ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. ЭКСТЕМУМ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

 

ПЛАН

8. Введение.

9. Частные производные высших порядков.

10. Экстремумы функции двух переменных.

11. Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области.

12. Подбор параметров для эмпирических формул простейшего вида по методу наименьших квадратов

13. Заключение.

 

17.1. Введение

При изучении функции одной переменной кроме производной первого порядка, характеризующей скорость изменения какого-либо процесса, мы ввели понятие второй производной, которая отвечала за ускорение. У функции двух переменных существует две частные производные, которые в общем случае также являются функциями тех же переменных, и, следовательно, их снова можно дифференцировать и по х, и по у. Покажем, как это делается.

17.2. Частные производные высших порядков

Пусть функция z = f(x,y) непрерывна вместе со своими частными производными и в некоторой области D плоскости ХОY.

Определение 17.1. Частными производными второго порядка (или вторыми частными производными) называются производные от производных и .

Вторые частные производные обозначаются так:

,

здесь функция последовательно дифференцируется по х дважды;

,

здесь f дифференцируется сначала по х, а потом результат по у;

,

здесь f дифференцируется сначала по у, а потом результат по х;

,

здесь f дифференцируется дважды по у.

Первая и последняя производные называются иногда чистыми, а вторая и третья – смешанными производными второго порядка.

Можно доказать (см. учебник Кремера)), что

,

при условии непрерывности этих производных в заданных точках, т. е. вторая смешанная производная не зависит от порядка дифференцирования и поэтому четыре частных производных сводятся к трем.

Производные второго порядка можно вновь дифференцировать как по х, так и по у. Получим производные третьего порядка, две из которых чистые, а остальные шесть – смешанные:

, , , .

Здесь мы учли, что

и ,

и поэтому восемь частных производных сводятся к четырем.

Этот процесс можно продолжить и получить производные любого порядка, при условии, что все они непрерывны в заданной точке.

Пример 17.1. Вычислить производные второго порядка от функции

Решение. Найдем производные первого порядка, учитывая, что частная производная по х вычисляется в предположении, что у – постоянная и наоборот:

, .

Найдем производные второго порядка:

, , , .

Пример 17.2. Дана функция . Показать, что .

Решение. Найдем последовательно значения всех производных и проверим данное равенство.

, , , .

Подставим найденные значения в исходное равенство:

.

Мы видим, что равенство для заданной функции выполняется.

Пример 17.3.Дана функция . Показать, что .

Решение.

, ,

– это левая часть равенства.

Для вычисления правой учтем, что уже известно, и найдем

, .

Т.о. исходное равенство для заданной функции.

Как видно из приведенных примеров, следует соблюдать бдительность и отделять по возможности те переменные, которые в данном случае играют роль постоянной.

17.3. Экстремумы функции двух переменных

Мы достаточно подробно обсуждали экстремумы функции одной переменной. Перенесем эти знания на функции двух переменных.

Определение 17.2. Точка называется точкой максимума функции , если

для всех точек (х,у), достаточно близких к точке и отличных от нее (рис. 17.1).

Определение 17.2. Точка называется точкой минимума функции , если

для всех точек (х,у), достаточно близких к точке и отличных от нее. (рис. 17.2).

Точки, в которых частные производные равны нулю или не существуют, называются критическими.

Иногда точку экстремума и ее характер можно определить из соображений здравого смысла.

Например, функция имеет минимум при и , т.е. в точке М(1,2). Действительно, для любых первое слагаемое будет расти, и для – тоже, поэтому в точке М(1,2) функция имеет минимум, причем (рис. 17.1).