Реферат Курсовая Конспект
Решение. - раздел Философия, Лекция 8. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ ...
|
Окончательный ответ всегда старайтесь максимально упростить, это может очень облегчить жизнь в дальнейшем.
При достаточной натренированности нужда в записи цепочки сложности и выписывании промежуточных аргументов, по которым вычисляется очередная функция, отпадает, но в начале изучения советуем использовать ее в качестве подручного средства (кстати, этот прием был придуман вместе со студентами-заочниками и успешно используется уже много лет).
Итак, мы разобрали случай, когда функция задана одним, хотя и сложным, выражением.
Если величина является арифметическим действием нескольких сложных функций, то здесь действует правило: действие – сложность – формула. Покажем это на примерах.
Пример 12.5. Вычислить производную функции
.
Решение. Главное действие – разность, два других – произведение и частное. Сложные функции: и . Их производные можно найти заранее, а потом просто вставить в ответ, а можно решать по тексту. Для первого примера вычислим их производные отдельно.
,
т. к. .
,
.
Окончательно имеем:
Пример 12.6. Найти производную функции .
Решение. Главное действие – произведение, первый сомножитель – сложная функция.
Пример 12.7. ,
Решение. Здесь вначале функция ln, потом действие (сумма), затем сложная функция для второго слагаемого:
.
Вот так средневековый принцип «разделяй и властвуй» действует в высшей математике.
12.3. Дифференциал сложной функции.
Инвариантность формы дифференциала.
Пусть , тогда по определению дифференциала . Покажем, что эта форма сохранятся и в том случае, когда является не независимой переменной, а функцией от другого аргумента : .
Тогда – сложная функция.
По правилу дифференцирования сложной функции , отсюда , т.к. .
Мы доказали следующую теорему:
Теорема 12.2. Дифференциал сложной функции , для которой , имеет такой же вид , как и в том случае, когда аргумент является независимой переменной.
Это свойство называется инвариантностью (неизменностью) формы дифференциала.
Пример 12.8. Найти для функции .
Решение. .
12.4. Производная неявной функции.
Определение 12.3. Уравнение вида , у которой переменная y является функцией от независимой переменной , называется неявной.
Примеры неявных функций:
.
Если первые две можно разрешить относительно , то последнюю нельзя, поэтому не будем изобретать приемов для того, чтобы сделать функцию явной, а сразу запишем правило для нахождения производной .
Правило. Для того, чтобы найти для функции необходимо продифференцировать как сложную функцию, считая, что и . Получившееся уравнение разрешить относительно , для чего все члены, содержащие оставляют в левой части, остальные переносят в правую часть и выделяют явно . Это выражение и будет искомой производной .
Пример 12.9. Найти , если .
Решение. Для удобства решения первого примера распишем цепочку сложности для :
.
Итак, следуя правилу, берем производную от левой и правой части:
.
Пример 12.10. Найти , если .
Решение. .
.
Раскроим скобки и члены, содержащие перенесем в левую часть, остальные оставим в правой.
,
,
.
Пример 12.11. Найти , если .
Решение. ,
,
,
,
.
То есть можно сказать, что при дифференцировании неявной функции используют прием дифференцирования сложной функции, где при взятии производной учитывается, что . Остальное – дело техники и аккуратного проведения выкладок.
12.5. Дифференцирование показательно-степенной функции.
Определение 12.4. Функция вида называется показательно-степеннойфункцией.
Примеры таких функций:
, , .
Нахождение производной подобных функций производится с помощью предварительного логарифмирования левой и правой части, поэтому дифференцирование степенно-показательных функций называют еще логарифмическим дифференцированием.
Итак, пусть и дифференцируемы в точке , причем . Прологарифмируем выражение по основанию получим:
По свойствам логарифма имеем
– а это неявная функция, брать производную которой мы уже умеем.
,
откуда
.
Запоминать эту формулу не надо, проще выполнять все операции каждый раз. Иногда одного логарифмирования недостаточно и следует производить его столько раз, чтобы функции от не было в показатели степени.
Пример 12.12. Найти , если .
Решение. Логарифмируем левую и правую часть, получаем:
1. – произведение логарифмов,
2. – берем производную от левой и правой части равенства
.
3. , где A – множитель при y.
Пример 12.13. ,
Решение. ,
, ,
.
Пример 12.14. ,
Решение. . Прологарифмируем это выражение еще раз, т. к. переменная осталась в показателе степени.
, , , ,
12.6. Дифференцирование функций, заданных параметрически
Определение 12.5. Пусть даны две функции переменной
(12.3)
рассматриваемые для одних и тех же значений . Тогда любому из этих значений соответствуют определенные значения и и, следовательно, определенная точка .
Когда пробегает значения из области определения функции (12.3) – точка описывает некоторую кривую, лежащую в плоскости .
Уравнения (12.3) называются параметрическими уравнениями этой кривой, а переменная – параметром.
Если из уравнения выразить через – получим новую функцию . Подставим ее во второе уравнение , получим , т.е. напрямую зависит от . Эта операция называется исключением параметра.
Роль параметра, в зависимости от задачи, может играть время t или центральный угол j, и чаще всего его исключение не только не обязательно, но и не желательно. Просто надо научиться работать с ними и все.
Например, параметрическими уравнениями окружности в полярной системе координат служат уравнения:
, где – полярный угол.
Уравнение эллипса в параметрическом виде будет иметь виде:
и т.д.
Итак, если функция от задана параметрическими уравнениями (12.2), причем в некоторой области изменения параметра функции и дифференцируемы и , то производная найдется по формуле:
. (12.4)
Пример 12.15. Пусть Найти .
Решение. По формуле (12.3) имеем:
.
Пример 12.16. Найти для функции, заданной параметрически
Решение. .
На этом мы заканчиваем обзор различных функций и приемов их дифференцирования.
Для успешного их применения необходимо научиться распознавать функции по способу задания – сложная, параметрическая или иная – т. е. «узнавать их в лицо». А затем применять соответствующие правила и теоремы для их дифференцирования. Здесь нет творчества, есть строгое выполнение инструкций. Этому тоже нужно учиться.
12.7. Уравнение касательной и нормали к кривой в заданной точке
Пусть – касательная к графику функции (рис.12.1). Угловой коэффициент равен производной , и все уравнение касательной запишется в виде:
. (12.5)
Нормалью к кривой в точке называется прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно касательной. Условие перпендикулярности двух прямых дано в теме «Аналитическая геометрия на плоскости» (см. лекцию 7) и выглядит так: . Для нашего случая угловой коэффициент нормали равен , и все уравнение запишется в виде:
. (12.6)
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ... Все течет и все меняется Гераклит... Таблица Х х х х Y у у у у у...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Решение.
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов