. (2.12)
Разложение (2.12) аналогично разложению, поскольку является верхней треугольной матрицей. Однако в отличие от разложения факторизация Холецкого реализуется за меньшее число арифметических действий и не требует дополнительных ресурсов памяти для хранения матрицы .
Элементы матрицы находятся непосредственно из уравнения (2.12) из которого согласно определению матричного умножения следует
. (2.13)
Заметим, что в скалярном произведении -ой строки матрицы на -й столбец матрицы суммирование в (2.13) ведется не по всем компонентам векторов, а только для их ненулевых значений. В силу этого из равенства (2.13) для
, (2.14))
В случае из равенства (2.13) следует
, . (2.15)
Для из равенства (2.13) имеем
, (2.16)
.
Формулы (2.14)-(2.16) дают явные рекуррентные выражения для элементов матрицы . Применимость описанного алгоритма помимо симметричности матрицы ограничена также требованием положительности величин , стоящих под знаком квадратного корня в формулах (1.14), (1.15). Данное требование всегда выполняется для положительно определенных матриц и матриц с диагональным преобладанием.
Подсчеты вычислительных затрат на реализацию алгоритма факторизации Холецкого позволяют определить, что вычислительная сложность данного метода для не разреженных матриц имеет порядок , т.е. сравнима с вычислительными затратами при разложении. Более тщательное сравнение этих методов факторизации показывает, что на вычисление элементов матрицы в методе Холецкого требуется примерно в два раза меньше арифметических операций, чем при разложении.
После выполнения разложения Холецкого, как и в случае разложения, задача решения системы линейных алгебраических уравнений сводится к последовательному решению двух систем с матрицами треугольного вида: .
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
В М Волков... Численные методы линейной алгебры...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Разложение Холецкого (метод квадратного корня).
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов