ПЛАН
1. Экономический смысл производной.
2. Эластичность. Задача о спросе и предложении
3. Применение производной для функции, заданной таблично.
15.1. Экономический смысл производной
Рассмотрим задачу, иллюстрирующую экономический смысл производной. Издержки производства y будем рассматривать как функцию количества выпускаемой продукции x. Пусть Dx – прирост продукции, тогда Dy – приращение издержек производства. Воспользуемся формулой (11.12)
Если , то получим
.
Таким образом, производная характеризует приближенно дополнительные затраты на производство единицы дополнительной продукции и выражает предельные издержки производства.
Аналогичным образом, могут быть определены предельные выручка, предельный продукт и другие предельные показатели. Предельные величины характеризуют не состояние (как суммарная или средняя величина), а процесс, изменение экономического объекта.
Пример 15.1. Функция издержек производства продукции некоторой фирмы имеет вид
.
Найти средние и предельные издержки и вычислить их значение при .
Решение. Найдем производную и ее значение – предельные издержки производства:
, .
Средние издержки:
, .
Это означает, что при данном уровне производства (количестве выпускаемой продукции) средние затраты на производство одной единицы продукции составляют 28 ден. ед., а увеличение объема производства на одну единицу продукции обойдутся фирме приближенно в 11 ден. ед.
15.2. Эластичность. Задача спроса и предложения
Для исследования экономических процессов и решения других прикладных задач часто используется понятие эластичности.
Определение 15.1. Эластичностью функции называется предел отношения относительного приращения функции y(x) к относительному приращению переменной x при :
. (15.1)
Вспоминая определение производной, получим
. (15.2)
Эластичность функции показывает приближенно, на сколько процентов изменится функция при увеличении независимой переменной на 1%.
Отметим, что эластичность можно представить в виде
. (15.3)
В связи с этим становятся понятными следующие свойства эластичности:
, .
Пример 15.2. Найти эластичность функций: а) , б) .
Решение. а) Поскольку , то по формуле (15.2) получаем
.
б) Для степенной функции
.
Как мы видим, эластичность степенной функции есть величина постоянная, равная показателю степени. Это характерное свойство только степенных функций. Поэтому степенные функции довольно часто используются в экономической теории, т.к. все ее параметры имеют четкий экономический смысл.
В случае табличного задания функции определение эластичности не однозначно. Это связано с тем, что в отношении не ясно, что брать в качестве x: первоначальное значение x1, конечное значение x2 или среднее значение . В зависимости от этого различают:
конечную эластичность
,
среднюю эластичность
,
а также логарифмическую эластичность
.
Все эти выражения мало отличаются друг от друга при небольших относительных изменениях величин x и y.
Эластичность функций часто применяется при анализе спроса и потребления. Например, эластичность спроса y относительно цены x (или дохода x) показывает, на сколько процентов изменится спрос (объем потребления) при увеличении цены (или дохода) на 1%. Спрос называется эластичным, если , неэластичным, если , и нейтральным, если .
Пример 15.3. Зависимость между себестоимостью единицы продукции y (тыс. руб.) и выпуском продукции x (млн. руб.) выражается функцией
.
Найти эластичность себестоимости при выпуске продукции, равном 60 млн. руб.
Решение. Воспользуемся решением предыдущей задачи
.
В нашем случае
.
При
,
т.е. при выпуске продукции, равном 60 млн. руб., увеличение его на 1% приведет к снижению себестоимости на 0,5%.
Пример 15.4. Функция спроса и предложения имеют соответственно вид:
, ,
где q и s – количество товара, соответственно покупаемого и продаваемого в единицу времени, p – цена единицы товара. Найти: а) равновесную цену, т.е. цену, при которой спрос и предложения уравновешиваются; б) эластичности спроса и предложения при равновесной цене; в) изменение дохода при увеличении цены на 10% от равновесной.
Решение. а) Равновесная цена определяется из условия , т.е.
,
откуда находим и . Последний корень отбрасываем, т.к. цена не может быть отрицательной и устанавливаем, что равновесная цена равна 2 ден. ед.
б) Найдем эластичности спроса и предложения. Вычисляем соответствующие производные:
, ,
и подставляем их в формулу (15.2):
,
.
Для равновесной цены имеем
, .
Так как полученные значения эластичностей меньше 1, то спрос и предложение данного товара при равновесной (рыночной) цене неэластичны относительно цены. Это означает, что изменение цен не приведет к резкому изменению спроса и предложения.
в) При увеличении цены p на 10% от равновесной цены спрос уменьшится на , следовательно, доход от проданной продукции (цена p умноженная на количество q проданного товара) возрастет в целом на . Несмотря на то, что цена на товар увеличилась и спрос на нее упал, предприятие все равно получает прибыль.
Пример 15.5. Зависимость между спросом и ценой q и ценой p за единицу продукции, выпускаемой некоторым предприятием, дается соотношением:
.
Найти эластичность спроса. Выяснить, при каких значениях цен спрос является эластичным, нейтральным и неэластичным. Какие рекомендации о цене за единицу продукции можно дать руководителям предприятия при и при ден. ед.?
Решение. Найдем эластичность по формуле (15.2):
.
Для нахождения p воспользуемся тем, что при нейтральном спросе , т.е.
.
Тогда .
Далее, принимая во внимание, что цена и спрос , получим еще одно ограничение на p:
.
Таким образом, область изменения цены p интервал (0; 324). Причем он точкой p = 144 делится на две части. Посмотрим модуль эластичности на каждой из них.
1. На интервале возьмем значение p = 100. В этом случае эластичность равна , т.е. . Спрос при этих значениях цен является неэластичным: цена на товар растет быстрее, чем уменьшается на нее спрос.
2. На интервале возьмем значение p = 225. В этом случае эластичность равна , т.е. . Спрос при этих значениях цен является эластичным: спрос на товар падает быстрее, чем растут на нее цены.
Какие можно дать рекомендации? Если цена единицы продукции составит 100 ден. ед., то спрос будет неэластичным и можно повысить цену продукции, выручка при этом будет расти. При стоимости 225 ден. ед. спрос является неэластичным. В данном случае целесообразно рассмотреть предложения о снижении цены, выручка будет расти в результате увеличения спроса на продукцию.
15.3. Применение производной для функции, заданной таблично
В экономической практике все количественные изменения какого-либо признака (прибыли, числа продаж, затрат на организацию производства) компонуются и представляются таблицей. Для более наглядного обозрения процесса привлекают графики и диаграммы. Рассмотрим возможности дифференциального исчисления для описания функции, заданной таблично.
Проведем математическое исследование экономической задачи по тому же плану, который мы обозначили в предыдущей главе.
1 Область допустимых значений аргумента и область значений функции. Точки разрыва.
2. Точки пересечения с осями координат.
3. Интервалы возрастания – убывания, точки экстремумов.
4. Интервалы выпуклости – вогнутости, точки перегиба.
Такие характеристики, как симметрия и асимптоты мы опустим, ввиду ограниченности и неотрицательности временного интервала, на котором рассматривается любая экономическая задача. Коротко осветим все особенности указанных пунктов, для функции, заданной таблично.
Итак, пусть функция задана таблицей.
Янв. | Февр. | Март | Апр. | Май | Июнь | Июль | Авг. | Сент. | Окт. | Нояб. | Дек. |
9,1 | 11,2 | – | 6,4 | 3,1 | 2,6 | 3,1 | 2,0 | –1,2 | –3,1 |
1. Областью ее определения является перечень всех значений аргумента Х [1, 12] месяцев, а могут быть кварталы, годы и т.д. Область значений функции – от самого малого до самого большого Y Î [–3,1; 11,2] Это, как правило, деньги, например – прибыль. Точками разрыва являются точки, где отсутствует информация. Об этом говорит прочерк (март). Заменять прочерк нулем нельзя: март может быть нерабочим месяцем, где прибыль равна нулю, либо настолько выдающимся, что о ней лучше умолчать (рис. 15.1).