Косые сечения - Лекция, раздел Философия, И. С. Козлова, Ю. В. Щербакова Начертательная геометрия. Конспект лекций Лекция № 1. Сведения о проекциях Пусть Требуется Построить Натуральный Вид Сечения Фронтально-Проецирующей Пло...
Пусть требуется построить натуральный вид сечения фронтально-проецирующей плоскостью тела. На рисунке 110а рассматривается тело, ограниченное тремя цилиндрическими поверхностями (1, 3 и 6), поверхностью конуса (7) и сферой (5). При этом цилиндры 1 и 6 ограничены сверху плоскостью 8, а цилиндр 3 ограничен с двух сторон плоскостями 2 и 4. Следовательно, кроме кривых поверхностей, тело также ограничено тремя плоскостями (2, 4 и 8), причем плоскость 8 не затрагивается секущей плоскостью.
На рисунке 110б показана фронтальная проекция сечения, которая совпадает со следом плоскости. Построим натуральную величину сечения, ограничиваясь лишь одной его половиной.
Построение делают следующим образом:
1) цилиндр 1 пересекается секущей плоскостью по дуге эллипса, большая полуось которого имеется без искажения на главном виде áf́. Здесь центр эллипса располагается на оси симметрии главного вида (точка f́), а отрезок FG является малой полуосью эллипса, которая равна радиусу окружности рассматриваемого цилиндра 1.
Для дуги этого эллипса в сечении мы строили четыре точки: А – конец большой оси (вершина эллипса), G – конец малой оси, С – промежуточная точка и К – точка, в которой заканчивается дуга эллипса;
2) линия пересечения в точке К переходит с поверхности цилиндра 1 на верхнее основание цилиндра 3 (на плоскость 2).
Отрезок KL прямой, по которой секущая плоскость пересечет плоскость 2, изображена в натуральную величину на плане (KL = kl);
3) от точки L до точки R мы располагаем небольшой дугой эллипса, которая соответствует пересечению с боковой поверхностью цилиндра 3;
4) затем пересечение проходит по прямой RN, которая принадлежит плоскости 4 (RN = rn);
5) далее с плоскости 4 линия пересечения переходит на поверхность шара 5, центр которого находится в точке О, а центр окружности, по которой секущая плоскость пересекает поверхность шара, 1 в точке Q. При этом радиус этой окружности равен q́ṕ = QP, им нужно провести дугу из центра Q до встречи с прямой RM в точке N (MN = mn);
6) соответственно от пересечения секущей плоскости с поверхностью цилиндра 6 должна получиться дуга эллипса BE. Здесь цилиндры 1 и 6 имеют общую ось, вследствие чего у обоих эллипсов один и тот же центр находится в точке F;
7) линия пересечения переходит в точке Е на поверхность конуса 7, тогда наклон секущей плоскости по отношению к основанию конуса оказывается больше наклона образующей. Следовательно, мы получаем гиперболу с вершиной в точке Н, а слева от горизонтальной проекции на рисунке 110 построен натуральный вид этого сечения.
Все темы данного раздела:
Понятие проекций
Начертательной геометрией называют науку, которая является теоретическим фундаментом черчения. В данной науке изучаются способы изображения на плоскости различных тел и их элементо
Параллельная проекция
Параллельная проекция – это такой вид проекции, при построении которого используются параллельные проецирующиеся лучи.
При построении параллельных проекций нужно задать на
Проекции точки на две плоскости проекций
Рассмотрим проекции точек на две плоскости, для чего возьмем две перпендикулярные плоскости (рис. 4), которые будем называть горизонтальной фронтальной и плоскостями. Линию пересечения данных плоск
Отсутствие оси проекций
Для пояснения получения на модели проекций точки на перпендикулярные плоскости проекций (рис. 4) необходимо взять кусок плотной бумаги в форме удлиненного прямоугольника. Его нужно согнуть между пр
Проекции точки на три плоскости проекций
Рассмотрим профильную плоскость проекций. Проекции на две перпендикулярные плоскости обычно определяют положение фигуры и дают возможность узнать ее настоящие размеры и форму. Но бывают случаи, ког
Координаты точки
Положение точки в пространстве может быть определено с помощью трех чисел, называемых ее координатами. Каждой координате соответствует расстояние точки от какой-нибудь плоскости пр
Проекции прямой
Для определения прямой необходимы две точки. Точку определяют две проекции на горизонтальную и фронтальную плоскости, т. е. прямая определяется с помощью проекций двух своих точек на горизонтальной
Следы прямой
След прямой – это точка пересечения ее с некоторой плоскостью или поверхностью (рис. 20).
Горизонтальным следом прямой называется некоторая точка H
Различные положения прямой
Прямую называют прямой общего положения, если она не параллельна и не перпендикулярна ни одной плоскости проекций. Проекции прямой общего положения тоже не параллельны и не перпенд
Взаимное расположение двух прямых
Возможны три случая расположения прямых в пространстве:
1) прямые пресекаются, т. е. имеют общую точку;
2) прямые параллельны, т. е. не имеют общей точки, но лежат в одной плоскос
Перпендикулярные прямые
Рассмотрим теорему: если одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций (или лежит в ней), то прямой угол проецируется на эту плоскость без искажения.
Приведем доказательство для
Определение положения плоскости
Для произвольно расположенной плоскости проекции ее точек заполняют все три плоскости проекций. Поэтому не имеет смысла говорить о проекции всей плоскости целиком, нужно рассматривать лишь проекции
Следы плоскости
След плоскости Р – это линия пересечения ее с данной плоскостью или поверхностью (рис. 36).
Линию пересечения плоскости Р с горизонтальной плоскостью называю
Горизонтали и фронтали плоскости
Среди прямых, которые лежат в некоторой плоскости, можно выделить два класса прямых, играющих большую роль при решении всевозможных задач. Это прямые, которые называют горизонталями
Построение следов плоскости
Рассмотрим построение следов плоскости Р, которая задана парой пересекающихся прямых I и II (рис. 45).
Если прямая находится на плоскости Р, то ее следы лежат на одноименных следах
Различные положения плоскости
Плоскостью общего положения называется плоскость, не параллельная и не перпендикулярная ни одной плоскости проекций. Следы такой плоскости также не параллельны и не перпендикулярны
Взаимное расположение двух плоскостей
Для двух плоскостей возможны следующие варианты взаимного расположения: они параллельны или пересекаются по прямой линии.
Из стереометрии известно, что две плоскости параллельны, если две
Прямая, параллельная плоскости
Может быть несколько положений прямой относительно некоторой плоскости.
1. Прямая лежит в некоторой плоскости.
2. Прямая параллельна некоторой плоскости.
3. Прямая пересе
Прямая, пересекающая плоскость
Для нахождения точки пересечения прямой и плоскости необходимо построить линии пересечения двух плоскостей. Рассмотрим прямую I и плоскость Р (рис. 54).
Призма и пирамида
Рассмотрим прямую призму, которая стоит на горизонтальной плоскости (рис. 56).
Ее боковые гран
Цилиндр и конус
Цилиндр – это фигура, поверхность которого получается вращением прямой m вокруг оси i, расположенной в одной плоскости с этой прямой. В случае, когда прямая m
Шар, тор и кольцо
Когда некоторая ось вращения I является диаметром окружности, то получается шаровая поверхность (рис. 66).
Линии, применяемые в черчении
В черчении применяют три основных типа линий (сплошные, штриховые и штрихпунктирные) различной толщины (рис. 76).
Расположение видов (проекций)
В черчении применяются шесть видов, которые изображены на рисунке 85. На рисунке показаны проекции буквы «Л».
Отступление от приведенных правил расположения видов
В некоторых случаях допускаются отступления от правил построения проекций. Среди этих случаев можно выделить следующие: частичные виды и виды, расположенные без проекционной связи с другими видами.
Число проекций, определяющих данное тело
Положение тел в пространстве, форма и размеры определяются обычно небольшим числом соответствующим образом подобранных точек.
Если при изображении проекции какого-то тела обращать внимание
Вращение точки около оси, перпендикулярной плоскости проекций
На рисунке 91 дана ось вращения I, которая перпендикулярна горизонтальной плоскости, и произвольно расположенная в пространстве точка А. При вращении около оси I эта точка опис
Определение натуральной величины отрезка путем вращения
Отрезок, параллельный какой-нибудь плоскости проекций, проецируется на нее без искажения. Если повернуть отрезок таким образом, чтобы он стал параллельным одной из плоскостей проекций, то можно опр
Построение проекций фигуры сечения можно выполнить двояко.
1. Можно найти точки встречи ребер многогранника с секущей плоскостью, после чего соединить проекции найденных точек. В результате этого получатся проекции искомого многоугольника. В этом случае це
Пирамида
На рисунке 98 показано пересечение поверхности пирамиды фронтально-проектирующей плоскостью Р. На рисунке 98б изображена фронтальная проекция а точки встречи ребра KS с плоскостью
Косые сечения
Под косыми сечениями понимают круг задач на построение натуральных видов сечений рассматриваемого тела проецирующейся плоскостью. Для выполнения косого сечения необходимо расчленит
Гипербола как сечение поверхности конуса фронтальной плоскостью
Пусть требуется построить сечение поверхности конуса, стоящего на горизонтальной плоскости, плоскостью Р, которая параллельна плоскости V.
На рисунке 103 показана фронтальная
Сечение поверхности цилиндра
Бывают следующие случаи сечения поверхности прямого кругового цилиндра плоскостью:
1) окружность, если секущая плоскость Р перпендикулярна оси цилиндра, причем она параллельна основ
Сечение поверхности конуса
В общем случае круговая коническая поверхность включает в себя две совершенно одинаковые полости, которые имеют общую вершину (рис. 107в). Образующие одной полости представляют собой продолжение об
Сечение поверхности шара
Любое сечение поверхности шара плоскостью является окружностью, которая проецируется без искажения только в том случае, если секущая плоскость параллельна плоскости проекций. В общем же случае мы б
Пирамида
Чтобы найти следы прямой на поверхности некоторого геометрического тела, нужно провести через прямую вспомогательную плоскость, затем найти сечение поверхности тела этой плоскостью. Искомыми будут
Цилиндрическая винтовая линия
Образование винтовой линии. Рассмотрим рисунок 113а на нем точка М двигается равномерно по некоторой окружности, которая представляет собой сечение круглого цилиндра плоскостью Р. Здесь эта плоскос
Два тела вращения
Метод проведения вспомогательных плоскостей применяется при построении линии пересечения поверхностей двух тел вращения. Суть этого метода заключается в следующем. Проводят вспомогательную плоскост
Сечения
Существуют некоторые определения и правила, которые относятся к сечениям.
Сечение – это плоская фигура, которая была получена в результате пересечения данного тела некотор
Разрезы
Определения и правила, которые относятся к разрезам.
Разрез – это такое условное изображение предмета, когда его часть, находящаяся между глазом наблюдателя и секущей плос
Частичный разрез или вырыв
Разрез называется полным, если изображаемый предмет рассекается целиком, остальные разрезы называются частичными, или вырывами. На рисунке 120 на виде слева и на плане сделаны полные разрезы. Приче
Новости и инфо для студентов