Приклад 5.2.

Розглянемо часову діаграму роботи багатоканальної СМО з 2 пристроями для обслуговування і буфер ємністю 2. Задано час проходження вимоги і час, коли вона залишила систему. Час спостереження = 55хв.

 

 

Рисунок 5.6 - Часова діаграма роботи багатоканальної СМО

На основі цієї діаграми розрахуємо деякі характеристики ефективності роботи СМО:

1. Імовірність обслуговування вимоги:

-загальна кількість вимог

- кількість обсл.

1. Пропускна здатність СМО

вимоги/хв.

3. Імовірність відмови в обслуговуванні

4 Імовірність того, що вимога застане 2 пристрої вільними:

5 Імовірність того, що обслуговуванням зайнятий тільки один пристрій:

6 Імовірність того, що обслуговуванням зайняті 2 пристрої:

7 Середня кількість пристроїв зайнятих обслуговуванням:

8 Імовірність того, що в черзі відсутні вимоги:

9 Імовірність того, що в черзі 1 вимога:

10 Імовірність того, що в черзі 2 вимоги:

11 Середня кількість вимог в черзі:

12 Середній час перебування вимог в черзі:

хв.

12 Середній час перебування вимог в черзі, без врахування тих, що не чекали:

хв.

- кількість вимог, що чекали в черзі.

13 Середній час обслуговування вимоги пристроями:

хв.

14 Загальний середній час перебування вимоги у СМО:

 

хв.

15 Середня кількість вимог у системі обслуговування:

 

У теорії МО розглядаються багатоканалні СМО типу М/М/m з m пристроями 2-ох типів.

1) З відмовами, коли зайняті всі m пристроїв і вимога отримає відмову в обслуговуванні;

2) З очікуванням, коли зайняті m пристрої і вимога чекає в черзі (к-сть місць очікування).

Якщо в системі (m+n) вимог, надходить нова то вимога отримує відмову. Для кожного з цих двох випадків можна побудувати систему диференційних рівнянь, які опусують усі стани СМО.

 

1. Імовірність того, що всі пристрої для обслуговування вільні:

,

якщо ,де – сер час обслуговування вимоги.

2. Імовірність того, що зайнято обслуговуванням k пристроїв, або знаходяться k вимог:

3. Імовірність того, що всі пристрої зайняті :

4. Імовірність того, що всі пристрої зайняті обслуговуванням і n вимог знаходяться у черзі.

5. Середня довжина черги:

6. Середня кількість вільних від обслуговування пристроїв:

7. Середня кількість зайнятих обслуговуванням пристроїв

8. Середній час очікування вимогою початку обслуговування в системі:

.

 

6 МЕРЕЖІ СМО

 

Мережі – це системи, кожний вузол яких є окремою СМО. За допомогою мереж СМО моделюють транспортні, технологічні та обчислювальні системи. Аналіз мереж СМО є набагато складнішим, ніж окремих СМО.

Для обчислення показників роботи комп’ютерів і комп’ютерних систем запропоновано методи операційного аналізу, який надає математичний апарат для аналізу технічних і економічних систем багатьох типів і дозволяє легко визначити показники їх роботи. Він базується на моделюванні логіки роботи системи, що дає змогу встановити прості залежності між параметром і показниками роботи системи.

У загальному випадку мережу СМО можна зобразити у вигляді графа, вершинами якого є однокальні або багатокальні СМО (дуги – це потоки пересування вимог).

Найпростіша мережа утворюється шляхом послідовного з’єднання кількох СМО (багатофазове). Є замкнені і розімкнені.

Для замкненої стохастичної мережі не існує зовнішніх джерел вимог, тобто в ній завжди знаходиться однакова кількість вимог. Замкнена мережа ізольована від зовнішнього середовища. У розімкненій існують джерела і стоки вимог.

 

Рисунок 6.1 - Розімкнена МСМО

 

Найпростіша замкнена мережа має 2 вузли : перший містить М пристроїв для обслуговування, а другий – N. Така мережа – це модель СМО з відмовами і відновленнями. Пристрої для обслуговування М можуть виходити з ладу та відновлюватись із заданими інтенсивностями у випадкові моменти часу. У цій мережі постійно знаходиться М вимог, які з’являються в разі відмови пристроїв обслуговування. Якщо пристрій виходить з ладу, до бригади з N ремонтниками надходить вимога на його ремонт, після завершення якої пристрій відновлює свою роботу.