Теорема єдиності для внутрішніх і зовнішніх задач електродинаміки

 

Рівняння Максвела являються диференційними рівняннями в частинних похідних і припускають безліч розв’язків. Щоб отримати єдиний розв’язок , необхідно, щоб ЕМП задовольняло не тільки рівнянням Максвела, але і деяким додатковим вимогам, які б однозначно визначали існування поля. Що це за вимоги і якими вони повинні бути, відповідає теорема єдиності.

При її доведенні розрізняють внутрішні і зовнішні задачі електродинаміки. Внутрішня задача – знаходиться ЕМП всередині V, обмеженого поверхнею S. Зовнішня задача – знаходиться ЕМП поза деяким об’ємом V.

Внутрішня задача електродинаміки. Теорема єдиності стверджує, що в середині області , обмеженої замкнутою поверхнею (рис. 4.4), розв’язок рівнянь Максвела для комплексних амплітуд

 

(4.58)

 

єдиний, якщо, по-перше, воно задовольняє одну з трьох крайових умов:

а) в кожній точці М поверхні S задана тангенціальна складова вектора (задача);

б) в кожній точці М поверхні S задана тангенціальна складова вектора (задача);

в) на одній частині поверхні задана , а на решті частини задана (задача), причому

– і якщо, по-друге, при відсутності втрат , частота в (4.50) не співпадає ні з одною з резонансних частот в області V.

Припустимо, що існують два розв’язки поставленої задачі і , які відповідають одному і тому ж розподілу густини стороннього струму .

Підставивши їх в (4.58) будемо мати два варіанти запису рівнянь. Віднявши з першого друге рівняння, найдемо, що різниця розв’язків

 

(4.59)

 

задовольняють однорідним рівнянням Максвела

 

. (4.60)

 

Величина зникає, оскільки в обох варіантах фігурувала одна і таж задана величина в(4.58).

На поверхні поле повинне задовольняти наступним граничним умовам:

у випадку Е – задачі ; (4.61)

у випадку Н – задачі ; (4.62)

у випадку Е Н – задачі на а на (4.63)

Рівняння балансу для активної потужності різниці поля буде мати вигляд

 

. (4.64)

 

Якщо об’єм заповнений поглинаючим середовищем, тобто , , то інтеграл з правої частини перетвориться в нуль, якщо , тобто два розв’язки рівнянь Максвела співпадають у всьому об’ємі V. Тоді перетвориться в нуль і інтеграл в лівій частині (4.64). Це виникне, при на всій поверхні S, або на частині поверхні ; а на частині поверхні , тобто повинні бути задані дотичні складові електричного, або магнітного полів.

Отже, задача дійсно має один розв’язок : і .

Якщо , то розв’язок буде нетривіальним, тобто не буде тотожно перетворюватися в нуль. Це свідчить про те, що в об’ємі не виникає перетворення електромагнітної енергії в її інші види. В цьому випадку розв’язки рівнянь Максвела не являються єдиними.

Зовнішня задача електродинаміки. В цьому випадку поверхні S не охоплює розглядувану частину простору, яка розповсюджується до нескінченості (рис. 4.5). Необхідно, крім перерахованих умов для єдиності розв’язку для внутрішньої задачі, знати додаткову умову, яка характеризує поведінку векторів і в точках, нескінченно віддалених від поверхні S.

Подумки проведемо з довільної точки О в середині об’єму V сферу радіусу r так, щоб об’єм V і сторонні джерела виявились в середині цієї сфери. Об’єм між S і позначимо (рис. 4.5). Будемо шукати розв’язок рівнянь Максвела в середині цієї сфери . Таким чином, зовнішня задача звелася до внутрішньої задачі електродинаміки. Для єдиності розв’язку необхідно, щоб всередині і

 

.

 

Так як сфера розташовується довільно, то треба щоб кожний з інтегралів дорівнював нулю. Щоб перший інтеграл дорівнював нулю, необхідно задавати дотичні складові і . Спрямувавши радіус сфери до нескінченності, з рівності нулю другого інтегралу отримаємо

 

. (4.65)

 

При поверхня зростає пропорційно до . Отже, щоб виконалась умова (4.65), необхідно, щоб абсолютна величина добутку при зменшувалась швидше, ніж , тобто амплітуда векторів і зменшувались швидше . Для цього достатньо, щоб невідомі величини і зменшувались швидше . Останнє завжди має місце, тобто в реальних середовищах існують втрати енергії.

Таким чином, розв’язок зовнішньої задачі існує і в єдиному вигляді, якщо середовище, яке заповнює простір являється поглинаючим; на поверхні області, поза якою визначене поле, задані дотичні складові і і електромагнітне поле задовольняє умові (4.57).

Для середовища без втрат теорему єдиності для зовнішньої задачі електродинаміки можна довести, якщо замість умови зменшення векторів і при швидше вимагати виконання наступних умов:

 

. (4.66)

 

Співвідношення (4.58) називаються умовами випромінювання: при необхідно, щоб поле мало характер сферичних хвиль, які розходяться від джерела. Співвідношення (4.66) відомо ще як умова випромінювання Зомерфельда.

 

 

Развернуть

Открыть в широком формате