Однорідні координати. Завдання геометричних перетворень в однорідних координатах за допомогою матриць
Однорідні координати. Завдання геометричних перетворень в однорідних координатах за допомогою матриць - раздел Философия, Тема 2. Програмне забезпечення комп’ютерної графіки У Попередній Главі Описувалися Геометричні Перетворення На Площині Й У Просто...
У попередній главі описувалися геометричні перетворення на площині й у просторі, а також було показано, як можна використовувати апарат матриць для таких завдань. Для перетворень на площині застосовувалися двовимірні вектори й матриці розмірністю . У просторі, відповідно, із цією же метою використовувалися тривимірні вектори й матриці . Але такий підхід не дозволяє задавати за допомогою матриць перетворення переносу й проекції. У зв'язку із цим у проективній геометрії був розроблений апарат, що дозволяє уніфікувати всі геометричні перетворення шляхом введення так званих однорідних координат.
Для пояснення такого підходу спочатку розглянемо випадок двовимірного простору. Кожна крапка площини з координатами може одночасно розглядатися як крапка тривимірного простору з координатами , тобто як крапка, що лежить на площині . З іншого боку, кожній крапці тривимірного простору за умови відповідає єдина крапка цієї ж площини . При цьому виходить, що кожній крапці площини відповідає пряма, що проходить через початок координат, тобто встановлюється взаємно однозначна відповідність між крапками площини й безлічами .
Якщо тепер розглядати крапку площини як приналежному тривимірному простору, то її двовимірні перетворення можна буде описувати за допомогою матриць , причому можна буде задавати таким способом не тільки повороти й масштабування, але й зрушення й проекції (як ортографичні, так і центральні).
Поворот на кут відносно початку координат можна здійснити за допомогою нової матриці повороту:
Операція масштабування може бути записана у вигляді
Перенос на вектор також можна задати за допомогою матриці:
Проекції крапки на осі координат визначаються за допомогою матриць проекції:
Перейдемо тепер до тривимірного простору. Кожній крапці будемо ставити у відповідність крапку чьотирьохмірного простору , а для виконання основних перетворень будемо використовувати матриці розмірністю . Будуються вони зовсім аналогічно тому, як це робилося у двовимірному випадку. Матриця зрушення на вектор має вигляд
матриця масштабування теж очевидним образом будується із тривимірної матриці:
Проекції крапок на координатні площини здійснюються за допомогою матриць (більш докладно проекції і їхніх видів будуть розглянуті пізніше):
Множення цих матриць на вектор приводить до того, що обнулюється одна з координат, і в результаті одержуємо проекцію крапки на відповідну площину.
Матриця повороту щодо осі на кут виглядає в такий спосіб:
Звідси легко зрозуміти, як будуються матриці повороту щодо інших координатних осей, а також матриця повороту щодо довільної осі. Просто беремо матриці, побудовані в третьому розділі, і розширюємо їх шляхом додавання вже відомих одиничних вектора-рядка й вектора- стовпця:
Шляхом об'єднання наведених елементарних перетворень можна побудувати й більше складні. У третьому розділі ми використовували добуток простих матриць обертання для побудови матриці повороту щодо довільної осі. Приведемо один приклад.
Нехай у просторі задані два відрізки - і . Будемо будувати матрицю перетворення, що переводить перший відрізок у другий. Це перетворення розкладемо на наступні елементарні дії.
1. Зрушення, що переміщає крапку в крапку .
2. Зрушення початку координат у цю же крапку.
3. Якщо відрізки неколінеарні:
- будується вектор нормалі до площини, у якій лежать відрізки (для цього можна використовувати векторний добуток вихідних векторів);
- поворот щодо вектора нормалі, що сполучає два відрізки по напрямку (кут повороту можна визначити за допомогою скалярного добутку вихідних векторів).
4. Масштабування з метою вирівнювання довжини відрізків.
5. Повернення початку координат у вихідну точку.
Кожне із цих перетворень реалізується за допомогою матриці, а повне перетворення можна виконати, використовуючи добуток матриць.
Використання матриць дуже зручно для виконання перетворень у просторі, хоча в деяких випадках це приводить до надлишкового числа виконуваних операцій. Наприклад, поворот однієї крапки в просторі щодо координатної осі за допомогою матриць в однорідних координатах вимагає 16 операцій множення й 12 операцій додавання. У той же час він легко може бути виконаний за допомогою формул перетворення
т.е. за допомогою всього лише чотирьох множень і одного додавання й одного вирахування. Операції зрушення також набагато більш економічно виконувати без використання матриць. Але коли мова йде про суперпозицію багатьох перетворень (як, наприклад, у випадку повороту щодо довільної осі), те доцільно застосовувати відповідну матрицю повороту. Ефективність матричного підходу дуже сильно зростає, якщо матричні операції реалізовані апаратно. Питання про те, у яких випадках використовувати матриці, а в яких ні, багато в чому залежить від можливостей обчислювальної техніки, рівня складності завдання й вимог до тимчасових характеристик процесу візуалізації.
Коротка історія
У цьому короткому історичному нарисі ми будемо згадувати алгоритми й методи, з якими читач зможе познайомитися в даному курсі. Ці попередні згадування не повинні бентежити при першому прочитанні. П
Коротка історія
У цьому короткому історичному нарисі ми будемо згадувати алгоритми й методи, з якими читач зможе познайомитися в даному курсі. Ці попередні згадування не повинні бентежити при першому прочитанні. П
ЛЕКЦИЯ 2. Програмне забезпечення комп’ютерної графіки
Якість цифрового зображення, незалежно від того, чи зберігається воно на диску, проглядається на моніторі чи виводиться на друк – базується на малих складових елементах зображення.
Програмні компоненти обчислювальної машини
Програмне забезпечення ЕОМ складається з операційної системи; сервісного програмного забезпечення та прикладних (спеціалізованих) програм.
Операційна система (ОС) – це набір програм
Основні поняття
У попередньому розділі було розказано про растр як про абстрактний математичний об'єкт. При фізичній реалізації растрів виникають додаткові характеристики. Основний з них є Розв'язна здатні
Сканери
Сканер - пристрій одержання зображень високого дозволу (до 11000 spi). Принцип роботи складається в послідовному висвітленні скануємого матеріалу ксеноновою або флюоресцентною лампою й реєстрації в
Дисплеї на ЕЛТ
Найпоширеніший5)тип дисплеїв середнього розміру. Заснований на використанні ЕЛТ - Електронно-Променевої Трубки (англ. CRT). ЕЛТ улаштована в такий спосіб.
Елект
Інші типи дисплеїв
Також існують менш розповсюджені типи дисплеїв, у тому числі й ті, які тільки з'являються на ринку.
- Плазмені панелі. У плазменихх панелях, подібно Рк-Панелям, екран скла
Проектори
Проектори використовуються для демонстрації зображень більших розмірів. Для цього застосовуються системи лінз, що проектують маленьке зображення на великий екран. За технологією побудови первинного
Лазерні принтери
Лазерні принтери є найефективнішими з погляду вартості печатки сторінки. У цей час переважають у чорно-білій пресі.
Принцип дії наступний:
Спочатку на всю поверхню барабана з фото
Архітектура
За вивід графічної інформації на дисплей у ПК відповідає спеціальний набір мікросхем, поміщається звичайно на окрему плату, що називається відеоплатою або відеокартою
Подання зображень
Тепер варто докладніше зупинитися на форматах подання растрових зображень у пам'яті. Звичайно піксели описуються набором ненегативних цілих чисел. Зображення звичайно зберігаються построчно; у кожн
Програмний інтерфейс
Найперші ПК, що з'явилися на початку 1980-х років, працювали винятково в текстовому режимі. У цьому режимі найменшим примітивом при виводі на дисплей є символ цілком, а не окремі піксели. Хоча можн
Математичні основи векторної графіки
В основі векторної графіки лежать математичні представлення про властивості геометричних фігур. Найпростішим об’єктом векторної графіки є лінія, тому, в основі векторної графіки лежить насамперед м
Геометричні примітиви
Під геометричними примітивами розуміють той базовий набір геометричних фігур, що лежить в основі всіх графічних побудов, причому ці фігури повинні утворювати "базис" у тому розумінні, що
Полігональні моделі
Для цих просторових моделей використовуються як примітиви вершини (крапки в просторі), відрізки прямих (вектори), з яких будуються полілінії, полігони й по
Воксельні моделі
Воксельна модель - це подання об'єктів у вигляді тривимірного масиву об'ємних (кубічних) елементів. Сама назва "воксель" складено із двох слів: volume element. Так само як і піксель, вокс
Воксельні моделі
Воксельна модель - це подання об'єктів у вигляді тривимірного масиву об'ємних (кубічних) елементів. Сама назва "воксель" складено із двох слів: volume element. Так само як і піксель, вокс
Векторна графіка
У векторному способі кодування, геометричні фігури, криві і прямі лінії, що складають малюнок, зберігаються в пам'яті комп'ютера у вигляді математичних формул і геометричних абстракцій, таких як: к
Основні поняття векторної графіки
У растровій графіці основним елементом зображення є точка, а у векторній графіці основним елементом зображення є лінія, яку ще називають вектором, звідки і пішла назва – векторна графіка (пр
Формати векторних зображень
Векторні формати зберігання даних є універсальними, оскільки в них можна зберігати крім векторних зображень, ще й растрові. Розробники векторних графічних програм надають перевагу власним форматам,
Редактори векторної графіки загального призначення
Графічні редактори, призначені для роботи з векторною графікою, умовно діляться на дві групи: програми для загального використання та спеціалізовані, призначені для конкретного прикладного використ
Векторизатори
Інколи виникає потреба переведення растрових зображень у векторні. Особливо це актуально при створенні електронних версій креслень, карт місцевості, планів та схем, тобто
інженерно-технічн
Растрова графіка.
Призначення растрової графіки:
1) для редагування різних типів цифрових зображень, у тому числі фотографій;
2) для виконання колірної корекціїзображення;
3) для ст
Формати та редактори растрових зображень
Формат зображення – це спосіб кодування графічного зображення. Розміри графічних файлів зазвичай є досить великими, тому використовують різні алгоритми стискання даних, а вибір потрібного формату е
Можливості графічного пакета AutoCAD 2006. Завантаження AutoCAD
AutoCAD2006 працює під керуванням операційної системи Windows, яка автоматично завантажується після включення комп’ютера. На екрані з’являється робочий стіл Windows. Подвійне клацання лівою клавіше
Графічний інтерфейс AutoCAD2006
Інтерфейс AutoCAD 2006 створений з урахуванням найсучасніших технологій та засобів спілкування користувача з персональним комп’ютером, що спрощує роботу в середовищі AutoCAD 2006 та гарантує високо
Зберігання креслення
Зберігання файлу креслення AutoCAD 2006 таке саме, як і зберігання будь - якого файлу у Windows. Необхідно взяти за правило зберігати поточне креслення кожні 10 – 15 хвилин. Це позбавить користувач
Створення нової папки
Для зберігання виконаних креслень користувач повинен створити свою власну папку, яка може бути підкаталогом у іншій папці. Назва папки повинна мати ім’я, яке легко запам’ятовується.
Для ст
Завантаження існуючого креслення
Для того щоб завантажити вже існуючий файл креслення при запуску AutoCAD, необхідно вибрати режим запуску Open a Drawing (Відкрити креслення) (рис. 3.1) у діалоговому вікні Start Up. У відповідь си
Системне меню AutoCAD
Команда може бути введена із системного меню, зміст якого наведений на рисунку 38.
Контекстні меню
Команда може бути введена із контекстного меню, яке виводиться на екран натисканням правої клавіші миші. Це меню значно скорочує роботу користувача, позбавляючи його від необхідності шукати потрібн
Панелі інструментів
Панелі інструментів дозволяють запускати виконання команди AutoCAD простим клацанням миші на вибраній піктограмі – найбільш швидкий запуск команди. AutoCAD містить 24 панелі інструментів. При першо
Створення комфортних умов праці
Користувач має можливість вносити різні зміни у стандартне настроювання AutoCAD для створення комфортних для себе умов праці.
Під створенням комфортних умов розуміють таке:
- пере
Настроювання параметрів майбутнього креслення
Настроювання параметрівкреслення – доволі трудомістка операція, тому її рекомендовано виконувати на стадії створення шаблону. Це дозволить надалі виконувати креслення із застосуванням шаблонів, що
Створення креслення по шарах
Робочі креслення у середовищі AutoCAD зручно створювати по шарах. За кожним шаром встановлюються певне ім’я, колір, тип та товщина лінії. Створення шару – один із найважливіших етапів настроювання
Особливості нанесення розмірів засобами AutoCAD
Доступ до команд нанесення розмірів у AutoCAD відбувається із системного меню або панелі інструментів Dimension (Розміри). Щоб вивести на екран панель інструментів Dimension (рис. 61), клацніть пра
Системи координат
AutoCad дозволяє будувати об’єкти у будь-якій площині тривимірного простору. Для спрощення будування об’єктів у площині, не паралельній площині побудови XY, необхідно задати систему координат так,
Рівень і висота
Площина екрану, яка збігається з площиною XY світової системи координат, називається площиною побудов. Будуючи двовимірні об’єкти, можна змінювати їх рівень, тобто керувати переміщенням площини поб
Твердотільні моделі. Будування стандартних тривимірних тіл
Складні твердотільні моделі або тіла будуються як конструкції складені з окремих блоків – тривимірних примітивів, до яких застосовують теоретико множинні операції об’єднання, віднімання, перетину,
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
. У просторі, відповідно, із цією же метою використовувалися тривимірні вектори й матриці 
. Але такий підхід не дозволяє задавати за допомогою матриць перетворення переносу й проекції. У зв'язку із цим у проективній геометрії був розроблений апарат, що дозволяє уніфікувати всі геометричні перетворення шляхом введення так званих однорідних координат.
може одночасно розглядатися як крапка тривимірного простору з координатами 
, тобто як крапка, що лежить на площині 
. З іншого боку, кожній крапці тривимірного простору 
за умови 
відповідає єдина крапка цієї ж площини 
. При цьому виходить, що кожній крапці площини 
.
відносно початку координат можна здійснити за допомогою нової матриці повороту:
також можна задати за допомогою матриці:
, а для виконання основних перетворень будемо використовувати матриці розмірністю 
. Будуються вони зовсім аналогічно тому, як це робилося у двовимірному випадку. Матриця зрушення на вектор 
має вигляд
на кут 
і 
. Будемо будувати матрицю перетворення, що переводить перший відрізок у другий. Це перетворення розкладемо на наступні елементарні дії.
в крапку 
.
за допомогою матриць в однорідних координатах вимагає 16 операцій множення й 12 операцій додавання. У той же час він легко може бути виконаний за допомогою формул перетворення
Новости и инфо для студентов