И. С. Козлова, Ю. В. Щербакова Начертательная геометрия. Конспект лекций
Лекция № 1. Сведения о проекциях
Центральная проекция
Представление о центральной проекции можно получить, если изучить изображение, которое дает человеческий глаз.
Для построения центральной проекции объекта нужно между глазом и изучаемым предметом поместить прозрачный экран и отметить на нем точки пересечения лучей, которые идут от глаза человека к отдельным точкам предмета. При соединении всех точек на экране получаем изображение (проекцию) фигуры (рис. 2). Эта проекция называется центральной.
Центральная проекция – это проекция, которая образуется с помощью проецирующихся лучей, проходящих через одну точку.
Изображение предметов при помощи центральной проекции встречается очень часто, особенно для предметов, обладающих большими размерами.
Лекция № 2. Точка
Лекция № 3. Прямая
Лекция № 4. Плоскость
Прямая, лежащая в данной плоскости
Прямая принадлежит плоскости Р в том случае, если любые две ее точки лежат в данной плоскости.
Например, если следы прямой лежат на одноименных следах плоскости, то прямая лежит в этой плоскости (рис. 39).
Рассмотрим построение прямой, лежащей в данной плоскости Р.
Первый способ. Возьмем на следах Ph и Pv по одной точке (рис. 40) и рассмотрим их как следы искомой прямой.
Рассматривая следы прямой, легко построить ее проекции.
Второй способ. Одну проекцию прямой, например горизонтальную 1, можно провести (рис. 40). Точки ее пересечения со следом Ph и осью х определят горизонтальные проекции h и v следов искомой прямой. Если соединить прямой фронтальные проекции h́ и v́ следов, можно получить фронтальную проекцию 1́.
Точка, лежащая в данной плоскости
Если необходимо построить некоторую точку в данной плоскости Р, то нужно предварительно провести в этой плоскости одну из прямых и на ней взять искомую точку.
Если задача обратная, т. е. необходимо узнать, лежит ли данная точка в плоскости Р, то нужно провести через эту точку какую-нибудь прямую, лежащую в этой плоскости. Если такую прямую провести нельзя, то исследуемая точка М не лежит в плоскости Р.
Часто в качестве вспомогательной прямой применяют горизонталь или фронталь, хотя можно применять и прямые общего положения.
Покажем построение в плоскости Р произвольной точки (рис. 44).
Для выполнения задания необходимо провести любую горизонталь Г этой плоскости и на ней выбрать некоторую точку М. Данная точка принадлежит плоскости, следовательно, задача выполнена.
Лекция № 5. Взаимное расположение прямых и плоскостей
Прямая, перпендикулярная плоскости
Прямая и плоскость перпендикулярны, если на плоскости можно найти две пересекающиеся прямые, перпендикулярные исходной прямой. В качестве подобной пары контрольных прямых легче всего рассматривать следы плоскости Ph и Pv (рис. 55). Это вызвано тем, что прямой угол между перпендикуляром к плоскости и следом Ph дает проекцию на горизонтальную плоскость без искажения, а угол между перпендикуляром и следом Рv проецируется на фронтальную плоскость V.
Итак, признак перпендикулярности можно задать, используя прямую и плоскость на эпюре.
Прямая является перпендикулярной плоскости, когда проекции прямой перпендикулярны одноименным следам плоскости.
Лекция № 6. Проекции геометрических тел
Лекция № 7. Расположение проекций в черчении
Лекция № 8. Определение натуральных величин
Лекция № 9. Пересечение поверхности многогранника проецирующей плоскостью
Общие понятия
Если пересечь поверхность многогранника плоскостью, то в сечении получается многоугольник. Первая задача заключается в построении проекций многоугольника, получившегося в сечении, затем следует определить натуральный вид этого многоугольника. Также необходимо построить развертку поверхности данного многогранника, причем нужно указать на его поверхности след секущей плоскости.
Призма
На рисунке 95 показано пересечение поверхности прямой призмы фронтально-проецирующей плоскостью Р. Первым делом нужно рассмотреть проекции сечения. Ребра призмы перпендикулярны горизонтальной плоскости и проецируются на ней точками. Здесь горизонтальная проекция а точки А является пересечением ребра KK1 с плоскостью Р, она совпадает с проекцией k. Фронтальная проекция а располагается на следе Рv. Следовательно, горизонтальная проекция áb́ć искомого сечения совпадает с проекцией основания klm. При этом фронтальная проекция аbс расположена на следе Рv. Если располагать двумя проекциями и сечениями, то нетрудно построить третью.
Для определения истинных размеров треугольника ABC нужно совместить плоскость Р с горизонтальной плоскостью путем вращения около горизонтального следа Ph.
Чтобы построить развертку, надо иметь все необходимые элементы на эпюре, основание проектируется без искажения на горизонтальную плоскость, а все ребра с точками пересечения – на фронтальную плоскость.
Начинать построение развертки следует с ребра КК1, поместив его где-нибудь в стороне. На рисунке 96 показаны вспомогательные прямые, проведенные перпендикулярно ребру КК1. После этого от точки К вправо откладывается отрезок KL, равный стороне основания kl. Затем проводят второе ребро LL1, завершая построение натурального изображения грани KK1LL1. Далее справа от этой грани строят натуральное изображение следующей грани LL1M1M и продолжают до тех пор, пока не будет целиком построена развертка боковой поверхности призмы.
После этих действий на всех ребрах отмечают точки А, В и С, откладывая на развертке KA = ḱá, LB = ĺb́ и МС = ḿс́.
Отметим, что на развертке отрезки АВ, ВС и СА имеют натуральные размераы сторон треугольника сечения, который показан на чертеже слева в натуральную величину (треугольник ABC). В связи с этим данные отрезки должны быть равны соответствующим сторонам треугольника. Проверкой точности построения является равенство этих отрезков на чертеже.
Теперь осталось только пристроить к развертке боковой поверхности призмы верхнее и нижнее основания, т. е. два треугольника MKL и M1K1L1. При этом каждый из треугольников строится по трем сторонам.
На рисунке 97 показано пересечение поверхности призмы горизонтально-проецирующей плоскостью Q. Здесь сечением является прямоугольник АА1В1В, одна пара сторон которого АВ и A1B1 проецируется без искажения на горизонтальную плоскость, а вторая пара AA1 и ВВ1 – на фронтальную и профильную плоскости.
Пусть натуральные размеры обеих сторон прямоугольника АА1В1В даны, но в разных местах. Для построения прямоугольника в натуральную величину нужно через а и b провести прямые перпендикулярно q, затем наметить на них где-нибудь положение точек А и В (AB⊥aA). После этого откладываются от точек А к В на вспомогательных линиях натуральные размеры сторон АА1 и ВВ1, при этом их берут с фронтальной проекции.
Строя натуральную величину сечения, мы как бы совместили прямоугольник с горизонтальной плоскостью, вращая его около горизонтального следа АВ (АВ = аb). После чего для удобства немного отодвинули это изображение от линии q.
Построение натурального вида прямоугольника
сечения весьма удобно делать слева от фронтальной проекции призмы (прямоугольник ABB1A1).
Лекция № 10. Пересечение поверхностей тел вращения дважды проецирующей плоскостью
Общие сведения
При пересечении поверхности тела вращения плоскостью Р обычно получают в сечении некоторую кривую линию. Основными задачами являются определение проекции линии, строение натурального вида сечения и развертка рассеченной поверхности тела вращения.
Как правило, кривая линия, полученная в сечении данного тела плоскостью, относится к лекальным кривым. Значит, для точного ее построения необходимо довольно много точек. Чтобы найти точки кривой, применяют метод проведения вспомогательных плоскостей. На рисунке 102 изображен конус, поверхность которого пересекается некоторой фронтальной плоскостью Р. Для получения нескольких точек, которые принадлежат линии сечения (гиперболе), нужно провести вспомогательную горизонтальную плоскость Q. Данная плоскость будет пересекать конус по окружности, а плоскость Р – по прямой линии. Точки, в которых полученная прямая пересекает окружность, принадлежат искомой линии пересечения.
Проведя таким же образом еще несколько вспомогательных горизонтальных плоскостей, будем получаться каждый раз по две точки искомой линии. При получении достаточного числа таких точек, следует соединить их плавной кривой, которая будет являться проекцией искомой линии пересечения.
Следовательно, метод проведения вспомогательных плоскостей заключается в нижеследующем.
1. Проводят вспомогательную плоскость Q так, чтобы линию пересечения ее с данной поверхностью можно было легко построить.
2. Приступают к построению этой линии, а также прямой пересечения плоскостей Р и Q, где Р является данной секущей плоскостью. Здесь общие точки линий пересечения плоскости Q с поверхностью и с данной плоскостью Р относятся к искомому сечению.
3. Выполнив несколько вспомогательных плоскостей, определяют необходимое количество точек сечения таким образом, чтобы искомую кривую можно было строить с помощью лекала.
Для поверхностей вращения любая плоскость, перпендикулярная оси вращения, будет пересекать данную поверхность по окружности. При выполнении чертежа все построения, связанные с нахождением отдельных точек кривой, нужно тонко выполнять карандашом, а после обводки кривой тушью вспомогательные построения удаляются. Благодаря этим линиям можно понять способ получения отдельных точек.
Построение развертки в этом случае возможно только в тех отдельных случаях, когда поверхность относится к числу развертывающихся, т. е. таких поверхностей, которые, будучи разрезаными вдоль какой-нибудь линии, могут быть совмещены с плоскостью (как, например, поверхность цилиндра или конуса). Однако многие поверхности, например шаровая, не могут быть совмещены с плоскостью, в связи с этим построение развертки может выполняться только приближенно.
Лекция № 11. Пересечение поверхности тел вращения проецирующей плоскостью
Лекция № 12. Следы прямой на поверхности геометрических тел
Конус
Пусть нужно найти точки М и N, в которых прямая I встречает поверхность конуса. Для этого рассмотрим рисунке 112, на котором показано нахождение следов прямой на поверхности конуса. Через вершину S и данную прямую I проводят плоскость Р, что показано на рисунке 112, б, причем плоскость Р будет пересекать конус по двум образующим: AS и BS. Упомянутые образующие встретят данную прямую в искомых точках М и N. Тогда найдём проекции точек пересечения (рис. 112, а):
1) плоскость Р определяется точкой S и прямой I, тогда найдем ее след Рh. При этом одна точка следа Ph определяется следом h1 прямой I. Вторая точка искомого следа Ph находится путем проведения в плоскости Р произвольной прямой до встречи с горизонтальной плоскостью. С этой целью соединим точку S с любой точкой С этой прямой и найдем след h2 прямой SC. Прямая, соединяющая точки h1 и h2, будет представлять собой след Ph;
2) затем нужно приступать к нахождению горизонтальных проекций а и b точек пересечения А и В следа Ph с окружностью основания конуса;
3) после этого проводят горизонтальные проекции as и bs, образующих AS и BS, причем их фронтальные проекции не нужны;
4) далее отмечают точки пересечения m и n горизонтальных проекций образующих as и bs с горизонтальной проекцией данной прямой, они будут горизонтальными проекциями искомых точек М и N;
5) в заключение остается найти фронтальные проекции ḿ и ń на фронтальной проекции Í данной прямой.
Лекция № 13. Пространственные линии
Лекция № 14. Сечения и разрезы
Простые и сложные разрезы
Разрезы различают в зависимости от числа секущих плоскостей, при помощи которых получается разрез на данной проекции. Они бывают:
1) простыми, когда имеется только одна секущая плоскость;
2) сложными, когда имеются две или более секущие плоскости, которые совмещаются с данной плоскостью проекций.
Ступенчатым называется разрез в том случае, если сложный разрез получается при помощи параллельных плоскостей.
На рисунке 122 сложный ступенчатый разрез показан при помощи трёх фронтальных плоскостей.
Линия разреза. Если след секущей плоскости на сложных разрезах не совпадает с осью симметрии проекции, то он отмечается штрихами в начале, в местах излома и в конце линии разреза (рис. 122). Буквы для обозначения разрезов берут в алфавитном порядке и не допускают их повторения на одном и том же чертеже.
Оглавление
· Лекция № 1. Сведения о проекциях
· 1. Понятие проекций
· 2. Центральная проекция
· 3. Параллельная проекция
· Лекция № 2. Точка
· 1. Проекции точки на две плоскости проекций
· 2. Отсутствие оси проекций
· 3. Проекции точки на три плоскости проекций
· 4. Координаты точки
· Лекция № 3. Прямая
· 1. Проекции прямой
· 2. Следы прямой
· 3. Различные положения прямой
· 4. Взаимное расположение двух прямых
· 5. Перпендикулярные прямые
· Лекция № 4. Плоскость
· 1. Определение положения плоскости
· 2. Следы плоскости
· 3. Прямая, лежащая в данной плоскости
· 4. Горизонтали и фронтали плоскости
· 5. Точка, лежащая в данной плоскости
· 6. Построение следов плоскости
· 7. Различные положения плоскости
· Лекция № 5. Взаимное расположение прямых и плоскостей
· 1. Взаимное расположение двух плоскостей
· 2. Прямая, параллельная плоскости
· 3. Прямая, пересекающая плоскость
· 4. Прямая, перпендикулярная плоскости
· Лекция № 6. Проекции геометрических тел
· 1. Призма и пирамида
· 3. Цилиндр и конус
· 3. Шар, тор и кольцо
· Лекция № 7. Расположение проекций в черчении
· 1. Линии, применяемые в черчении
· 2. Расположение видов (проекций)
· 3. Отступление от приведенных правил расположения видов
· 4. Число проекций, определяющих данное тело
· Лекция № 8. Определение натуральных величин
· 1. Вращение точки около оси, перпендикулярной плоскости проекций
· 2. Определение натуральной величины отрезка путем вращения
· Лекция № 9. Пересечение поверхности многогранника проецирующей плоскостью
· 1. Общие понятия
· 2. Призма
· 3. Пирамида
· 4. Косые сечения
· Лекция № 10. Пересечение поверхностей тел вращения дважды проецирующей плоскостью
· 1. Общие сведения
· 2. Гипербола как сечение поверхности конуса фронтальной плоскостью
· Лекция № 11. Пересечение поверхности тел вращения проецирующей плоскостью
· 1. Сечение поверхности цилиндра
· 2. Сечение поверхности конуса
· 3. Сечение поверхности шара
· 4. Косые сечения
· Лекция № 12. Следы прямой на поверхности геометрических тел
· 1. Пирамида
· 2. Конус
· Лекция № 13. Пространственные линии
· 1. Цилиндрическая винтовая линия
· 2. Два тела вращения
· Лекция № 14. Сечения и разрезы
· 1. Сечения
· 2. Разрезы
· 3. Частичный разрез или вырыв
· 4. Простые и сложные разрезы