У теорії масового обслуговування важливе значення має формула Литтла (закон збереження стаціонарної черги), яка дозволяє обчислювати середню кількість вимог, що знаходяться в системі. Щоб отримати формулу Литтла, розглянемо СМО загального виду, яку зображено на рисунку 5.1 у вигляді «чорного ящика», і будемо спостерігати за її вхідними та вихідними потоками вимог.
Рисунок 5.1 – СМО загального виду
Процес α(t) – деякий випадковий процес надходження вимог до системи за проміжок часу (0, t). Процес δ(t) визначає вихідний потік вимог із системи на цьому ж проміжку. Відобразимо обидва випадкових процеси у вигляді графіків, наведених на рисунку 5.2.
Рисунок 5.2 – Вхідні та вихідні випадкові процеси в СМО
Кількість вимог, що знаходяться в системі в будь-який момент часу t, можна знайти як N(t) = α(t) – δ(t).
Заштрихована площа між двома кривими γ(t) визначає загальну роботу (добуток кількості вимог на час перебування їх у СМО) на проміжку часу (0, t), яка вимірюється у вимогах за секунду.
Інтенсивність надходження вимог до СМО за час спостереження (0, t) можна визначити як
, (5.7)
а середній час перебування вимог у системі за той же проміжок часу як
. (5.8)
Середня кількість вимог, що перебували в системі за проміжок часу (0,t)
. (5.9)
Використовуючи вирази (5.7) – (5.9), отримаємо та ку формулу
(5.10)
Для того щоб СМО була в стані рівноваги, потрібно, щоб середній час перебування вимог у системі був більшим за середній час їх обслуговування. Припустимо, що для СМО, яка розглядається, і , де λ – інтенсивність надходження, а Т— середній час перебування вимог у системі. У цьому випадку існує також межа для середньої кількості вимог, які знаходяться в системі, тобто .
Тоді з формули (5.10) отримаємо формулу Литтла у такому вигляді:
Отже, для будь-якого закону розподілу проміжків часу між двома моментами надходження вимог і будь-якого розподілу часу їх обслуговування, кількості пристроїв для обслуговування та дисципліни обслуговування середню кількість вимог, що знаходяться в СМО, визначають через інтенсивність надходження та середній час перебування вимог у системі.
Інтуїтивне доведення формули Литтла базується на тому, що кількість вимог у системі в момент надходження нової вимоги, буде такою ж, як і в момент, коли вимога залишає систему. Це свідчить про те, що СМО перебуває в стані рівноваги або сталому стані, тобто вимоги не можуть знаходитись у системі нескінченно довго і завжди залишають її. Як бачимо, під час виведення формули Литтла ніяких обмежень на тип СМО немає. Можна, наприклад, вважати, що СМО складається тільки з однієї черга або з одного пристрою для обслуговування.
5.2.3 Одноканальні системи масового обслуговування
Розглянемо одноканальну СМО з одним пристроєм для обслуговування S і чергою до нього q, яку зображено на рисунку 5.3.
Рисунок 5.3 – СМО з одним пристроєм для обслуговування
Якщо позначити через ω середній час перебування вимоги в черзі, то з формули Литтла можна отримати середню кількість вимог у черзі:
Якщо позначити середній час обслуговування вимоги в пристрої через і розглядати СМО як таку, що має один пристрій, то, використовуючи формулу Литтла, можна знайти середню кількість вимог у пристрої для обслуговування:
Для СМО з одним пристроєм для обслуговування завжди має місце рівність
,
де Т – середній час перебування вимоги в системі.
Коефіцієнт завантаження пристрою для обслуговування ρ можна визначити:
ρ – це ймовірність того, що під час надходження вимоги до системи пристрій буде зайнято.
Найпростіша одноканальна система МО є модель такого типу:
Граф станів
2 стани
S0 – канал вільний (очікування)
S1 – канал зайнятий (обслуговування)
P0 – ймовірність, що канал вільний
Р1 – ймовірність, що канал зайнятий.
Необхідно визначити абсолютну і відносну пропускні здатності.
Складемо диференціальне рівняння Колмогорова для визначення ймовірностей станів:
(5.11)
P0(t) + P1(t) = 1.
Розв’язок системи має вигляд:
(5.12)
Для одноканальної системи Р0 – ймовірність того, що в момент t канал вільний і заявка, що надійшла в цей момент буде обслужена, тобто це є відносна пропускна здатність q = P0.
При t → ∞ досягається встановленого режиму, тому
. (5.13)
Знаючи відносну пропускну здатність легко знайти абсолютну – середнє число заявок, які може обслужити СМО за одиницю часу:
(5.14)
Ймовірність відмов = Р1
(5.15)