Розв’язання невироджених лінійних систем - раздел Философия, КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЙ З КУРСУ ЛІНІЙНОЇ АЛГЕБРИ ТА АНАЛІТИЧНОЇ ГЕОМЕТРІЇ Нехай Дана Система П Лінійних Рівнянь З П Невідомими:
...
Нехай дана система п лінійних рівнянь з п невідомими:
(4.3)
або в матричній формі .
Основна матриця А такої системи квадратна. Визначник цієї матриці
називається визначником системи (4.3).
Якщо визначник системи відмінний від нуля, то система називається невиродженою, в протилежному випадку – виродженою.
Знайдемо розв’язок даної системи рівнянь у випадку, коли . В цьому випадку для матриці А існує обернена матриця .
Помножимо обидві частини рівняння зліва на матрицю , отримаємо . Оскільки і , то
. (4.4)
Знаходження розв’язку системи за формулою (4.4) називають матричним способом розв’язку системи.
Матричну рівність (4.4) запишемо у вигляді
,
тобто
.
Звідси випливає, що
;
;
………………………………..
.
Сума є розкладом визначника
за елементами першого стовпчика. Визначник отримується з визначника шляхом заміни першого стовпчика стовпчиком вільних членів.
Таким чином, .
Аналогічно: , де – отриманий з шляхом заміни другого стовпчика коефіцієнтів стовпчиком вільних членів; ,…,.
Формули
, (4.5)
називаються формулами Крамера.
Таким чином, невироджена система п лінійних рівнянь з п невідомими має єдиний розв’язок, який може бути знайденим матричним способом (4.4) або за формулами Крамера (4.5).
Приклад 4.1.Розв’язати систему рівнянь
а) матричним способом; б) за формулами Крамера.
Розв’язок. а) Матриця системи має вигляд:
.
Знайдемо
Отже, система невироджена.
Обернена матриця
.
Знайдемо алгебраїчні доповнення елементів матриці А:
КІРОВОГРАДСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ... ФАКУЛЬТЕТ ПРОЕКТУВАННЯ І ЕКСПЛУАТАЦІЇ МАШИН... КАФЕДРА ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ ТА ФІЗИКИ...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Розв’язання невироджених лінійних систем
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Основні поняття
Матрицею (числовою матрицею) називається прямокутна таблиця складена з чи
Дії над матрицями
Додавання. Дія додавання матриць вводиться тільки для матриць однакових розмірів.
Сумою двох матриць
Транспонування матриць
Матриця, отримана з даної заміною кожного її рядка (стовпчика) стовпчиком (рядком) з тим же номером, називається транспонованою до даної.
Матрицю, транспоновану до
Основні поняття
Квадратній матриці А порядку п можна поставити у відповідність число, яке називається її визначником або детермінантом і познача
Властивості визначників
Сформулюємо основні властивості визначників, які справедливі для визначників всіх порядків. Деякі з них пояснимо на визначниках 3-го порядку.
1.Визначник матриці, транс
Розв’язання лінійних систем методом Гауса
Універсальним методом розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь є метод Гауса, який полягає в послідовному виключенні змінних.
Нехай дана система т лінійних рівнянь з п
Основні поняття
Вектор – це направлений відрізок, тобто відрізок, який має певну довжину і певний напрямок. Якщо А – початок вектора, а В – його кінець, то вектор позначають
Лінійні операції над векторами
Лінійними операціями над векторами називають додавання і множення векторів на число.
Нехай
Властивості мішаного добутку.
1. Мішаний добуток не змінюється при циклічній перестановці його множників: .
Дійсно, в цьо
Рівняння лінії на площині
Лінія на площині часто задається як множина точок, що має деякі геометричні властивості, які характерні тільки для цієї множини.
Введення на площині системи координат дозволяє визначити по
Новости и инфо для студентов