Розклад вектора за базисом - раздел Философия, КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЙ З КУРСУ ЛІНІЙНОЇ АЛГЕБРИ ТА АНАЛІТИЧНОЇ ГЕОМЕТРІЇ Нехай Дано Вектори ...
Нехай дано вектори .
Вектор
,
де – числа,
називається лінійною комбінацією векторів , а числа – коефіцієнтами цієї комбінації.
Якщо вектор представлений у вигляді лінійної комбінації векторів , тобто , то кажуть, що вектор розкладений за векторами .
Базисом на площині назвемо два ненульових, неколінеарних вектори цієї площини, взятих в певному порядку.
Нехай на площині заданий базис . Доведемо, що будь-який вектор цієї площини можна єдиним чином розкласти за базисними векторами .
Розглянемо можливі випадки:
1) Вектор колінеарний одному з базисних векторів, наприклад, . Тоді за властивостями добутку вектора на число існує таке число , що або і такий розклад єдиний.
2) Вектор не колінеарний ні одному з базисних векторів. Зобразимо три вектори , , (рис. 5.5). Очевидно, що єдиним чином можна представити у вигляді , де і колінеарні відповідно векторам , а отже існують такі числа і , що , і
. (5.1)
Коефіцієнти і розкладу (5.1) називаються координатами вектора в базисі і записують (,).
Таким чином, кожному вектору на площині в заданому базисі відповідає єдина пара чисел, взятих в певному порядку, і навпаки, кожній парі чисел, взятих в певному порядку, відповідає в заданому базисі єдиний вектор на площині.
Базисом в просторі назвемо три некомпланарних вектори, взятих в певному порядку.
Нехай в просторі заданий базис . Доведемо, що будь-який вектор можна єдиним чином розкласти за базисними векторами .
Розглянемо можливі випадки:
1) Вектор і два базисних вектори, наприклад, компланарні. Як показано вище, або .
2) Вектор не компланарний з жодними двома з базисних векторів. Зобразимо вектори , , , (рис. 5.6). Очевидно, що єдиним чином можна представити у вигляді , де колінеарний , а компланарний з векторами . Тоді існують такі числа , , , що вектор єдиним чином можна представити у вигляді , а . Отже
. (5.2)
Коефіцієнти , , розкладу (5.2) називаються координатами вектора в базисі і записують (,,).
Таким чином, кожному вектору простору в заданому базисі відповідає єдина трійка чисел, взятих в певному порядку, і навпаки, кожній трійці чисел, взятих в певному порядку, відповідає в заданому базисі єдиний вектор.
Відмітимо, що всі координати нульового вектора рівні нулю. Якщо вектор , то .
Базис називається ортонормованим, якщо базисні вектори одиничні і попарно ортогональні.
КІРОВОГРАДСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ... ФАКУЛЬТЕТ ПРОЕКТУВАННЯ І ЕКСПЛУАТАЦІЇ МАШИН... КАФЕДРА ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ ТА ФІЗИКИ...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Розклад вектора за базисом
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Основні поняття
Матрицею (числовою матрицею) називається прямокутна таблиця складена з чи
Дії над матрицями
Додавання. Дія додавання матриць вводиться тільки для матриць однакових розмірів.
Сумою двох матриць
Транспонування матриць
Матриця, отримана з даної заміною кожного її рядка (стовпчика) стовпчиком (рядком) з тим же номером, називається транспонованою до даної.
Матрицю, транспоновану до
Основні поняття
Квадратній матриці А порядку п можна поставити у відповідність число, яке називається її визначником або детермінантом і познача
Властивості визначників
Сформулюємо основні властивості визначників, які справедливі для визначників всіх порядків. Деякі з них пояснимо на визначниках 3-го порядку.
1.Визначник матриці, транс
Розв’язання лінійних систем методом Гауса
Універсальним методом розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь є метод Гауса, який полягає в послідовному виключенні змінних.
Нехай дана система т лінійних рівнянь з п
Основні поняття
Вектор – це направлений відрізок, тобто відрізок, який має певну довжину і певний напрямок. Якщо А – початок вектора, а В – його кінець, то вектор позначають
Лінійні операції над векторами
Лінійними операціями над векторами називають додавання і множення векторів на число.
Нехай
Властивості мішаного добутку.
1. Мішаний добуток не змінюється при циклічній перестановці його множників: .
Дійсно, в цьо
Рівняння лінії на площині
Лінія на площині часто задається як множина точок, що має деякі геометричні властивості, які характерні тільки для цієї множини.
Введення на площині системи координат дозволяє визначити по
Новости и инфо для студентов