рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Число обусловленности матрицы и оценки погрешности решения систем линейных алгебраических уравнений.

Число обусловленности матрицы и оценки погрешности решения систем линейных алгебраических уравнений. - раздел Философия, Численные методы линейной алгебры Компьютерные Вычисления Являются Приближенными В Силу Того, Что Действительны...

Компьютерные вычисления являются приближенными в силу того, что действительные числа представляются конечным числом десятичных разрядов. Относительная погрешность представления действительных чисел в формате double составляет приблизительно . Естественно, что и результат арифметических операций с такими числами также будет приближенным. При решении систем линейных алгебраических уравнений число арифметических операций по порядку величины составляет величину . В силу этого анализ ошибки каждой из операций представляется практически не осуществимой задачей. По этой причине для оценки погрешности используют подход, получивший название метод обратного распространения ошибки. Суть данного метода состоит не в подсчете реальной погрешности вычисленного решения, а в выяснении того факта какая задача решена фактически. Например, пусть при решении задачи получено приближенное решение , с неизвестной погрешностью . Подстановка полученного решения в исходное уравнение показывает, что появление погрешности можно связать с возмущениями правой части задачи

.

Таким образом, в условиях приближенности вычислений вместо исходной системы уравнений фактически решается некоторая возмущенная задача, точное решение которой и является приближенным решением, полученным в процессе вычислений. Рассмотрим, как возмущения правой части системы ЛАУ связаны с погрешностью ее решения при условии, что все промежуточные вычисления выполняются точно.

Итак, пусть правая часть системы возмущена – задана с абсолютной погрешностью . В силу этого фактически вместо задачи мы решаем возмущенную задачу

. (2.17)

где – абсолютная погрешность решения, ассоциированная с возмущением правой части. Погрешность является решением следующей задачи:

. (2.18)

Несложные преобразования позволяют получить из уравнения (2.18) оценку нормы абсолютной величины погрешности:

. (2.19)

Заметим, что последнее неравенство (2.19) выражает устойчивость решения по правой части, и (согласно условию (1.15)) требование устойчивости эквивалентно требованию ограниченности нормы обратной матрицы системы ЛАУ. Из постановки задачи имеем

. (2.20)

Из неравенств (2.19) и (2.20) следует оценка относительной погрешности возмущенной задачи:

. (2.21))

Оценка (2.21) выражает зависимость относительной погрешности решения возмущенной задачи от относительной величины возмущения правой части в произвольной норме векторного пространства. В частности, согласно (2.21), погрешность возмущенной задачи пропорционально возрастает с ростом возмущений правой части, причем коэффициент пропорциональности определяется произведением норм матриц и . Число

, (2.22)

характеризующее зависимость относительной погрешности решения системы ЛАУ от величины относительного возмущения правой части, называется числом обусловленности матрицы. Если число обусловленности матрицы велико, то говорят, что данная матрица плохо обусловлена. Если число обусловленности близко к единице, то матрица считается хорошо обусловленной. Обычно для оценки числа обусловленности используется спектральная норма матриц, которая является подчиненной для евклидовой векторной нормы. Для симметричных матриц число обусловленности определяется отношением модулей наибольшего и наименьшего собственного значения матрицы.

Плохая обусловленность матрицы системы ЛАУ характеризует сильную чувствительность решения задачи к погрешности входных данных (малая ошибка входных данных приводит к существенному изменению решения). Аналогичным образом плохо обусловленные системы ЛАУ реагируют и на погрешности промежуточных вычислений. Так, например, в процессе приведения матрицы системы к треугольному виду выполняется ряд преобразований ее коэффициентов. В итоге, на этапе обратного хода метода Гаусса решается задача с возмущенными коэффициентами матрицы и полная оценка относительной погрешности должна исходить из следующей возмущенной задачи:

., (2.23)

Если матрица возмущенной задачи (2.23) не вырожденная, то возмущения коэффициентов матрицы могут быть соотнесены с возмущениями правой части и вместо задачи (2.23) достаточно рассмотреть задачу

, (2.24)

для которой имеет место оценка (2.21). На практике величина может быть вычислена на основе полученного приближенного решения задачи :

. (2.25)

 

Вектор принято называть невязкой решения системы ЛАУ. Норма данного вектора на практике служит количественной мерой возмущения правой части задачи и используется для оценки погрешности приближенного решения.

Оценки числа обусловленности матриц требуют вычисления обратной матрицы или, по крайней мере, оценки максимального и минимального собственных значений в случае симметричных матриц. В силу этого практическая оценка фактической точности приближенного решения системы ЛАУ согласно неравенству (2.21) представляет собой сложную задачу. Тем не менее, для ряда практически значимых случаев оценка (2.21) представляется полезной в плане контроля точности вычислений.

 

Упражнения

1. Доказать, что число обусловленности матрицы не меньше единицы

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Численные методы линейной алгебры

В М Волков... Численные методы линейной алгебры...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Число обусловленности матрицы и оценки погрешности решения систем линейных алгебраических уравнений.

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Нормы векторов и матриц.
Поскольку численные методы по своей природе являются приближенными (по крайней мере, ввиду наличия вычислительной погрешности, обусловленной приближенностью компьютерной арифметики), важное значени

Системы линейных алгебраических уравнений. Разрешимость и устойчивость.
  Решение системы линейных алгебраических уравнений для заданного вектора и квадратной матрицы

Метод Гаусса
  Большинство прямых методов решения систем ЛАУ в той или иной мере наследуют идею алгоритма последовательного исключения неизвестных – метода Гаусса. Идея достаточно прозрачна. Если

Метод Гаусса с выбором ведущего элемента
При перестановке строк системы ЛАУ решение задачи не изменяться. Данное свойство лежит в основе алгоритмов упорядочения строк матрицы, позволяющих обойти некоторые недостатки метода Гаусса и повыси

LU-факторизация.
Как было показано выше, основные вычислительные затраты в методе Гаусса связаны с приведением матрицы системы ЛАУ к треугольному виду (вычислительная сложность прямого хода метода Гаусса на

Разложение Холецкого (метод квадратного корня).
  В случае симметричной невырожденной матрицы есть возможность провести факторизацию более эффективно. В частности симметричную матрицу можно представить в виде произведения нижней тр

Свойства собственных значений и собственных векторов матриц.
Пусть дана квадратная невырожденная матрица порядка

Степенной метод.
  Пусть требуется найти максимальное по абсолютной величине собственное значение матрицы , причем извест

Метод вращений.
  Наиболее эффективный подход к проблеме собственных значений основан на использовании преобразований подобия, позволяющих привести исходную матрицу к треугольному, диагональному или

П.1. Реализация итерационного метода вращений для расчета собственных значений симметричной матрицы
  % Проблема собственных значений % Метод Вращений N=22; % Задание Размерности матрицы A=rand(N); %Формирование матрицы случайных значений A=A*A';

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги