Исследование взаимосвязей качественных показателей.

Качественные показатели (признаки) – это показатели, которые нельзя изменить, но с помощью которых можно сравнивать объекты между собой по степени улучшения или ухудшения этого показателя, то есть ранжировать (упорядочивать) объекты. Для оценки тесноты связей качественных признаков используются следующие показатели.

Коэффициент ассоциации (. Он применяется для оценки тесноты связи между двумя альтернативными показателями (признаками).

Пусть провели n наблюдений за двумя признаками А и Б и получили таблицу результатов (n=):

 

 

Таблица 2

Таблица результатов

Признак Б	Признак А
да	нет
Да
Нет

 

Для оценки тесноты связи между такими показателями вычисляют коэффициент ассоциации :

При этом -1+1. Чем больше значение по модулю, тем теснее связь между показателями. При связь между показателями практически отсутствует.

Коэффициент контингенции (, характеризующий тесноту связи между двумя альтернативными показателями, вычисляется по формуле:

Коэффициент контингенции изменяется в диапазоне -1+1. При связь между показателями практически отсутствует.

Пример. Из 82 студентов специальности, проживающих в общежитии, научно-исследовательской работой занимаются 54. Из 169 студентов специальности, не проживающих в общежитии, НИР занимаются 65 человек. Имеется ли взаимосвязь между проживанием в общежитии и занятием научно-исследовательской работой?

Решение. Вычислим коэффициент ассоциации и коэффициент контингенции для имеющихся данных.

Имеем:

Вывод: наблюдается средняя положительная корреляция между проживанием в общежитии и занятием НИР.

Ранговые коэффициенты Спирмена и Кендалла оценивают степень тесноты связи между двумя ранговыми (качественными, порядковыми) показателями.

Пусть имеем n объектов, которые характеризуются двумя качественными показателями A и B. Проранжируем объекты в порядке ухудшения качества по показателю А и присвоим объектам ранги . Затем при данном расположении объектов пропишем ранг по признаку B. Тогда ранговый коэффициент корреляции Спирмена вычисляется по формуле:

Допустим, что справа от имеется рангов больше, чем , а справа от - рангов больше, чем ,….., справа от - рангов больше, чем . Тогда ранговый коэффициент корреляции Кендалла вычисляется по формуле:

Оба коэффициента по модулю меньше единицы и при больших n межу значениями и наблюдается определенное соотношение /=2/3

Проверка гипотезы о значимости выборочного коэффициента ранговой корреляции Спирмена (=0) осуществляется с использованием T – критерия Стьюдента.

Проверка гипотезы о значимости выборочного коэффициента ранговой корреляции Кендалла (осуществляется использованием критерия, приводящего к нормальному закону распределения.

Пример. На конкурсе инвестиционных проектов 11 участников получили следующие оценки (по стобальной системе) за экологичность (экологическую безопасность) и экономическую обоснованность расчетов:

№ проекта
Экологичность
Экономическая обоснованность

Связаны ли между собой экологичность и экономическая обоснованность расчетов?

Решение. Тесноту связи между экологичностью и экономической обоснованностью расчетов определим с помощью ранговых коэффициентов корреляции. Ранжируем участников конкурса:

№ участника
Ранг за экологичность,
Ранг за экон. обосн.,

 

Вычислим ранговый коэффициент Спирмена:

Справа от имеется =7 рангов больших, чем , справа от имеется больших, чем . Аналогично находим:

=8, =7, , , ,,

Вычислим ранговый коэффициент Кендалла:

Оценим значимость вычисленных коэффициентов Спирмена и Кендалла при уровнях значимости a=0,01, a=0,05, a=0,1

Проверка гипотезы о значимости коэффициента ранговой корреляции Спирмена (осуществляется с использованием T – критерия Стьюдента.

Вычислим наблюдаемое значение критерия:

Для различных уровней значимости по таблице квантилей T – критерия Стьюдента найдем критические точки.

При а=001 =T(;

При а=005 =T(;

При а=0,10 =T(;

При уровнях значимости a=0,05 и а=0,1 данные противоречат гипотезе о незначимости коэффициента Спирмена, то есть между экологичностью и экономической обоснованностью есть связь, а при уровне значимости а=0,01 нет оснований отвергать гипотезу, то есть полученный коэффициент незначим.

Проверим значимость коэффициента ранговой корреляции Кендалла (=0). Вычислим наблюдаемое значение критерия:

Для различных уровней значимости с помощью табличной функции Лапласа найдем критические точки.

;

При а=0,01 ;

При а=0,05

При а=0,10 ;

При уровнях значимости а=0,05 и а=0,1 данные противоречат гипотезе о незначимости коэффициента Кендалла, то есть между экологичностью и экономической обоснованностью расчетов есть связь (это характеризует качество всего проекта), а при уровне значимости а=0,01 нет оснований отвергать гипотезу и полученный коэффициент незначим.

Коэффициент конкордации – характеристика связи между несколькими признаками, измеряемыми в порядковой (ранговой) шкале.

Пусть имеется выборка объема m из генеральной совокупности объема n. X=(, признаки (показатели) , которой можно измерить в порядковой шкале.

Имеем – ранги i-того наблюдения (члена) вариационного ряда j-того признака (j=1,2…..n; j=1,2…..m).

Если при ранжировании имеются совпадающие наблюдения, например, подряд в вариационном ряду идут l одинаковых значений признака , то вместо обычных рангов, определяемых в вариационном ряду, приписывают каждому из этих одинаковых значений одно и то же число, равное средней арифметической их рангов.

Такие полученные ранги называют объединенными или связными, и они могут быть дробными.

Например, имеется ряд величин себестоимости продукции 2,5; 3.0; 8.5; 9.0; 9.0; 9.0; 9.5; 9.5; 9.6; 9.6. Ранги этих значений будут следующие: 1; 2; 3; 5; 5; 5; 7.5; 7.5; 9.5; 9.5.

Коэффициент конкордации (согласованности) вычисляется по формуле:

Для связных рангов вычисления производят по формуле:

где

 

Здесь n_l - число неразличимых элементов (рангов) в l-й группе признака X _j ; M _j,— число таких групп из неразличимых рангов.

Коэффициент конкордации заключен в пределах от 0 до 1.

При R_k <0.3 связь между показателями практически отсутствует.

Для проверки гипотезы о значимости коэффициента конкордации (H₀ : R_K = О) вычисляют исравнивают полученное зна­чение с величиной

Пример. Группа из 5 экспертов оценивает качество однотипной продукции, выпускаемой на 7 предприятиях.

Предпочтения экспертов (их ранги) представлены в таблице:

 

 

Эксперт	Предприятия эедприятия

Взаимосвязаны (согласуются) ли мнения экспертов? Рассчитать коэффициент конкордации и оценить его значимость.

Решение. Вычислим коэффициент конкордации по формуле:

где n = 7 - объем выборки; m = 5 - количество ранговых показателей (экспертов).

 

Промежуточные расчёты представлены в таблице:

Расчетные	Предприятия
величины								Итого
	- 12	- 11

 

Значимость коэффициента конкордации (H₀ : R_k = 0) проверяется по

- распределению.

Вычислим наблюдаемое значение критерия:

Критическое значение найдем по таблице квантилей - распределения по заданному уровню значимости и числу степеней свободы v = п - 1.

Так как ^>, то гипотезу H₀ отвергаем, то есть коэффициент конкордации R_k значим. Значит, мнения экспертов по оценки качества выпускаемой продукции на предприятиях согласуются.