Лекція №1 Наука про опір матеріалів

 

Лекція №1

Тема.

 

Вступ. Наука про опір матеріалів. Об'єкти вивчення.

Опір матеріалів - це наука про інженерні методи розрахунків на міцність, жорсткість і стійкість елементів машин та споруд. Під міцністю розуміють здатність конструкції, її частин та деталей витримувати певне навантаження не руйнуючись.

Жорсткість - це здатність конструкції та її елементів протистояти деформуванню (змінювання форми та розмірів) під дією зовнішніх сил.

Стійкістю називають здатність конструкції або її елементів зберігати певну початкову форму пружної рівноваги.

Об'єкти вивчення опору матеріалів

Стержнем називається тіло в якого один розмір (довжина) перевищує два інших (поперечних) розміру. Стержні в залежності від виду поперечного перерізу бувають:

1. Круглого перерізу;

2. Квадратного, прямокутного;

3. Прокатного профілю;

Оболонка - це тіло, обмежене криволінійними поверхнями, які розташовані на близькій відстані одна від одної.

Поверхня рівновіддалена від зовнішніх поверхонь оболонки називається серединою. За формою серединною поверхні оболонки розрізняються на циліндричні, конічні, сферичні. Якщо серединна поверхня - є площиною, то

 

розрахунковий об'єкт називають пластинкою. Тіла, в яких всі три розміри одного порядку називають масивними.

 

Види деформації стержня. Поняття про деформований стан матеріалу.

Реальні тіла можуть деформуватися, тобто змінювати свою форму і розмір. Деформації тіл відбуваються внаслідок навантажування їх зовнішніми силами або зміни температури. Деформації бувають пружні, тобто такі, що зникають після припинення дії сил, які спричинили їх, та пластичні, або залишкові, - ті, що не зникають. В опорі матеріалів вивчають такі основні види деформації стержня.

а) Розтягання (стиску):

 

 

3.Кручення

 

 

 

4. Згин

5. Деформація, що виникає при складному опорі(згин з крученням, згин з розтягом-стиском).

 

 

Основні гіпотези науки про опір матеріалів

1. Гіпотеза про суцільність матеріалу. Припускається що матеріал суцільно заповнює форму тіла.

2. Гіпотеза про однорідність та ізотропність. Матеріал вважається однорідним та ізотропним, тобто в будь-якому об'ємі та в будь-якому напрямі властивості матеріалу вважаються однаковими.

3. Гіпотеза про малість деформації. Припускається що деформації малі порівняно з розмірами тіла.

4. Гіпотеза про ідеальну пружність матеріалу. Припускається, що всі тіла абсолютно пружні.

 

Зовнішні і внутрішні сили. Метод перерізів.

Зовнішніми силами називають сили взаємодії між розглядаємим елементом конструкції та пов'язаними з ним тілом.

Зосереджена сила

 

2.

Рівномірно розподілене навантаження

 

Рівнодійна розподіленого навантаження чисельно рівна площі його епюри в прикладена в центрі її ваги.

3. Зосереджений момент

 

4. Крутний момент

 

Бувають навантаження, які не є наслідком контакту двох тіл наприклад сила інерції, власна вага. Ці сили прикладені в кожній точці об'єму, яке займає тіло і тому називається об'ємними або масовими.

Внутрішні сили

Між сусідніми частинами тіла завжди є певні сили взаємодії, тобто внутрішні сили, які в усіх випадках намагається зберегти тіло як єдине ціле, протидіють зовнішнім силам, що прикладені до тіла. Внутрішні сили часто називають зусиллям. Для виявлення внутрішніх сил в опорі матеріалів широко застосовують метод перерізів.

 

 

Розглянемо довільне тіло

Проведемо переріз

 

 

Внутрішні сили можна звести до однієї точки (як правило це центр ваги перерізу), внаслідок чого маємо головний вектор та головний момент внутрішніх сил

 

 

Якщо головний векторта головний момент М спроекціювати на осіто на кожному боці маємо шість внутрішніх силових факторів: три силита три моменти. Ці

величини називають внутрішніми зусиллями стержня в перерізі стержня.

 

 

 

Зусилля N спричиняє поздовжню деформацію стержня

(розтягання або стискання) і зветься поздовжня сила.

та спричиняє зсув боків перерізу відповідно в напрямку

осейта у, вони звуться поперечні сили або перерізуючи сили.

спричинює кручення перерізу зветься крутний момент

спричинюють згин, звуться згинальні моменти

 

Напруження в перерізі

Розглянемо нескінченно малий елемент площіУнаслідок малості елемента можна вважати, що внутрішні зусилля, які діють в його різних точках, однакові за модулем та напрямом. Тоді їхня рівнодійнабуде проходити через центр ваги елемента', координати якого та.

 

 

Отже, зводячи все до центра ваги елемента матимемо головний векторта головний момент, що дорівнює 0

, т.к. центр ваги тоді:

 

- нормальне напруження

- дотичні напруження
Одиниці виміру напружень (Па)

Отже, напруженням називається внутрішня сила віднесена до одиниці площі в даній точці

 

Повне напруження:

 

, тобто значення повного зусилля, яке припадає на одиницю площі.

Очевидно:

Статичні рівняння та інтегральні рівняння рівноваги

-відстань від центра ваги перерізу до лінії дій

 

ЛЕКЦІЯ № 2

Геометричні характеристики плоских перерізів

 

Опір стержня різним видам навантаження, тобто його міцність залежить не тільки від матеріалу та розмірів стержня, а й від форми поперечного перерізу та розташування, тобто від геометричних характеристик перерізу.

Геометричні характеристики - це площа, статичний момент площі, момент інерції, радіус інерції, момент опору.

Розглянемо методи їх визначення:

1. Статичний момент площі. Координати центру ваги.

Розглянемо довільну фігуру (поперечний переріз стержня). Добуток елемента площіна відстань у від осіназивається статичним моментом елемента площівідносно осі. Аналогічно для осі

-це статичні моменти елементаплощі відносно осей- цета- це

Статичний момент площі відносно осі - це сума добутків площ нескінченно малих площадокна їх відстань до цієї осі

Статичний момент може бути,, та. Осі, що проходять через центр ваги і відносно яких, звуться центральними

Якщо С - центр ваги перерізу, то на підставі теореми про момент рівнодійної системи сил (теорема Вариньона):

-де та с координати центра ваги, звідси

Для складної фігури:

- тут- площі елементарних фігур, на які розбивається складний переріз.,- координати центрів ваги елементів (простих фігур), беруться з урахуванням знаків.

Координати центра ваги складного перерізу:

 

Якщо у складного перерізу є отвори, то вони додаються з від'ємною площею.

2. Моменти інерції плоских перерізів.

Осьовим моментом інерції площі фігури називають інтеграл добутків елементарних площ на квадрати їх відстаней до розглядаємої осі.

Полярний момент інерції:

Якщо

- завжди (лише додатний знак).

 

Відцентрований момент інерції - це інтеграл

він може бути,, таОсі відносно яких

звуться головними осями інерції.

 

Дві взаємно перпендикулярні осі, з яких хоча б одна є віссю симетрії фігури, завжди будуть її головними осями інерції. Головні осі, що проходять через центр ваги перерізу, називають головними центральними осями. Осьові моменти інерції відносно головних центральних осей екстремальні, тобто один з них максимальний, інший - мінімальний.

Моменти інерції відносно осей, які паралельні

центральним.

Нехай відомі моменти інерції фігури вадносоно центральних осей та

 

Визначим момент інерції відносно осей які паралельні центральним, тобто

 

 

Координати довільної точки в системібудуть дорівнювати:

 

 

Підставимо тау формулу для визначення моментів інерції і проінтегруємо почлено:

так як статичний момент площі

 

відносно центральної осі Z.

Тоді

 

Аналогічно

 

Відс тані а тау цих формулах слід підставляти з урахуванням їх знаків.

 

 

Визначення моментів інерції

 

1. Прямокутник.

Момент інерції

 

Площа елементарної частинки

 

 

Аналогічно

 

Момент інерції відносно центральних осей знаходимо по формулам паралельного переносу;

 

 

А налогічно

2. Трикутники.

 

 

 

Момент інерції відносно осі що проходить через основу :

 

 

Площа елементарної площадки :

 

 

из подобия треугольника

 

 

Проінтегруємо :

 

Моменти інерції відносно осей, які проходять через центр ваги трикутника знайдемо по формулам паралельного переносу

 

 

3. Коло та його частини.

 

 

Полярний момент інерції кола :

 

 

 

 

Площа елементарної площини :

 

Тоді

 

 

Так як а в силу симетрії

 

 

 

Для напівкола :

 

 

 

Для чверті кола

 

 

 

Момент інерції прокатних проділів(двотавр, кутник, швелер) визначається по таблицям сортаменту.

Момент інерції складних перерізів визначається як сума моментів інерції простих елементів на які розбивається складний переріз.

 

 

Додаються моменти інерції які беруться відносно тієї ж самої осі. Якщо в перерізі є отвори, то їх вважають елементами з від'ємною площею.

 

 

 

 

Радіуси інерції

Момент інерції фігури відносно будь-якої осі можна подати у вигляді добутку площі фігури на квадрат деякої величини,що називається радіусом інерції.

 

де - радіус інерції відносно осі Z

Тоді радіус інерції знаходиться як

 

 

 

Моменти опору

Основний момент опору - це відношення моменту інерції відносно даної осі до відстані до найбільш віддаленої точки попереднього перерізу,тобто

 

- відстані, тобто зі знаком «+»

 

Практичне значення мають моменти опору,моменти інерції і радіуси інерції відносно головних центральних осей

 

 

 

У розрахунках на міцність використовуємо момент інерції складних перерізів відносно головних центральних осей. Це такі осі,відцентрований момент відносно яких дорівнює О.Позначимо такі осі як V таU

 

 

Повертаючи осіта Z можна знайти таке їх положення,при якому відцентровий момент інерції дорівнюватиме О

 

 

Верхні знаки беруть коли

 

 

ЛЕКЦІЯ №

 

Розтяг - стиск

Розтяг або стиск стержня спричинюється силами, що діють уздовж його осі. У цьому випадку в поперечних перерізах стержня із шести внутрішніх силових факторів виникає лише один - поздовження (осьова сила)

 

 

 

Для визначення силинеобхідно побудувати її графік, або епюру.

Епюра - це графік (діаграма), яка показує як змінюється внутрішні зусилля при переході від перерізу до перерізу стержня. Правила побудови епюри:

1. Розбиваємо стержень на ділянки.

2. Вісь (базу), на якій будується епюра, завжди вибирають так, щоб вона була паралельна або просто збігалась з віссю стержня.

3. Ординати на епюрі відкладають від осі епюри по перпендикуляру.

4. Штрихують епюри лініями, що перпендикулярні до бази.

5. Величини відкладають в певному масштабі

 

Поздовжня сила вважається додатнюю, якщо вона спричинює розтяг, та від'ємною, якщо спричинює стискання.

Наприклад:

 

		кН

 

Але можна визначати реакції Ra коли будемо йти з вільного кінця.

 

Розсічемо стержень довільним поперечним перерізом

 

 

Статична сторона задачі:

 

 

З цього рівняння не можна визначити напруження, оскільки невідомий закон розподілу їх в точках поперечного перерізу

 

Геометрична сторона задачі:

 

При деформації розтягу стержня поперечні

перерізи стержня плоскі до деформації,

залишаються плоскими і після неї,

переміщуючись поступово вздовж осі стержня

(гіпотеза плоских перерізів)

 

 

Таким чином всі волокна стержня подовжуються на одну і ту саму величину

і їхні відносні подовженняоднакові

 

 

- відносне подовження або деформація (величина безрозмірна)

Фізична сторона задачі: полягає у встановленні залежності між деформаціями та напруженнями. При пружних деформаціях ця залежність лінійна і називається законом Гука.

 

Е - модуль пружності першого роду, або модуль Юнга. Це одна з фізичних констант матеріалу, виражається в Па

Для однорідного та ізотропного матеріалу Е - стала величина тоді

 

 

 

Якщото це напруження розтягу

Якщото це напруження стиску

Визначимо деформацію стержня

 

 

—з-н Гука для абсолютних подовжностей

 

 

Добуток ЕF називається жорсткістю поперечного перерізу стержня при розтягу -
стиску, а величину C=EF/l - називають жорсткістю стержня. Якщо на розглядуваній

ділянці поздовжня сила та поперечний переріз змінні, то

 

 

Розглянемо поперечну деформацію стержня

-абсолютна поперечна деформація стержня

 

 

При розтяганні поперечні деформації від'ємні, а при стисканні додатні.

 

—відносна поперечна деформація.

Коефіцієнт Пуасона - безрозмірна величина, яка характеризує пружні

властивості матеріалу, перебуває в межах від 0 до 0,5.

Для корки (пробка) він

для сталі 0,3

для научики 0,5

 

Умова міцності при розтягу - стиску

- допустиме напруження. При розтягу допустиме напруження позначають

при стиску

-небезпечне напруження

п -коефіцієнт запасу міцності

 

 

для пластичних матеріалів

-для крихких матеріалів

 

Види розрахунків з використання умови міцності:

1. Проектувальний розрахунок За відомими навантаженнями для вибраного матеріалу знайти з умови міцності розміри поперечного перерізу стержня.

Дано: знайти:

2. Перевірочний розрахунок

За відомими розмірами та матеріалом деталі перевірити, чи зможе вона витримати

задане навантаження

 

3. Визначення вантажопідйомності

За відомими розмірами деталі, матеріалом і схемою навантажування визначити допустиме навантаження

Іноді для забезпечення нормальної роботи машин та споруд розміри деталей треба вибрати так, щоб задовольнити умову жорсткості

- допустиме значення зміни довжини

 

 

ЛЕКЦІЯ №

ДІАГРАМА РОЗТЯГУ

 

При проектуванні і розрахунках на міцність треба знати властивості матеріалів. Тому матеріали випробовують на розтяг, стиск, зсув, кручення, згин та твердість. Одним із основних видів випробовувань матеріалів є випробовування на розтяг, оскільки при цьому виявляються найбільш важливі їхні властивості.

Для цього використовують спеціальні циліндричні зразки, котрі приєднують до установки та розтягують до розриву.

 

В процесі навантаження самописцем будується діаграма розтягу: де по осі ординат відкладається зусилля, а по осі абсцис - відповідні подовження. Типовий вигляд такої діаграми має:

 

 

Від початку навантаження до певного значення сили має місце прямо пропорційна залежність між подовженням зразка та силою. На діаграмі ця ділянка О А на ній справедливий закон Гука. Позначимо силу за якої закон пропорційності припиняє свою дію через . На діаграмі це точка А. напруження, яке спричинюється силою називається границею пропорційності.

 

Тобто границею пропорційності називається напруження, після якого порушується закон Гука.

Позначимо через Рпр найбільше значення сили, при якому зразок ще не дає при розвантаженні залишкової деформації. Це точка В.

Найбільше напруження, до якого залишкова деформація при розвантаженні не виявляється, називається границею пружності.

 

Границя пружності є характеристика, що не пов'язана із законом Гука. Точки А і В

знаходяться дуже близько одна від одної і як правило, різницею міжпр іпц нехтують!!

Далі іде перехід до горизонтальної площадки СД- це площадка текучості. На цій стадії подовження зразка зростає при сталому значенні розтягальної сили Рт. Такий процес деформації називається текучістю матеріалу, він супроводжується залишковим (пластичним) подовженням, яке зникає після розвантаження.

 

 

 

Границею текучостіт зветься найменше напруження, при якому деформація зразка відбувається при сталому розтягальному зусиллі.

Далі (після стадії текучості) матеріал знову набирає здатності збільшувати опір деформуванню ДЕ- ділянка зміцнення. Точка Е відповідає найбілішому зусиллю яке може витримати зразок. Напруження, що відповідає максимальній силі називається

тимчасовим опором, або границею міцності і позначаєтьсяв

Основними характеристика пружності і міцності матеріалів є границя пружності

пр, границя текучостіт, границя міцності(тимчасовий опір)в

Повне подовження зразка за границею пружності складається з двох частин: пружної і пластичної.

 

— пластична складова абсолютної деформації, не зникає.

— пружня складова - зникає при розвантаженні

 

Характеристики пластичності матеріалу

1. Відносне подовження після розриву

- приріст довжини після розриву

- початкова довжина

 

2. Відносне звуження зразка після розриву

 

Робота деформації

Повна робота пружної деформації

 

 

Питома робота деформації

 

 

 

Питома робота деформації виражається площею трикутника на діаграмі Діаграму в координатах будують, щоб охарактеризувати тільки механічні характеристики матеріалу, тобто вид діаграми не залежить від розмірів зразка, та його площі поперечного перерізу.

 

Лекція №

Зсув

З деформацією зсуву ми зустрічаємося тоді, коли з 6 компонентів головного вектора та головного момента внутрішніх сил відмінні від 0 тільки поперечні сили таДеформацію зсуву можна получити тоді, коли, наприклад, на стержень з протилежних боків на дуже близької відстані одна від одної діють 2 рівні сили, які перпендикулярні до осі бруса та спрямовані в протилежні сторони. Приклад: розріз ножницями полоси:

 

 

Запишемо вираз для Q:

(1), вважаючи що дотичні напруження рівномірно

розділені по площі поперечного перерізутоді

Якщо на чотирьох гранях прямокутного елемента діють тільки дотичні напруження, тоді напружений стан називається чистим зсувом

Розглянемо здеформований елемент:

γ- кут зсуву, або відносний зсув

Залежність між навантаженням та деформацією зсуву можна простежити

за діаграмою зсуву.

-границя пружності

-границя текучості

-границя міцності

Експериментально діаграму зсуву можна зняти при скручуванні труби. Між дотичним напруженнямта кутом зсувуіснує лінейна залежність:

- коефіцієнт пропорційності, який називається модулем пружності

 

- закон Гука при зсуві

Умова мiцності при зсуві (зрізі) може бути записана:

Якщо дотичні напруження розподіленні по перерізу рівномірно, матимемо

-діаметр болта.

 

 

Для болтових та заклепкових з'єднань проводять також розрахунок на зминання:

Fзм – площа зминання

Fзм = δ∙d

 

σ зм = Р/Fзм = Р/δ∙d ≤ [σ зм] d ≥ Р/δ∙[σ зм]

[σ зм] = (2-2,5) [σ]

Для забезпечення умов міцності на зріз та зминання, треба з двох знайдених діаметрів взяти більший.

Розрахунок зварних з'єднань

Якщо не враховувати наплива, то в перерізі кутовий шов має форму рівнобедренного прямокутного трикутника

a = δ∙cos45° = 0,7

Руйнування шва буде проходити по його мінімальному перерізу висотою a= 0,7. Розрахункова площа перерізу шва: Fe = a ∙ lт = 0,7∙δ∙l,

де Fe – єлектрична дуга

 

Для торцевого шва:

lт – розрахункова довжина торцевого шва

Fе = a ∙ lт = 0,7∙lт

Умова міцності шва: τ = P/Fe ≤ [τe]

Якщо шва два: зверху і знизу, то:

Fe = 2∙a∙lт = 1,4∙δ∙lт тоді умова міцності

τ = P/Fe = P/1,4∙δ∙lт ≤ [τe]

 

[τe] – табличне значення;

[τe] = 80 МПа – для ручного зварювання електродами з тонкою обмазкою;

[τe] = 100 МПа – для автоматичного зварювання та ручного зварювання електродами з товстою обмазкою;

Оскільки на початку та в кінці шва внаслідок непровару його якість погіршується , дійсну його довжину збільшуємо порівняно з розрахунковою на 10мм, тобто:

l = lт + 10мм де l дійсна довжина шва.

 

Для флангових швів:

Fe = a∙lф = 0,7∙(l – 10), так як їх ставлять паралельно, то:

τ = P/1,4∙δ∙(l – 10),

Допустимі напруження при зсуві:

2. За другою теорією міцності: τ = (0,7 ÷ 0,8) ∙ [σ]; τ ≤ [τ]

3. За третьою теорією міцності: τ ≤ [τ] [τ] = 0,5 ∙ [σ]

4. За четвертою теорією міцності: [τ] = 0,6 ∙ [σ]

Лекція №

Тема: „Кручення"

Деформація кручення спричиняються парами сил, площини яких перпендикулярні до осі стержня. Тому при крученні з 6 основних факторів виникає тільки один - крутний момент Мкр. Стержні, які працюють на

кручення звуться валами.

 

Під дією скручувального моменту, що прикладен на вільному кінці

стержня будь який переріз на відстані X від місця закріплення повертається

відносно закріпленого перерізу на кут φ- кут закручування.

Залежність називаються діаграмами кручення, які

визначають експериментально:

 

М_пц - момент до якого зберігається прямолінійна залежність між

навантаженням та деформацією;

М_Т - момент, що відповідає початку текучості;

М_в - крутний момент, який спричинює руйнування вала.

Щоб визначити напруження у поперечних перерізах стержня розглянемо:

1. Статична сторона задачі

τ-дотичне напруження, яке діє на елементарній площадці dF, розташований на довільній відстані ρ від центра перерізу.

 

2. Геометрична сторона задачі

Розглянемо відрізок вала довжиноювиділений з розглядує мого вала.

 

 

- кут зсуву на поверхні стержня.

- відносний кут закручування позначається через , одиниці виміру , тоді . Якщо виділити на поверхні елемент радіуса ρто

 

Фізична сторона задачі

Максимальне напруження:

Умова міцності при крученні

- допустиме напруження при крученні.

 

Умова жорсткості при крученні

З двох діаметрів, знайдених з умов міцності та жорсткості вибираємо… При статичному навантаженні

Лінійний напружений стан

В поперечних перерізах стержня нормальні напруження:  

Плоский напружений стан

Плоский напружений стан виникає у випадку, коли два головних напруження не дорівнюють нулю, а третє дорівнює нулю. Нехай , ,  

Деформації при об’ємному напруженному стані. Узагальнений закон Гука

Досліджуючи деформації й розглядаючи питання міцності при об’ємному та плоскому напружених станах, будемо відповідно до основних гіпотез та…   Відносна поздовжня деформація: (1)

II. Критерій найбільших лінійних деформацій

Умова міцності: │max│[] = , при простому розтяганні

IV. Критерій питомої потенціальної енергії деформації формозміни

Uф[Uф] умова міцності або = , добре підтверджується для пластичних матеріалів; екв IV =