ТЕХНИКА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ РАЗЛИЧНЫХ ФУНКЦИЙ. ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

ПЛАН

1. Правила дифференцирования арифметических действий.

2. Производная сложной функции.

3. Дифференциал сложной функции.

4. Производная показательно-степенной функции. Логарифмическое дифференцирование.

5. Дифференцирование функций, заданных неявно.

6. Дифференцирование функций, заданных параметрически.

7. Уравнение касательной и нормали к кривой в заданной точке.

8. Производные высших порядков.

9. Дифференциалы высших порядков для функций, заданных таблично.

10. Заключение.

12.1. Правила дифференцирования арифметических действий

Прежде чем учиться дифференцировать любую функцию, вспомним правила, по которым можно находить производные суммы, разности, произведения и частного, которые вы проходили в школе.

Эти правила мы сформулируем в идее теорем, одну из которых докажем и выводы занесем в таблицу правил дифференцирования. Вместе с таблицей производных основных элементарных функций ее нужно выучить наизусть.

Столбец «Дифференциал» повторяет свойства производной. Его содержимое потребуется позднее, при интегрировании.

Итак, теоремы.

Теорема 12.1. Если функции и дифференцируемы в точке , то в этой же точке дифференцируема и их алгебраическая сумма, причем производная суммы определяется по формуле.

. (12.1)

Теорема 12.2. Если функции и дифференцируемы в точке , то в этой же точке дифференцируема и их произведение, причем производная произведения определяется по формуле:

. (12.2)

Теорема 12.3. Если функции и дифференцируемы в точке , причем , то в этой же точке дифференцируемо и их частное. Производная частного определяется по формуле:

. (12.3)

Часто вместо этих формулировок можно слышать словесные описания формул, стоящих в правой части равенств (12.1-3), например: производная суммы равна сумме производных и т.д., которые были бы верны, если бы не было «подводных корней», о которых мы говорили в лекции 11: одна из функций или могут быть просто не дифференцируемы в точке . Для этого и нужны полные формулировки данных теорем, потому что они исключают все возможные нападки.

В таблицу правил входят два следствия из теоремы 2: 2а и 2б. Следствие 2а в короткой формулировке будет читаться так: если функция дифференцируема в точке , то постоянный множитель можно вынести за знак производной, т. е.

. (12.4)