Свойства собственных значений и собственных векторов матриц.

Пусть дана квадратная невырожденная матрица порядка .

Число называется собственным значением матрицы , если существует такой ненулевой вектор , удовлетворяющий равенству

. (4.1)

Вектор , удовлетворяющий равенству (4.1), называется собственным вектором матрицы . Совокупность всех собственных значений называется спектром матрицы. Уравнение (4.1) имеет нетривиальные решения тогда и только тогда, когда

. (4.2)

Функция называется характеристическим многочленом матрицы. Степень характеристического многочлена равна порядку матрицы, а множество его корней совпадает со спектром. Таким образом, задача поиска собственных значений может быть сведена к задаче вычисления корней характеристического многочлена. Число собственных значений матрицы, с учетом возможной кратности корней характеристического полинома, равно порядку матрицы.

Спектр действительной матрицы составляют действительные или комплексные числа, образующие комплексно-сопряженные пары. Собственные вектора матрицы определяются с точностью до постоянного множителя. Обычно используют нормированные значения собственных векторов: . Отметим важные свойства собственных векторов и собственных значений.

1. собственными значениями положительно определенной симметричной матрицы являются действительные положительные числа, причем среди них отсутствуют кратные: . (4.3)

2. множество собственных векторов симметричной невырожденной матрицы образуют ортогональный базис в пространстве .

3. если – собственное значение матрицы , то – собственное значение матрицы .

4. собственные значения диагональной и треугольной матрицы совпадают с элементами главной диагонали данной матрицы.

5. если и – собственное значение и собственный вектор матрицы , тогда и – собственное значение и собственный вектор матрицы соответственно.

6. для произвольной невырожденной матрицы , собственные матрицы и матрицы – совпадают. Матрицы и в этом случае называются подобными, а преобразования вида называются преобразованиями подобия.

7. собственные значения матриц и совпадают.

Перечисленные свойства играют важную роль при разработке численных методов решения проблемы собственных значений и собственных векторов. Важно отметить также класс матриц, для которых задача отыскания собственных значений и собственных векторов имеет наиболее простое решение. Это так называемые матрицы простой структуры.

Определение. Если существует невырожденная матрица такая, что матрица является диагональной, то матрица называется матрицей простой структуры.

Иными словами, матрица простой структуры подобна диагональной матрице, элементами которой являются собственные значения исходной матрицы.

Теорема 4.1. Матрица подобна диагональной матрице в том и только в том случае, если она имеет систему линейно независимых векторов.

Доказательство. Докажем вначале, что если все собственные векторы матрицы являются линейно независимыми, то данная матрица – матрица простой структуры. Пусть , собственные векторы и собственные значения матрицы . Пусть матрица – матрица, столбцами которой являются собственные векторы матрицы . По определению , . Последнее равенство для всех может быть представлено в эквивалентном виде

, (4.4)

где – диагональная матрица элементами которой являются собственные значения. По условию теоремы столбцы матрицы линейно независимы. В силу этого матрица является не вырожденной и существует обратная матрица . Умножая равенство (4.4) слева на матрицу , имеем:

, (4.5)

Полученное тождество означает, что матрица подобна диагональной матрице, что и требовалось доказать.

Докажем теперь обратное. Пусть матрица подобна диагональной матрице , элементами которой являются собственные значения матрицы . Тогда выполняется равенство (4.5), умножая которое слева на матрицу получаем, что в этом случае выполняется и равенство (4.4) . Несложно заметить, что решением матричного уравнения

является матрица , столбцами которой являются собственные векторы матрицы . В силу существования обратной матрицы , матрица является не вырожденной, откуда следует линейная независимость ее строк и столбцов. Теорема доказана.

Упражнения.

1. Доказать, что отношение подобия матриц является отношением эквивалентности.

2. Доказать, что спектральный радиус матрицы не превосходит ее норму.