Електродинаміка та поширення радіохвиль. Теорія електромагнітного поля

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

Запорізький національний технічний університет

 

 

Л.М. Логачова, В.П. Бондарєв

 

 

К О Н С П Е К Т

“Електродинаміка та поширення радіохвиль” “Теорія електромагнітного поля” для студентів спеціальності 8.090.701 “Радіотехніка”

Зміст

 

 

Перелік скорочень..........................................................................
1 Електромагнітне поле і параметри середовища.........................
1.1 Загальні відомості................................................................
1.2 Заряди і струми – джерела ЕМП.........................................
1.3 Вектори електромагнітного поля........................................
1.4 Класифікація середовищ......................................................
2 Основні рівняння електромагнетизму.........................................
2.1 Зведення рівнянь Максвела..................................................
2.2 Перше рівняння Максвела (узагальнений закон Ампера)..
2.3 Друге рівняння Максвела (узагальнений закон електромагнітної індукції)..................................................
2.4 Третє рівняння Максвела (узагальнена теорема Гауса).....
2.5 Четверте рівняння Максвела (соленої дальність поля магнітної індукції)...............................................................
2.6 Рівняння неперервності........................................................
2.7 Закон збереження зарядів....................................................
2.8 Закон Ома в диференційній формі......................................
2.9 Резюме до повної системи рівнянь Максвела.....................
2.10 Рівняння Максвела і сторонні струми...............................
2.11 Гармонійні коливання і комплексні амплітуди.................
2.12 Середні значення................................................................
2.13 Рівняння Максвела у комплексній формі..........................
2.14 Класифікація електромагнітних явищ...............................
3 Поля на межі розділу середовищ (граничні умови для векторів електромагнітного поля , , , )..........................
3.1 Поля на межі розділу середовищ........................................
3.2 Граничні умови для векторів електричного поля...............
3.3 Граничні умови для векторів магнітного поля...................
3.4 Повна система граничних умов. Граничні умови на поверхні ідеального провідника.........................................
4 Локалізація і рух енергії електромагнітного поля......................
4.1 Закон Джоуля-Ленця і перетворення енергії.......................
4.2 Баланс потужностей електромагнітного поля....................
4.3 Енергія електромагнітного поля..........................................
4.4 Рівняння балансу для середньої за період потужності. Комплексна потужність......................................................
4.5 Швидкість розповсюдження електромагнітних хвиль.......
4.6 теорема єдиності для внутрішніх і зовнішніх задач електродинаміки.................................................................
4.7 Лема Лоренця.......................................................................
4.8 Теорема взаємності..............................................................
4.9 Переставна двїстість рівнянь Максвела..............................
4.10 Принцип суперпозиції........................................................
Перелік посилань............................................................................

 

Перелік скорочень

 

 

ЕМП – електромагнітне поле

ЕЕМП – енергія електромагнітного поля

 

Електромагнітне поле і параметри середовища

 

 

Загальні відомості

  . (1.1)  

Заряди і струми – джерела електромагнітного поля

Електричний заряд – одне із властивостей елементарних частинок речовини. Розрізняють два види зарядів – позитивні та негативні. Експериментально… Величина електричного заряду вимірюється в кулонах (Кл) і позначається… Якщо він розподілений в просторі, то його називають об’ємним і характеризують об’ємною густиною, яка має розмірність…

Вектори електромагнітного поля

Взаємодія між зарядженими частинками здійснюється через ЕМП, яке вважається визначеним, якщо в кожній точці простору відомі величини і напрям… Сила дії ЕМП на заряд. ЕМП виявляється по його силовій дії на заряджені…  

Класифікація середовищ

– лінійні, в яких параметри не залежать від величини електричного і магнітного поля; – нелінійні, в яких параметри або хоча б один із них, залежить від величини… Всі реальні середовища нелінійні. В подальшому при слабких полях середовище, яке розглядається, буде вважатися…

Основні рівняння електромагнетизму

В розділі 1 було з’ясовано, що шість векторів , , , , , характеризують ЕМП. Всі електромагнітні процеси підлягають законам, які вперше сформулював у…  

Зведення рівнянь Максвела

 

Приведемо з довідковою метою систему рівнянь Максвела, кожне з яких будемо окремо розглядати в подальшому.

 

Таблиця 2.1

В таблиці 2.1 приведені рівняння, які складають основу теорії електромагнетизму. Всі величини, які входять в ці рівняння, є функції координат і часу…    

Четверте рівняння Максвела: соленоїдальність поля магнітної індукції

Це рівняння в інтегральній формі співпадає з законом Гауса для магнітного поля, яке формулюється так: потік вектора через будь-яку замкнену поверхню…   . (2.31)

Рівняння неперервності

 

Рівняння неперервності можна отримати з першого рівняння Максвела. Застосувавши операцію дивергенції до кожної з двох частин рівняння (2.13), отримуємо

 

.

 

Через те, що , то ліва частина цього рівняння дорівнює нулю. Змінивши порядок диференціювання по координатам і за часом в правій частині рівняння і урахував, що , отримуємо рівняння неперервності

 

. (2.33)

 

Існує друга форма запису цього рівняння. В правій частині першого рівняння Максвела (2.13) стоїть сума густин струму провідності і струму зміщення, тобто густина повного струму:

 

.

 

З урахуванням цього зауваження можна записати, що

 

. (2.34)

 

Рівність нулю дивергенції якого-небудь вектора означає неперервність ліній цього вектора. Таким чином, лінії густини повного струму неперервні, а лінії густини струмів провідності і зміщення можуть мати початок і кінець.

 

 

Закон збереження зарядів

Інтегральна форма. Закон неперервності тісно пов’язаний з законом збереження зарядів: ні при яких умовах електричні заряди не можуть спонтанно…   . (2.35)

Закон Ома в диференційній формі

Закон виражає залежність густини струму провідності в який-небудь точці провідного середовища від напруженості електричного поля в цій точці.… Згідно з законом Ома струм уздовж осі циліндра дорівнює  

.

 

Розділивши обидві частини цього рівняння на , приходимо до співвідношення

 

,

 

яке можна представити у векторній формі

 

. (2.41)

 

Рівняння (2.41) прийнято називати законом Ома в диференційній формі. В ізотропних середовищах g – скаляр, а в анізотропних – тензор.

 

 

Резюме до повної системи рівнянь Максвела

Рівняння Максвела описують властивості ЕМП. На підставі цих рівнянь можна зробити такі висновки: 1. Електричні і магнітні поля тісно зв’язані між собою. Будь-яка зміна одного… 2. Джерелами ЕМП являються заряди і струми. Магнітне поле завжди вихрове, електричне може бути потенційними і…

Рівняння Максвела і сторонні струми

При розгляді системи рівнянь Максвела в диференційній формі разом з матеріальними рівняннями, під вектором мали на увазі густину струму провідності,… Крім цього струму в області простору, що вивчається, можуть існувати струми,… Особливо важливу роль відіграють сторонні струми при вивченні випромінювання ЕМХ різноманітними антенами.

Гармонічні коливання і комплексні амплітуди

Всі реальні електромагнітні процеси можна представити або у вигляді суми дискретних гармонічних коливань, або у вигляді неперервного спектра… Аналіз гармонічних коливань значно спрощується при використані методу…  

Середні значення

Для періодичної функції від t, середнім значенням називається поділений на Т (період) інтеграл від 0 до Т. Середнє значення від (2.45) дорівнює… Середнє від квадрату (дисперсія) величини, що гармонічно коливається, є  

.

 

 

Рівняння Максвела в комплексній формі

Рівняння Максвела – це лінійні диференціальні рівняння. Тому, при вивчені гармонічних полів, замість векторів і можна розглядати комплексні…   , (2.61)

Класифікація електромагнітних явищ

Система рівнянь Максвела охоплює сукупність електромагнітних явищ. В ряді випадків ці рівняння спрощуються. У самому простому випадку електромагнітне поле не залежить від часу і, крім…  

.

 

В загальному випадку використовується повна система рівнянь Максвела (див. табл. 2.1 в 2.1).

У випадку гармонічних коливань систему рівнянь Максвела, без матеріальних рівнянь, можна представити системою (2.79) в 2.13.

 

 

3 Поля на межі розділу середовищ (граничні умови для векторів електромагнітного поля , , , )

 

 

Поля на межі розділу середовищ

У будь-якій задачі електромагнітне поле тим або іншим чином обмежене у просторі. Природними межами можуть бути, наприклад, металеві стінки, або межа… Математична постановка задачі. Нехай поверхня розділяє середовища 1 і 2 .…  

Граничні умови для векторів електричного поля

А. Нормальні складові. Вектор електричної індукціїпідлягає наступній граничній умові:   , або . (3.3)

Граничні умови для векторів магнітного поля

В. Нормальні складові. Нормальні складові вектору магнітної індукціїзавжди неперервні:   , . (3.15)

Одночасно зникає перший інтеграл в правій частині (3.21), через скінчене значення на поверхні розділу. Другий інтеграл праворуч не знищується.

З урахуванням сказаного, можна записати

, (3.22)   де– орт до додаткової поверхні Р.

Повна система граничних умов. Граничні умови на поверхні ідеального провідника

 

Таким чином на межі розділу повинні виконуватися слідуючи умови

 

(3.28)

 

Якщо друге середовище являється ідеально провідним , тодіі умови (3.28) приймають вигляд:

 

(3.29)

 

Таким чином, з (3.29) видно, що на поверхні ідеального провідника дотична складова напруженості електричного поля і нормальна складова напруженості магнітного поля перетворюється в нуль.

 

 

Локалізація і рух енергії електромагнітного поля

 

Закон Джоуля-Лєнця і перетворення енергії

Електромагнітне поле володіє енергією. Ця енергія може перетворюватися в інші види енергії. З’ясуємо яким чином вектори поля , , , визначають…   Таблиця 4.1 - Енергетичні величини в теорії електромагнетизму Назва Позначення Од.…

Баланс потужностей електромагнітного поля

Для отримання рівняння балансу необхідно скористатися першим і другим рівнянням Максвела в диференційній формі   (4.9)

Енергія електромагнітного поля

Енергію електромагнітного поля, яка запаслася в області V, можна визначити інтегруванням за часом виразів (4.17) і (4.18), що визначають потужність…   . (4.28)

Рівняння балансу для середньої за період потужності. Комплексна потужність

Середнє значення потужності електричного поля, можна отримати, використовуючи результат усереднення вигляду : . (4.32)

Швидкість розповсюдження електромагнітної енергії

Існує аналогія між електричними величинами (4.22) з одного боку і зарядами і струмами (1.16) – з другої:   (4.50)

Теорема єдиності для внутрішніх і зовнішніх задач електродинаміки

Рівняння Максвела являються диференційними рівняннями в частинних похідних і припускають безліч розв’язків. Щоб отримати єдиний розв’язок ,… При її доведенні розрізняють внутрішні і зовнішні задачі електродинаміки.… Внутрішня задача електродинаміки. Теорема єдиності стверджує, що в середині області , обмеженої замкнутою поверхнею…

Лема Лоренця

Якщо в лінійному ізотропному середовищі система сторонніх джерел з густиною струмів створює електромагнітне поле , а друга система з густиною… Запишемо рівняння Максвела для двох вказаних полів, джерела яких в загальному…

Теорема взаємності

Нехай джерела з густиною струмів зосередженні в об’ємі , а джерела з густиною струмів – в об’ємі . Області об’ємів і просторово не перетинаються… Якщо розповсюдити інтегрування в рівнянні (4.61) на весь простір, при цьому…  

Переставна двоїстість рівнянь Максвела

Розглянемо систему рівнянь Максвела для гармонічних коливань:   (4.71)

Принцип суперпозиції

Для лінійного ізотропного середовища, диференціальні рівняння відносно будь-якого вектора електромагнітного поля залишається лінійними. З… В якості прикладу розглянемо поле, яке створюється системами джерел з густиною… Тоді по принципу суперпозиції всі джерел при попередньому їх розподілі і одночасній дії будуть створювати повне поле,…

Перелік посилань

 

 

1. Никольский В.В., Никольская Т.И. Электродинамика и распространение радиоволн. – М.: Наука, 1989. – 544 с.

2. Пименов Ю.В. и др. Техническая электродинамика / Пименов Ю.В. , Муравцов А.Д. Под ред. Ю.В. Пименова: Учебное пособие для вузов. – М.: Радиосвязь, 2000, - 536 с.

3. Петров Б.М. Электродинамика и распространение радиоволн: Учебник для вузов. – М.: Гор. линия – Телеком, 2004. – 558 с.

4. Фальковский О.И. Техническая электродинамика: Учебник для вузов. – СПб: "Лань", 2009. – 432 с.

5. Нефедов Е.И. Техническая электродинамика: Учебное пособие для вузов. – М.: ИЦ "Академия", 2008, - 416 с.