НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ

 

ПЛАН

1. Введение.

2. Определение непрерывности функции.

3. Классификация точек разрыва

4. Свойства непрерывных функций.

5. Экономический смысл непрерывности.

6. Заключение.

 

10.1. Введение

Всякий раз, оценивая неизбежные с течением времени изменения в окружающем нас мире, мы пытаемся проанализировать происходящие процессы, чтобы выделить их наиболее существенные черты. Один из первых на этом пути встает вопрос: как происходят характерные для этого явления изменения – непрерывно или дискретно, т.е. скачкообразно. Равномерно ли понижается курс валюты или обваливается, происходит постепенная эволюция или революционный скачок? Чтобы унифицировать качественные и количественные оценки происходящего, следует абстрагироваться от конкретного содержания и изучить проблему в терминах функциональной зависимости. Это позволяет сделать теория пределов, которую мы рассматривали на прошлой лекции.

10.2. Определение непрерывности функции

Непрерывность функции интуитивно связано с тем, что ее графиком является сплошная, нигде не прерывающаяся кривая. Мы вычерчиваем график такой функции, не отрывая ручки от бумаги. Если функция задана таблично, то о ее непрерывности, строго говоря, судить нельзя, потому что при заданном шаге таблицы поведение функции в промежутках не определено.

В реальности при непрерывности имеет место следующее обстоятельство: если параметры, характеризующие ситуацию, немного изменить, то не много изменится и ситуация. Здесь важно не то, что ситуация изменится, а то, что она изменится «немного».

Сформулируем понятие непрерывности на языке приращений. Пусть некоторое явление описывается функцией и точка a принадлежит области определения функции. Разность называется приращением аргумента в точке a, разность – приращением функции в точке a.

Определение 10.1.Функция непрерывна в точке a, если она определена в этой точке и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции :

. (10.1)

Пример 10.1. Исследовать на непрерывность функцию в точке .

Решение. Построим график функции и отметим на нем приращения Dx и Dy (рис. 10.1).

Из графика видно, что чем меньше приращение Dx, тем меньше Dy. покажем это аналитически. Приращение аргумента равно , тогда приращение функции в этой точке будет равно

.

Отсюда видно, что если , то и :

.

Дадим еще одно определение непрерывности функции.

Определение 10.2.Функция называется непрерывной в точке а, если:

1) она определена в точке а, и некоторой ее окрестности;

2) односторонние пределы существуют и равны между собой:

;

3) предел функции при х®а равен значению функции в этой точке:

.

Если хотя бы одно из этих условий нарушается, то говорят, что функция претерпевает разрыв.

Это определение является рабочим для установления непрерывности в точке. Следуя его алгоритму и отмечая совпадения и несовпадения требований определения и конкретного примера, можно сделать вывод о непрерывности функции в точке.

В определении 2 четко проступает идея близости, когда мы вводили понятие предела. При неограниченном приближении аргумента x к предельному значению a, непрерывная в точке a функция f(x) сколь угодно близко приближается к предельному значению f(a).

10.3. Классификация точек разрыва

Точки, в которых нарушаются условия непрерывности функции, называются точками разрыва этой функции. Если x₀ – точка разрыва функции , в ней не выполняется, по крайней мере, одно из условий непрерывности функции. Рассмотрим следующий пример.

1. Функция определена в некоторой окрестности точки a, но не определена в самой точке a. Например, функция не определена в точке a=2, поэтому претерпевает разрыв (см. рис. 10.2).

Рис. 10.2 Рис. 10.3

2. Функция определена в точке a и в некоторой ее окрестности, ее односторонние пределы существуют, но не равны другу:, то функция претерпевает разрыв. Например, функция

определена в точке , однако при функция испытывает разрыв (см. рис. 10.3), т.к.

и ().

3. Функция определена в точке a и в некоторой ее окрестности, существует предел функции при , но этот предел не равен значению функции в точке a:

.

Например, функция (см. рис. 10.4)

Здесь – точка разрыва:

,

но

Все точки разрыва делятся на точки устранимого разрыва, точки разрыва первого и второго рода.

Определение 10.1. Точка разрыва называется точкой устранимого разрыва, если в этой точке существуют конечные пределы функции слева и справа, равные друг другу:

.

Предел функции в этой точке существует, но не равен значению функции в предельной точке (если функция определена в предельной точке), или функция в предельной точке не определена.

На рис. 10.4 в точке условия непрерывности нарушены, и функция имеет разрыв. На графике точка (0; 1) выколота. Впрочем, этот разрыв легко устранить – достаточно переопределить данную функцию, положив ее равной своему пределу в этой точке, т.е. положить . Поэтому такие разрывы называются устранимыми.

Определение 10.2. Точка разрыва называется точкой разрыва 1-го рода, если в этой точке существуют конечные пределы функции слева и справа, но они не равны друг другу:

.

Говорят, что в этой точке функция испытывает скачок.

На рис. 10.3 функция имеет разрыв 1-го рода в точке . Пределы слева и справа в этой точке равны:

и .

Скачок функции в точке разрыва равен .

Доопределить такую функцию до непрерывной невозможно. График состоит из двух полупрямых, разделенных скачком.

Определение 10.3. Точка разрыва называется точкой разрыва 2-го рода, если, по крайней мере, один из односторонних пределов функции (слева или справа) не существуют или равны бесконечности.

На рис 10.3 функция в точке имеет разрыв 2-го рода. Рассмотренная функция при является бесконечно большой и конечного предела ни справа, ни слева не имеет. Поэтому говорить о непрерывности в такой точке не приходится.

Пример 10.2. Построить график и определить характер точек разрыва:

Решение. Построим график функции f(x) (рис 10.5).

Из рисунка видно, что исходная функция имеет три точки разрыва: , x₂ = 1,
x₃ = 3. Рассмотрим их по порядку.

1. Пусть .

а) Функция определена в этой точке: .

б) , .

Поэтому точке имеется разрыв 2-го рода.

2. Пусть .

а) Функция определена в этой точке: f(1) = –1.

б) , ,

т.е. в точке x₂ = 1 имеется устранимый разрыв. Переопределив значение функции в этой точке: f(1) = 5, разрыв устраняется и функция в этой точке становится непрерывной.

3. Пусть .

а) Функция определена в этой точке: f(3) = 1.

б) , .

Значит, в точке x₁ = 3 имеется разрыв 1-го рода. Функция в этой точке испытывает скачок, равный Dy = –2–1 = –3.

10.4. Свойства непрерывных функций

Вспоминая соответствующие свойства пределов, заключаем, что функция, являющаяся результатом арифметических действий над непрерывными в одной и той же точке функциями, также непрерывны. Отметим:

1) если функции и непрерывны в точке a, то функции , и (при условии, что ) также непрерывны в этой точке;

2) если функция непрерывна в точке a и функция непрерывна в точке , то сложная функция непрерывна в точке a и

,

т.е. знак предела можно вносить под знак непрерывной функции.

Говорят, что функция непрерывна на некотором множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества. График такой функции – непрерывная линия, которая вычеркивается одним росчерком пера.

Все основные элементарные функции непрерывны во всех точках, где они определены.

Функции, непрерывные на отрезке, обладают рядом важных отличительных свойств. Сформулируем теоремы, выражающие некоторые из этих свойств.

Теорема 10.1 (теорема Вейерштрасса). Если функция непрерывна на отрезке, то она на этом отрезке достигает своих наименьшего и наибольшего значений.

Теорема 10.2 (теорема Коши). Если функция непрерывна на отрезке, то она на этом отрезке все промежуточные значения между наименьшим и наибольшим значениями.

Из теоремы Коши следует следующее важное свойство.

Теорема 10.3. Если функция непрерывна на отрезке и на концах отрезка принимает значения разных знаков, то между a и b найдется такая точка c, в которой функция обращается в нуль: .

Геометрический смысл этой теоремы очевиден: если график непрерывной функции переходит с нижней полуплоскости на верхнюю (или наоборот), то по крайней мере в одной точке она пересечет ось Ox (рис.10.6).

Пример 10.3. Приближенно вычислить корень уравнения

,

Принадлежащий отрезку , применив метод половинного деления.

Решение. Обозначим левую часть уравнения через .

Шаг 1. Выпишем значения , . Мы видим, что функция на отрезке принимает значения разных знаков. Следовательно, существует, такая точка , что .

Шаг 2. Вычисляем , т.е. делим отрезок пополам.

Шаг 3. Вычисляем значение . Таким образом, корень уравнения , поскольку функция на концах этого отрезка принимает значения разных знаков.

Повторяем рассмотренную процедуру несколько раз до тех пор, пока разность будет меньше заданной точности e. В качестве искомого значения корня принимаем величину на последнем шаге.

В нашем случае можно получить значение корня с точностью .

Отметим еще одну теорему Вейерштрасса.

Теорема 10.3. Если функция непрерывна на отрезке, то ее на этом отрезке с любой точностью аппроксимировать (т.е. приближенно заменить) многочленном соответствующей степени.

Это очень важное для практики свойство непрерывных функций. Например, очень часто непрерывные функции задаются таблицами (данными наблюдений или экспериментов). Тогда используя какой-либо метод можно таблично заданную функцию заменить многочленом. В соответствии с теоремой 10.3 это можно всегда сделать с достаточно высокой точностью. Работать с аналитически заданной функцией (тем более с многочленом) гораздо проще.

10.5. Экономический смысл непрерывности

Большинство функций, используемых в экономике, являются непрерывными и это позволяет высказывать вполне значимые утверждения экономического содержания.

В качестве иллюстрации рассмотрим следующий пример.

Налоговая ставка N имеет примерно такой график, как на рис. 10.7а.

Рис. 10.7

На концах промежутков она разрывна и разрывы эти 1-го рода. Однако сама величина подоходного налога P (рис. 10.7б) является непрерывной функцией годового дохода Q. Отсюда, в частности, вытекает, что если годовые доходы двух людей различаются незначительно, то и различие в величинах подоходного налога, который они должны уплатить, также должны различаться не значительно. Интересно, что обстоятельство воспринимается огромным большинством людей как совершенно естественное, над которым они даже не задумываются.

10.6. Заключение

Под занавес позволим себе небольшое отступление.

Вот как можно графически выразить грустное наблюдение древних:

Sic transit Gloria mundi …

(Так проходит земная слава …)